Théorème de Thalès 3ème : 14 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur le théorème de Thalès en 3ème demandent d'identifier les triangles correspondants avant d'écrire des rapports. Le cours de Thalès de 3ème distingue directe et réciproque.

Les changements d'échelle étudiés dans les agrandissements et réductions donnent une lecture complémentaire du coefficient. Une valeur n'est arrondie qu'à la fin du calcul.

Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès

Avant les rapports, on nomme les alignements et le parallélisme. Les côtés correspondants doivent rester dans le même ordre dans les trois quotients.

Exercice 1 : Configuration emboîtée classique

Facile

Dans le triangle ABCABC, M∈[AB]M\in[AB], N∈[AC]N\in[AC] et (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC). On donne AB=15AB=15, AC=18AC=18, AM=10AM=10 et BC=12BC=12, en centimètres.

  1. Écrire les trois rapports de Thalès.
  2. Calculer ANAN.
  3. Calculer MNMN.
Indication

Le coefficient du petit triangle AMNAMN vers le grand triangle ABCABC est AM/ABAM/AB.

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  1. AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}.
  2. AN=18×1015=12AN=18\times\dfrac{10}{15}=12 cm.
  3. MN=12×1015=8MN=12\times\dfrac{10}{15}=8 cm.

Exercice 2 : Calculer un côté du grand triangle

Moyen

Dans le triangle RSTRST, U∈[RS]U\in[RS], V∈[RT]V\in[RT] et (UV)∥(ST)(UV)\parallel(ST). On sait RU=4,5RU=4{,}5 cm, RS=7,5RS=7{,}5 cm, RV=6RV=6 cm et UV=5,4UV=5{,}4 cm.

  1. Déterminer le coefficient du petit triangle vers le grand, puis calculer RTRT.
  2. Calculer STST et vérifier que les deux quotients obtenus concordent.
Indication

Le quotient RU/RSRU/RS vaut 0,60{,}6. Pour passer du petit au grand, divisez par ce nombre.

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  1. RU/RS=4,5/7,5=0,6RU/RS=4{,}5/7{,}5=0{,}6, puis RV/RT=0,6RV/RT=0{,}6, donc RT=6/0,6=10RT=6/0{,}6=10 cm.
  2. UV/ST=0,6UV/ST=0{,}6, donc ST=5,4/0,6=9ST=5{,}4/0{,}6=9 cm. On vérifie 6/10=5,4/9=0,66/10=5{,}4/9=0{,}6.

Exercice 3 : Configuration en papillon

Moyen

Les points A,O,CA,O,C sont alignés dans cet ordre, les points B,O,DB,O,D aussi, et (AB)∥(CD)(AB)\parallel(CD). On donne OA=6OA=6 cm, OC=9OC=9 cm, OB=4OB=4 cm et CD=7,5CD=7{,}5 cm.

  1. Écrire les rapports adaptés à la configuration croisée.
  2. Calculer ODOD.
  3. Calculer ABAB.
Indication

Les sommets correspondants sont AA avec CC, BB avec DD, et OO avec lui-même.

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  1. OAOC=OBOD=ABCD\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}.
  2. 6/9=4/OD6/9=4/OD, donc OD=6OD=6 cm.
  3. AB=7,5×6/9=5AB=7{,}5\times6/9=5 cm.

Exercice 4 : Convertir avant d’appliquer le théorème

Moyen

Dans ABCABC, (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC), avec AM=3,2AM=3{,}2 cm, AB=8AB=8 cm, AC=0,15AC=0{,}15 m et BC=125BC=125 mm.

  1. Convertir toutes les longueurs en centimètres.
  2. Calculer ANAN.
  3. Calculer MNMN.
  4. Donner les résultats dans l'unité demandée : ANAN en cm et MNMN en mm.
Indication

On a 0,150{,}15 m = 1515 cm et 125125 mm = 12,512{,}5 cm.

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  1. Les données deviennent 3,23{,}2, 88, 1515 et 12,512{,}5 cm.
  2. Le coefficient vaut 3,2/8=0,43{,}2/8=0{,}4, donc AN=0,4×15=6AN=0{,}4\times15=6 cm.
  3. MN=0,4×12,5=5MN=0{,}4\times12{,}5=5 cm.
  4. Ainsi AN=6AN=6 cm et MN=50MN=50 mm.

Prouver ou réfuter un parallélisme

La réciproque exige deux alignements dans le même ordre et l'égalité de deux rapports. Une simple proximité décimale ne suffit pas pour une preuve exacte.

Exercice 5 : Démontrer que deux droites sont parallèles

Facile

Dans le triangle ABCABC, M∈[AB]M\in[AB] et N∈[AC]N\in[AC]. On donne AB=12AB=12, AM=8AM=8, AC=15AC=15 et AN=10AN=10.

  1. Comparer AM/ABAM/AB et AN/ACAN/AC.
  2. Énoncer les alignements utiles.
  3. Conclure sur (MN)(MN) et (BC)(BC).
Indication

Réduisez les deux fractions avant d'invoquer la réciproque.

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  1. AM/AB=8/12=2/3AM/AB=8/12=2/3 et AN/AC=10/15=2/3AN/AC=10/15=2/3.
  2. Les points A,M,BA,M,B sont alignés dans le même ordre que A,N,CA,N,C.
  3. D'après la réciproque de Thalès, (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC).

Exercice 6 : Une égalité de rapports qui échoue

Moyen

Dans ABCABC, M∈[AB]M\in[AB] et N∈[AC]N\in[AC]. Les longueurs sont AM=5,4AM=5{,}4, AB=9AB=9, AN=7AN=7 et AC=12AC=12, en centimètres.

  1. Calculer exactement les deux rapports.
  2. Dire si la réciproque permet de prouver le parallélisme.
  3. Conclure par la contraposée.
Indication

Comparez 5,4/9=3/55{,}4/9=3/5 à 7/127/12, sans arrondir.

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  1. AM/AB=3/5AM/AB=3/5, tandis que AN/AC=7/12AN/AC=7/12.
  2. Les rapports sont différents, donc la réciproque ne donne pas le parallélisme.
  3. Comme les alignements sont établis, la contraposée permet d'affirmer que (MN)(MN) n'est pas parallèle à (BC)(BC).

Exercice 7 : Une preuve incomplète

Difficile

Un élève observe AM/AB=AN/ACAM/AB=AN/AC et conclut immédiatement que (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC), sans autre information.

  1. Identifier les informations géométriques manquantes.
  2. Construire un exemple verbal où l'égalité numérique est vraie mais la conclusion injustifiée.
  3. Rédiger la liste complète des hypothèses de la réciproque.
Indication

Une égalité de nombres ne précise pas à elle seule la position des quatre points.

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  1. Il manque les alignements de A,M,BA,M,B et de A,N,CA,N,C, ainsi que leur ordre relatif.
  2. On peut choisir quatre segments isolés ayant les mêmes rapports sans que les points appartiennent aux deux côtés d'un même angle ; aucun parallélisme n'en découle.
  3. Il faut deux droites sécantes en AA, les alignements dans le même ordre, puis AM/AB=AN/ACAM/AB=AN/AC.

Mesurer indirectement dans une situation réelle

Le théorème permet de remplacer une longueur inaccessible par des mesures faites au sol. Le modèle doit expliciter les droites parallèles ou les rayons lumineux supposés parallèles.

Exercice 8 : Hauteur d’un arbre par son ombre

Facile

Au même instant, une personne de 1,651{,}65 m projette une ombre de 2,202{,}20 m. L'ombre d'un arbre mesure 8,408{,}40 m.

  1. Justifier la présence de triangles semblables.
  2. Écrire une égalité de rapports.
  3. Calculer la hauteur de l'arbre.
Indication

Les rayons du soleil sont supposés parallèles et les deux objets verticaux.

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  1. Les verticales sont parallèles et les rayons du soleil aussi, donc les triangles ont les mêmes angles.
  2. h/8,40=1,65/2,20h/8{,}40=1{,}65/2{,}20.
  3. h=8,40×1,65/2,20=6,30h=8{,}40\times1{,}65/2{,}20=6{,}30 m.

Exercice 9 : Largeur d’une rivière

Difficile

Sur une rive, les points A,B,CA,B,C sont alignés avec AB=18AB=18 m et AC=30AC=30 m. Sur une direction sécante issue de AA, on place DD et un point inaccessible EE, avec AD=12AD=12 m. On a (BD)∥(CE)(BD)\parallel(CE).

  1. Écrire les rapports de Thalès dans les triangles ABDABD et ACEACE.
  2. Calculer AEAE.
  3. Si CE=25CE=25 m, calculer BDBD.
  4. Préciser quelle longueur représente la mesure indirecte accessible.
Indication

Le petit triangle ABDABD est une réduction du grand triangle ACEACE de coefficient AB/ACAB/AC.

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  1. AB/AC=AD/AE=BD/CEAB/AC=AD/AE=BD/CE.
  2. 18/30=12/AE18/30=12/AE, donc AE=20AE=20 m.
  3. BD=25×18/30=15BD=25\times18/30=15 m.
  4. La construction au sol permet d'accéder à BDBD et ADAD, puis d'en déduire les longueurs du grand triangle sans traverser la zone inaccessible.

Exercice 10 : Traverse dans un cadre triangulaire

Moyen

Un cadre triangulaire ABCABC possède une traverse MNMN parallèle à BCBC. On sait AB=2,4AB=2{,}4 m, AM=1,5AM=1{,}5 m, BC=1,8BC=1{,}8 m et AC=2AC=2 m.

  1. Calculer la longueur de la traverse MNMN.
  2. Calculer ANAN.
  3. Déterminer les longueurs MBMB et NCNC.
Indication

Le coefficient du petit cadre vers le grand vaut 1,5/2,4=5/81{,}5/2{,}4=5/8.

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  1. MN=1,8×5/8=1,125MN=1{,}8\times5/8=1{,}125 m.
  2. AN=2×5/8=1,25AN=2\times5/8=1{,}25 m.
  3. MB=2,4−1,5=0,9MB=2{,}4-1{,}5=0{,}9 m et NC=2−1,25=0,75NC=2-1{,}25=0{,}75 m.

Exercice 11 : Photographie et dimension réelle

Moyen

Sur une photographie, une tour de 4848 m mesure 1212 cm. Un bâtiment voisin mesure 7,57{,}5 cm sur la même image.

  1. Justifier le modèle proportionnel.
  2. Calculer l'échelle sous forme 1:n1:n, après conversion de 4848 m en cm.
  3. Déterminer la hauteur réelle du bâtiment.
Indication

Les deux objets sont supposés dans le même plan et photographiés sans déformation de perspective notable.

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  1. Dans ces hypothèses, les longueurs de l'image sont proportionnelles aux longueurs réelles.
  2. 4848 m valent 4 8004\,800 cm, donc l'échelle est 12/4 800=1/40012/4\,800=1/400.
  3. Le bâtiment mesure 7,5×400=3 0007{,}5\times400=3\,000 cm, soit 3030 m.

Résoudre des configurations avec une inconnue

Les rapports de Thalès produisent souvent une équation. On vérifie ensuite que la valeur obtenue respecte l'ordre et la positivité des longueurs.

Exercice 12 : Une longueur écrite avec xx

Moyen

Dans ABCABC, M∈[AB]M\in[AB], N∈[AC]N\in[AC] et (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC). On donne AM=x+2AM=x+2, AB=15AB=15, AN=6AN=6 et AC=10AC=10.

  1. Écrire l'équation de rapports.
  2. Résoudre pour xx.
  3. Vérifier que MM appartient bien au segment [AB][AB].
Indication

Le rapport AN/ACAN/AC vaut 3/53/5.

Voir le corrigé
  1. (x+2)/15=6/10=3/5(x+2)/15=6/10=3/5.
  2. x+2=9x+2=9, donc x=7x=7.
  3. Alors AM=9AM=9 cm, et 0<9<150\lt9\lt15, donc la position de MM est cohérente.

Exercice 13 : Deux expressions de longueurs

Difficile

Dans un triangle ABCABC, (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC), avec AB=18AB=18, AC=24AC=24, AM=xAM=x et AN=x+2AN=x+2.

  1. Écrire l'équation donnée par Thalès.
  2. Résoudre cette équation.
  3. Calculer le coefficient de réduction.
  4. Contrôler que AN<ACAN\lt AC.
Indication

Utilisez x/18=(x+2)/24x/18=(x+2)/24, puis un produit en croix.

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  1. x/18=(x+2)/24x/18=(x+2)/24.
  2. 24x=18x+3624x=18x+36, donc x=6x=6.
  3. Le coefficient vaut AM/AB=6/18=1/3AM/AB=6/18=1/3.
  4. AN=x+2=8AN=x+2=8 cm et 8<248\lt24.

Exercice 14 : Deux parallèles successives

Difficile

Dans ABCABC, les segments MNMN et PQPQ sont parallèles à BCBC, avec P∈[AM]P\in[AM], Q∈[AN]Q\in[AN]. On donne AB=20AB=20, AC=25AC=25, AM=12AM=12, AP=7,2AP=7{,}2 et BC=15BC=15.

  1. Calculer ANAN et MNMN.
  2. Calculer le coefficient de APQAPQ par rapport à ABCABC.
  3. Calculer AQAQ et PQPQ.
  4. Comparer le coefficient de APQAPQ par rapport à AMNAMN au quotient AP/AMAP/AM.
Indication

Appliquez Thalès une première fois avec AMNAMN, puis directement avec APQAPQ.

Voir le corrigé
  1. Le coefficient AM/AB=12/20=0,6AM/AB=12/20=0{,}6, donc AN=15AN=15 et MN=9MN=9.
  2. AP/AB=7,2/20=0,36AP/AB=7{,}2/20=0{,}36.
  3. AQ=0,36×25=9AQ=0{,}36\times25=9 et PQ=0,36×15=5,4PQ=0{,}36\times15=5{,}4.
  4. AP/AM=7,2/12=0,6AP/AM=7{,}2/12=0{,}6, et PQ/MN=5,4/9=0,6PQ/MN=5{,}4/9=0{,}6 : les deux calculs concordent.
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