Vecteurs et relation de Chasles Seconde : 7 exercices corrigés

Les constructions par translation alternent avec des calculs fondés sur Chasles. Les dernières questions demandent de reconnaître un milieu ou un parallélogramme à partir d'une égalité vectorielle, sans se fier à l'allure de la figure.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Vecteurs et relation de Chasles. Le calcul vectoriel sera prolongé par le produit scalaire.

Bases de Vecteurs et relation de Chasles : Simplifier une chaîne vectorielle

Exercice 1 : Simplifier une chaîne vectorielle

Facile

Simplifier AB⃗+BC⃗+CD⃗+DA⃗\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA}.

  1. Regrouper les vecteurs consécutifs.
  2. Donner le vecteur final.
  3. Interpréter géométriquement.
Indication
Appliquer Chasles de proche en proche.
Voir le corrigé
  1. Par Chasles, AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}, puis AC→+CD→=AD→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.
  2. Il reste AD→+DA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\vec 0.
  3. La chaîne décrit un trajet fermé : le point d'arrivée est le point de départ A.

Exercice 2 : Construire un point par translation

Moyen

Dans un triangle ABC, le point D est défini par AD⃗=BC⃗\vec{AD}=\vec{BC}.

  1. Décrire une construction de D.
  2. Nommer le quadrilatère obtenu dans l'ordre A, B, C, D.
  3. Écrire une seconde égalité vectorielle.
Indication
L'égalité impose même direction, même sens et même longueur.
Voir le corrigé
  1. Par A, on trace la parallèle à (BC)(BC), puis on y reporte la longueur BC dans le sens de B vers C. Son extrémité est D.
  2. Dans l'ordre A, B, C, D, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
  3. On a également AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. Les deux égalités portent bien sur des côtés opposés orientés dans le même sens.

Choisir une méthode : Point défini par une combinaison

Exercice 3 : Point défini par une combinaison

Difficile

Soit M défini par AM⃗=2AB⃗−AC⃗\vec{AM}=2\vec{AB}-\vec{AC}.

  1. Réécrire −AC⃗-\vec{AC}.
  2. Construire le vecteur somme.
  3. Exprimer CM⃗\vec{CM} avec AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}.
  4. Justifier chaque transformation par Chasles.
Indication
Remplacer le vecteur opposé puis introduire les points utiles.
Voir le corrigé
  1. Le vecteur opposé de AC→\overrightarrow{AC} est −AC→=CA→-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}.
  2. À partir de A, on reporte deux fois un représentant de AB→\overrightarrow{AB}, puis un représentant de CA→\overrightarrow{CA}. L'extrémité obtenue est M.
  3. Par Chasles, CM→=CA→+AM→=2AB→−2AC→=2CB→\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}.
  4. La première égalité vient de Chasles avec le point A. Ensuite CA→=−AC→\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC} et AB→−AC→=AB→+CA→=CB→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}.

Exercice 4 : Prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Moyen

Dans un quadrilatère ABCDABCD, on sait que AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}. On veut identifier la nature du quadrilatère sans mesurer les côtés.

  1. Interpréter l'égalité vectorielle comme une translation.
  2. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
  3. Expliquer pourquoi l'ordre des lettres DC est indispensable.
Indication
Identifier les origines et extrémités afin de chercher un enchaînement naturel.
Voir le corrigé
  1. L'égalité donne des côtés [AB][AB] et [DC][DC] parallèles, de même sens et de même longueur. La translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} envoie AA sur BB et DD sur CC.
  2. Une paire de côtés opposés est donc parallèle et de même longueur. Le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme.
  3. L'ordre DCDC, et non CDCD, est essentiel pour conserver le même sens.

Approfondir Vecteurs et relation de Chasles : Justifier la règle du parallélogramme

Exercice 5 : Milieu obtenu par une égalité vectorielle

Moyen

Dans un triangle ABCABC, un point MM vérifie MA→+MB→=0⃗\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec0.

  1. Transformer l'égalité pour exprimer MA→\overrightarrow{MA} en fonction de MB→\overrightarrow{MB}.
  2. Démontrer que M est le milieu de [AB].
  3. Expliquer pourquoi le point C n'intervient pas.
Indication
Deux vecteurs opposés ont même direction et même norme, mais des sens contraires.
Voir le corrigé
  1. On obtient MA→=−MB→=BM→\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}.
  2. Les points A, M et B sont alignés et MA=MBMA=MB. M est donc le milieu de [AB][AB].
  3. La relation ne contient que A, B et M ; le triangle fournit un contexte, mais C n'est pas une donnée utile.

Exercice 6 : Justifier la règle du parallélogramme

Difficile

Dans un parallélogramme ABCDABCD, les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD} ont la même origine. On cherche le vecteur représenté par leur somme.

  1. Remplacer AD→\overrightarrow{AD} par un vecteur égal ayant pour origine BB.
  2. Utiliser la relation de Chasles pour identifier la somme.
  3. Nommer la diagonale qui porte le vecteur obtenu.
Indication
Dans un parallélogramme, les côtés opposés définissent des vecteurs égaux.
Voir le corrigé
  1. Les côtés opposés donnent AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.
  2. Ainsi AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} par Chasles.
  3. La somme est donc représentée par la diagonale [AC][AC] issue de l'origine commune AA.
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