Les parallélogrammes en 4ème se reconnaissent par plusieurs critères : côtés opposés parallèles, diagonales de même milieu, ou une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur. La difficulté n'est pas de réciter la liste, mais de choisir le critère adapté aux données.
Une démonstration géométrique doit séparer hypothèses et conclusion. On ne peut pas utiliser une propriété d'un parallélogramme avant d'avoir prouvé que le quadrilatère en est un. Ce cours organise donc propriétés directes, réciproques et programmes de construction.
Définition et ordre des sommets
Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Dans , les sommets sont lus dans l'ordre du contour. Les côtés opposés sont ([AB]) et ([CD]), puis ([BC]) et ([AD]). Les diagonales sont ([AC]) et ([BD]).
Erreur fréquente : une figure dessinée de travers peut être un parallélogramme. L'apparence ne remplace ni les codages ni les données de l'énoncé.
Propriétés d’un parallélogramme déjà établi
Propriétés directes
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
- ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses angles opposés ont la même mesure ;
- deux angles consécutifs sont supplémentaires.
Ces propriétés servent à calculer une longueur ou un angle seulement après que la nature du quadrilatère est connue.
Critères pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme
| Données disponibles | Critère suffisant |
|---|---|
| deux paires de côtés opposés parallèles | définition |
| diagonales de même milieu | critère des diagonales |
| côtés opposés de même longueur deux à deux | critère des longueurs |
| une paire de côtés opposés parallèles et égaux | critère mixte |
Chaque ligne est une condition suffisante. Deux côtés opposés parallèles seulement ne suffisent pas : on pourrait avoir un trapèze.
Rédiger une démonstration avec les diagonales
On sait que les diagonales ([AC]) et ([BD]) d'un quadrilatère se coupent en , avec et .
Donc est le milieu de ([AC]) et de ([BD]). Or, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Par conséquent, est un parallélogramme.
Translation et quatrième sommet
Construire par translation
Si est l'image de par la translation qui transforme en , alors , dans l'ordre adapté, est un parallélogramme.
La translation en 4ème garantit à la fois parallélisme et égalité de deux côtés opposés. Elle donne une construction du quatrième sommet sans mesurer tous les angles.
Construire à partir des diagonales
- Tracer une diagonale ([AC]) et placer son milieu .
- Tracer une droite quelconque passant par .
- Placer sur cette droite puis construire , symétrique de par rapport à .
- Relier , , , dans cet ordre.
Les diagonales ont alors le même milieu par construction ; le critère prouve que le quadrilatère obtenu est un parallélogramme.
Rectangle, losange et carré : propriétés supplémentaires
| Figure | Propriété distinctive utile |
|---|---|
| rectangle | diagonales de même longueur |
| losange | diagonales perpendiculaires |
| carré | diagonales égales et perpendiculaires |
Ces figures sont des parallélogrammes particuliers : elles héritent de toutes ses propriétés, puis ajoutent leurs propres caractéristiques. Le cours sur les parallélogrammes en 5ème fournit les premières constructions et le calcul d'aire.
Astuce : dans une preuve, écrire d'abord les données visibles dans les codages, puis choisir un critère qui utilise exactement ces données.
Choisir le critère de reconnaissance le plus court
Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on utilise les données réellement disponibles. Deux paires de côtés opposés parallèles donnent la définition. Des diagonales qui se coupent en leur milieu fournissent souvent le critère le plus direct. Une paire de côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur suffit également.
| Données connues | Conclusion possible |
|---|---|
| côtés opposés parallèles deux à deux | parallélogramme |
| diagonales de même milieu | parallélogramme |
| une paire opposée parallèle et égale | parallélogramme |
| diagonales seulement égales | information insuffisante |
Distinguer propriétés directes et réciproques
Si ABCD est déjà connu comme parallélogramme, on peut en déduire que ses diagonales ont le même milieu : c'est une propriété directe. Si l'on sait seulement que les diagonales ont le même milieu et que l'on conclut qu'ABCD est un parallélogramme, on utilise la réciproque.
Une rédaction correcte indique le sens du raisonnement. Utiliser une conséquence d'un parallélogramme pour prouver qu'il en est un serait circulaire si le critère réciproque n'a pas été établi.
Astuce : surligner dans l'énoncé les données, puis choisir un critère dont toutes les hypothèses sont déjà surlignées.
Construire avec le milieu des diagonales
Lorsque trois sommets A, B et C sont donnés dans l'ordre, on trace les diagonales AC et BD. On construit le milieu O de AC, puis D comme symétrique de B par rapport à O. Ainsi O est le milieu des deux diagonales, ce qui garantit que ABCD est un parallélogramme.
Cette construction est plus robuste qu'une estimation au compas de côtés parallèles : elle intègre directement un critère de reconnaissance.
Démontrer avec les diagonales d’un quadrilatère
Dans le quadrilatère ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. On sait que cm et cm. O est donc le milieu de [AC] et de [BD]. Les diagonales se coupent en leur milieu ; par le critère réciproque, ABCD est un parallélogramme.
Il ne suffit pas d'écrire que les quatre demi-diagonales sont « presque égales » sur le dessin. Les deux égalités sont utilisées séparément pour établir chaque milieu. La conclusion porte sur la nature du quadrilatère, pas sur un parallélisme isolé.
Erreur fréquente : des diagonales perpendiculaires ou de même longueur ne caractérisent pas à elles seules un parallélogramme.
Une fois la nature démontrée, on peut déduire d'autres propriétés : les côtés opposés sont parallèles et de même longueur, et les angles opposés sont égaux. Ces conséquences ne doivent apparaître qu'après la reconnaissance. Elles peuvent ensuite servir à calculer une longueur ou un angle manquant sans recommencer la démonstration du parallélogramme.
Parallélogrammes 4ème : l’essentiel à retenir
Les parallélogrammes en 4ème demandent de distinguer propriétés et critères. Une propriété exploite une nature déjà connue ; un critère permet de la démontrer à partir des côtés, des diagonales ou d'une translation.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 privilégie cette circulation entre construction, transformation et raisonnement déductif.