Périmètres et aires 6ème : formules, unités et conversions

Périmètre ou aire : reconnaître la grandeur demandée

Pour choisir entre les deux grandeurs, on peut reformuler la situation. Poser une clôture, entourer un cadre ou calculer la longueur d’un ruban demande un périmètre. Recouvrir un sol, peindre un mur ou compter les carreaux nécessaires demande une aire.

Erreur fréquente : une aire ne s’exprime jamais en $\text{cm}$, et un périmètre ne s’exprime jamais en $\text{cm}^2$. L’unité permet souvent de vérifier la nature du résultat.

Calculer le périmètre d’un polygone

Pour un polygone quelconque, aucune formule compliquée n’est nécessaire : on additionne les longueurs de tous ses côtés. Il faut d’abord vérifier qu’elles sont exprimées dans la même unité.

Exemple avec un triangle

Un triangle a des côtés de $4,5\ \text{cm}$, $6\ \text{cm}$ et $7,2\ \text{cm}$. Son périmètre vaut :

Exemple avec une figure composée

Pour une figure en forme de L, on suit le contour dans un seul sens et on note chaque longueur rencontrée. Si une longueur manque, on peut parfois la retrouver grâce à l’alignement des côtés. On additionne ensuite toutes les longueurs extérieures, sans compter les traits situés à l’intérieur de la figure.

La précision du vocabulaire utilisé ici repose sur les notions présentées dans le cours de géométrie 6ème : points, segments et distances.

Formules du périmètre du carré et du rectangle

Périmètre d’un carré

Les quatre côtés d’un carré ont la même longueur $c$. Additionner $c$ quatre fois revient à multiplier par $4$.

Pour un carré de côté $3,8\ \text{m}$, on obtient $P=4\times3,8=15,2\ \text{m}$.

Périmètre d’un rectangle

Un rectangle possède deux longueurs égales $L$ et deux largeurs égales $\ell$. On peut additionner les quatre côtés ou regrouper les côtés de même longueur.

Un rectangle de longueur $8\ \text{cm}$ et de largeur $3,5\ \text{cm}$ a pour périmètre :

Les parenthèses indiquent qu’il faut d’abord additionner la longueur et la largeur. Les règles de calcul nécessaires sont détaillées dans le cours sur les opérations avec les nombres décimaux en 6ème.

Périmètre d’un disque : longueur du cercle

Le contour d’un disque est un cercle. Sa longueur dépend de son diamètre $d$, ou de son rayon $r$. Comme $d=2r$, les deux formules suivantes sont équivalentes.

Un disque de rayon $5\ \text{cm}$ a un diamètre de $10\ \text{cm}$. Sa longueur est donc :

Le résultat est approché parce que $3,14$ n’est qu’une valeur approchée de $\pi$. Pour un problème concret, on indique cette approximation avec le symbole $\approx$.

Attention au vocabulaire : le rayon relie le centre à un point du cercle ; le diamètre relie deux points du cercle en passant par le centre. Le diamètre est deux fois plus grand que le rayon.

Comprendre l’aire par le pavage

Avant d’utiliser une formule, on peut mesurer une aire en recouvrant la figure avec des unités d’aire sans trou ni chevauchement. Un carré de $1\ \text{cm}$ de côté représente $1\ \text{cm}^2$. Si un rectangle contient $24$ de ces carrés, son aire vaut $24\ \text{cm}^2$.

Deux figures peuvent avoir la même aire sans avoir la même forme. On peut aussi découper une figure puis déplacer les morceaux sans modifier l’aire totale. Cette idée de découpage et de recollement est utile pour comparer des surfaces et calculer l’aire d’une figure composée.

Formules de l’aire du rectangle et du carré

Aire d’un rectangle

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ contient autant d’unités d’aire que le produit de ses deux dimensions, exprimées dans la même unité.

Pour un rectangle de $7,5\ \text{cm}$ sur $4\ \text{cm}$, l’aire est $\mathcal{A}=7,5\times4=30\ \text{cm}^2$.

Aire d’un carré

Dans un carré, la longueur et la largeur sont égales au côté $c$. On multiplie donc le côté par lui-même.

Un carré de côté $6\ \text{m}$ a une aire de $6\times6=36\ \text{m}^2$. L’écriture $6^2$ se lit « six au carré ».

Pourquoi faut-il mettre les dimensions dans la même unité ?

On ne peut pas multiplier directement $2\ \text{m}$ par $30\ \text{cm}$. On convertit d’abord : $30\ \text{cm}=0,3\ \text{m}$. L’aire vaut alors $2\times0,3=0,6\ \text{m}^2$. On pourrait aussi convertir $2\ \text{m}$ en $200\ \text{cm}$ et obtenir $200\times30=6\,000\ \text{cm}^2$. Les deux résultats décrivent la même aire.

Convertir les unités de longueur

Pour les longueurs, deux unités consécutives diffèrent d’un facteur $10$. En allant vers une unité plus petite, on multiplie par $10$ à chaque colonne. En allant vers une unité plus grande, on divise par $10$.

Par exemple, $3,45\ \text{m}=345\ \text{cm}$, car on avance de deux unités vers la droite et on multiplie donc par $100$. Inversement, $780\ \text{mm}=78\ \text{cm}$.

Convertir les unités d’aire

Chaque unité d’aire est construite avec un carré. Un carré de $1\ \text{m}$ de côté contient $10$ rangées de $10$ carrés de $1\ \text{dm}$ de côté. Il contient donc $100\ \text{dm}^2$.

Pour les aires, deux unités consécutives diffèrent donc d’un facteur $100$, et non d’un facteur $10$. Dans un tableau de conversion, chaque unité d’aire occupe deux colonnes.

Ainsi, $2,7\ \text{m}^2=270\ \text{dm}^2$, et $8\,500\ \text{cm}^2=0,85\ \text{m}^2$. Pour remonter de $\text{cm}^2$ à $\text{m}^2$, on franchit deux unités et on divise deux fois par $100$, donc par $10\,000$.

Erreur fréquente : $1\ \text{m}^2\neq100\ \text{cm}^2$. Comme $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$, un carré de $1\ \text{m}$ de côté contient $100\times100=10\,000$ carrés de $1\ \text{cm}$ de côté.

Calculer l’aire d’une figure composée

Une figure composée peut souvent être partagée en rectangles ou en carrés. On choisit des découpages simples, on calcule chaque aire avec des dimensions dans la même unité, puis on additionne les résultats. Une autre méthode consiste à compléter la figure en un grand rectangle et à soustraire l’aire de la partie absente.

Méthode par addition

1. Tracer mentalement ou au crayon un découpage en rectangles.
2. Noter les dimensions utiles et retrouver les longueurs manquantes.
3. Calculer l’aire de chaque rectangle.
4. Additionner les aires en conservant la même unité.

Méthode par soustraction

Si une figure correspond à un grand rectangle auquel on a retiré un petit rectangle, on calcule :

Les deux méthodes doivent conduire au même résultat. Le meilleur découpage est celui qui demande le moins de calculs et utilise des dimensions faciles à identifier.

Résoudre un problème de périmètre ou d’aire

Une formule seule ne suffit pas : il faut organiser les données et interpréter le résultat.

Une méthode en cinq étapes

1. Identifier la question : contour ou surface ?
2. Faire un schéma et inscrire les longueurs connues.
3. Convertir toutes les dimensions dans la même unité.
4. Choisir la formule ou le découpage adapté, puis calculer.
5. Écrire une phrase-réponse avec l’unité correcte.

Exemple : border une pelouse

Une pelouse rectangulaire mesure $12,5\ \text{m}$ sur $8\ \text{m}$. On laisse une ouverture de $1,5\ \text{m}$ pour un portail. La longueur de bordure nécessaire est :

Exemple : recouvrir la même pelouse

Pour connaître la surface de gazon, on calcule l’aire : $\mathcal{A}=12,5\times8=100\ \text{m}^2$. Les mêmes dimensions produisent donc deux réponses différentes parce que les deux questions ne portent pas sur la même grandeur.

Comparer aire et périmètre sans les confondre

Une grande aire n’entraîne pas automatiquement un grand périmètre. Deux rectangles peuvent avoir la même aire et des périmètres différents. Par exemple, un rectangle de $8\ \text{cm}$ sur $2\ \text{cm}$ et un carré de $4\ \text{cm}$ de côté ont tous les deux une aire de $16\ \text{cm}^2$. Leurs périmètres valent pourtant $20\ \text{cm}$ et $16\ \text{cm}$.

Inversement, des figures de même périmètre peuvent avoir des aires différentes. Cette observation explique pourquoi on ne peut jamais déduire une aire à partir du seul périmètre sans connaître la forme ou d’autres dimensions.

Pour contrôler un résultat, on peut enfin comparer la figure à une forme simple connue. Une surface de cahier exprimée en kilomètres carrés ou le contour d’un jardin exprimé en millimètres révèle immédiatement une unité peu adaptée, même si le calcul numérique est juste.

Les relations de proportionnalité, notamment entre le diamètre et la longueur d’un cercle, sont approfondies dans le cours sur la proportionnalité en 6ème.

Ce qu’il faut savoir faire en fin de chapitre

• Distinguer une longueur, un périmètre et une aire dans une situation concrète.
• Calculer le périmètre d’un polygone, d’un carré, d’un rectangle ou d’un disque.
• Calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle et d’une figure composée simple.
• Convertir des unités de longueur avec un facteur $10$ entre unités consécutives.
• Convertir des unités d’aire avec un facteur $100$ entre unités consécutives.
• Choisir une unité cohérente et contrôler l’ordre de grandeur du résultat.

Ces objectifs suivent le programme officiel de mathématiques du cycle 3, qui demande notamment de comparer et mesurer des aires, d’utiliser les unités usuelles et de calculer des périmètres dans des situations variées.