Proportionnalité 6ème : reconnaître et résoudre

Le prix de fruits augmente avec leur masse, une recette change avec le nombre de personnes et une distance sur une carte correspond à une distance réelle. Ces situations ne se résolvent correctement que si l’on reconnaît leur modèle. Ce cours sur la proportionnalité en 6ème apprend à distinguer une situation proportionnelle d’une situation qui ne l’est pas, puis à choisir entre multiplication, addition de colonnes et retour à l’unité.

La priorité n’est pas de remplir mécaniquement un tableau. Il faut d’abord comprendre quelles grandeurs sont comparées, conserver leurs unités et formuler la relation : « si la première grandeur est multipliée par un nombre, la seconde l’est aussi par ce même nombre ».

Table des Matières

Proportionnalité 6ème : définition et exemples

Pour reconnaître le modèle, commençons par préciser ce qui doit rester constant lorsque deux grandeurs varient.

Définition de deux grandeurs proportionnelles

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre constant. Ce nombre peut représenter, selon le contexte, un prix par kilogramme, une longueur par unité ou une quantité par personne.

Si un kilogramme de pommes coûte $2,40$ €, alors $3$ kg coûtent $3\times2,40=7,20$ €. Le prix est proportionnel à la masse, à condition que le prix au kilogramme reste $2,40$ €.

\text{prix en euros} =\text{masse en kilogrammes}\times2,40.

Le nombre $2,40$ est la valeur correspondant à une unité de masse. Il est parfois appelé coefficient de proportionnalité, mais son unité et son sens sont plus importants que son nom : ici, il signifie $2,40$ € par kilogramme.

Une situation qui n’est pas proportionnelle

Un parking facture $3$ € d’entrée puis $2$ € par heure. Une heure coûte $5$ €, mais deux heures coûtent $7$ €, et non $10$ €. Le prix n’est pas proportionnel à la durée à cause du montant fixe de $3$ €.

Erreur fréquente : deux grandeurs qui augmentent ensemble ne sont pas nécessairement proportionnelles. Il faut vérifier la même relation multiplicative pour toutes les valeurs.

Reconnaître une situation de proportionnalité

La définition fournit un critère, mais la nature de la situation permet souvent un premier diagnostic avant tout calcul.

Questions à se poser

Quelles sont les deux grandeurs comparées ?
Quelles sont leurs unités ?
Si l’une double, l’autre double-t-elle aussi ?
Existe-t-il une valeur fixe ajoutée ou une condition qui change ?
La valeur pour une unité reste-t-elle constante ?

Situation	Proportionnelle ?	Justification
Masse de pommes et prix, à prix au kilogramme constant	Oui	doubler la masse double le prix
Côté d’un carré et son périmètre	Oui	le périmètre vaut toujours $4$ fois le côté
Âge et taille d’une personne	Non	doubler l’âge ne double pas la taille
Durée d’un trajet et distance, à vitesse constante	Oui	à vitesse constante, deux fois plus de temps donne deux fois plus de distance
Nombre de personnes et prix d’un taxi avec prise en charge fixe	Non	une partie du prix ne dépend pas du nombre de personnes

Le test du zéro

Dans une situation proportionnelle, une valeur nulle de la première grandeur correspond à une valeur nulle de la seconde. Zéro kilogramme de pommes coûte zéro euro. Ce test peut éliminer certaines situations, mais il ne suffit pas à lui seul pour prouver la proportionnalité.

Construire et lire un tableau de proportionnalité

Une fois le modèle identifié, le tableau organise les couples de valeurs sans perdre le sens des grandeurs.

Règle de présentation

Chaque ligne d’un tableau doit porter le nom de la grandeur et son unité. Une colonne rassemble deux valeurs qui se correspondent dans la même situation.

Masse de pommes (kg)	1	2	3	5
Prix (€)	2,40	4,80	7,20	12,00

On passe de la ligne des masses à celle des prix en multipliant toujours par $2,40$ . Dans l’autre sens, on divise le prix par $2,40$ .

Vérifier la constance de la valeur unitaire

Dans le tableau précédent, les quotients $4,80\div2$ , $7,20\div3$ et $12\div5$ valent tous $2,40$ . Cette constance confirme le modèle. En pratique, une seule colonne ne suffit jamais : il faut comparer plusieurs couples de valeurs ou connaître la règle du contexte.

Résoudre par linéarité multiplicative

Lorsque la valeur recherchée correspond à un multiple ou à une fraction simple d’une valeur connue, la relation multiplicative est la méthode la plus courte.

Multiplier ou diviser les deux grandeurs par le même nombre

Dans une situation proportionnelle, si une valeur d’une grandeur est multipliée ou divisée par un nombre, la valeur correspondante de l’autre grandeur subit la même opération.

Trois carnets coûtent $7,50$ €. Six carnets représentent deux fois plus de carnets, donc ils coûtent deux fois plus :

6=3\times2 \qquad\Longrightarrow\qquad 7,50\times2=15.

Pour $12$ carnets, on peut multiplier encore par $2$ , ce qui donne $30$ €. Pour $1,5$ carnet, le contexte n’aurait pas de sens si les carnets ne peuvent pas être partagés ; l’interprétation reste donc indispensable.

Résoudre par linéarité additive

Si la valeur recherchée est une somme de valeurs connues, on peut additionner les colonnes correspondantes.

Dans une recette, $4$ personnes nécessitent $300$ g de riz et $6$ personnes nécessitent $450$ g. Pour $10=4+6$ personnes, la quantité de riz est :

300+450=750\ \text{g}.

Cette méthode fonctionne parce que réunir les portions pour $4$ et $6$ personnes produit les portions pour $10$ personnes. Elle n’autorise pas à additionner n’importe quelles colonnes sans justification.

Combiner addition et multiplication

Si $5$ billets coûtent $12$ €, alors $10$ billets coûtent $24$ €. Pour $15=5+10$ billets, on obtient $12+24=36$ €. Plusieurs chemins peuvent être corrects ; le meilleur est celui qui utilise des relations simples et clairement expliquées.

Résoudre par retour à l’unité

Lorsque les nombres ne présentent pas de relation multiplicative immédiate, revenir à une unité fournit une méthode générale et compréhensible.

Principe du passage à l’unité

On calcule d’abord la valeur correspondant à une unité de la première grandeur, puis on multiplie cette valeur par le nombre d’unités recherché.

Pour $5$ personnes, une recette demande $400$ g de farine. Pour une personne, il faut :

400\div5=80\ \text{g}.

Pour $8$ personnes, il faut donc :

80\times8=640\ \text{g}.

Les deux étapes conservent les unités : $\text{g}\div\text{personnes}$ donne une quantité par personne, puis cette quantité est multipliée par $8$ personnes.

Le cours sur la division euclidienne et décimale en 6ème aide à choisir et à contrôler le quotient utilisé dans un retour à l’unité.

Choisir la meilleure méthode de proportionnalité

Il n’existe pas une formule obligatoire pour toutes les données. La structure des nombres indique la procédure la plus efficace.

Relation visible	Méthode conseillée	Exemple
double, triple, moitié, quart	linéarité multiplicative	de $3$ à $9$ : multiplier par $3$
la valeur cherchée est une somme	linéarité additive	pour $7=3+4$ , additionner les valeurs de $3$ et $4$
aucune relation simple	retour à l’unité	passer de $5$ personnes à $1$ , puis à $8$

Erreur fréquente : la technique du produit en croix n’est pas une méthode à apprendre en 6ème dans le programme actuel. On doit faire apparaître le sens des grandeurs et utiliser multiplication, addition de colonnes ou retour à l’unité.

Visualiser une situation proportionnelle

Une double ligne graduée montre simultanément les valeurs de deux grandeurs et rend visibles les mêmes changements d’échelle.

Masse de fruits et prix proportionnel — Chaque kilogramme correspond à $2,50$ € : les deux lignes évoluent avec le même facteur.

Cette représentation garde les unités visibles et évite de confondre $3$ kg avec $7,50$ €. Elle prépare aussi la lecture de tableaux et de graphiques de données.

S’initier aux problèmes d’échelle

Une échelle est une application particulière de la proportionnalité : toutes les longueurs sont réduites ou agrandies avec le même facteur.

Sur un plan, $1$ cm représente $50$ m en réalité. Une rue mesurant $7$ cm sur le plan a une longueur réelle de :

7\times50=350\ \text{m}.

Dans l’autre sens, une distance réelle de $200$ m est représentée par $200\div50=4$ cm. Il faut convertir les unités avant d’utiliser une échelle écrite sous forme fractionnaire, par exemple $1:10\,000$ .

Rédiger correctement une solution de proportionnalité

Une réponse solide ne se limite pas à une ligne de calcul. Elle explique pourquoi le modèle est proportionnel, montre la relation utilisée et conserve l’unité jusqu’à la conclusion.

Une rédaction en quatre étapes

Nommer les grandeurs : par exemple le nombre de personnes et la masse de farine en grammes.
Justifier le modèle : la recette est identique et chaque personne reçoit la même quantité.
Annoncer la méthode : « je reviens à une personne », « je multiplie les deux grandeurs par $3$ » ou « j’additionne les colonnes ».
Interpréter : écrire une phrase avec la valeur et l’unité demandées.

Pour la recette de $5$ personnes utilisant $400$ g de farine, une rédaction complète peut être : « La quantité de farine est proportionnelle au nombre de personnes puisque la recette ne change pas. Pour une personne, il faut $400\div5=80$ g. Pour $8$ personnes, il faut $80\times8=640$ g. Il faut donc $640$ g de farine. »

Contrôler la cohérence

Si le nombre de personnes augmente, la quantité nécessaire doit augmenter. Passer de $5$ à $8$ personnes ne peut donc pas conduire à moins de $400$ g. On peut aussi vérifier que $640\div8=80$ et $400\div5=80$ : la quantité par personne est bien la même.

Problèmes guidés de proportionnalité en 6ème

Ces situations résument la démarche complète : reconnaître le modèle, choisir une procédure et interpréter le résultat.

Prix d’une quantité

Quatre mètres de tissu coûtent $18$ €. Deux mètres représentent la moitié de $4$ , donc ils coûtent $9$ €. Six mètres correspondent à $4+2$ , donc ils coûtent $18+9=27$ €.

Recette de cuisine

Une boisson pour $6$ personnes utilise $1,5$ L d’eau. Pour une personne, il faut $1,5\div6=0,25$ L. Pour $10$ personnes, il faut $0,25\times10=2,5$ L.

Situation non proportionnelle

Un abonnement coûte $8$ € par mois auxquels s’ajoutent $0,05$ € par message. Même si le nombre de messages double, la partie fixe de $8$ € ne double pas. Le prix total n’est donc pas proportionnel au nombre de messages.

Les calculs utilisés ici reposent sur les opérations avec les nombres décimaux. Les fractions de cent seront approfondies séparément dans le cours sur les pourcentages en 6ème.

Ce qu’il faut retenir

La proportionnalité en 6ème est un modèle entre deux grandeurs : lorsque l’une est multipliée par un nombre, l’autre est multipliée par le même nombre. Avant tout tableau, il faut identifier les grandeurs, leurs unités et vérifier que la relation reste constante.

Une situation croissante n’est pas automatiquement proportionnelle.
Un tableau associe des valeurs correspondantes et nomme chaque grandeur avec son unité.
La linéarité multiplicative traite les doubles, triples, moitiés ou quarts.
La linéarité additive permet d’additionner des situations correspondantes.
Le retour à l’unité est une méthode générale lorsque les nombres ne sont pas directement liés.
Le produit en croix n’est pas enseigné comme technique de résolution en 6ème.

Cette priorité donnée au sens, aux unités et aux trois procédures de résolution est celle du programme officiel de mathématiques du cycle 3.