La symétrie axiale en 6ème transforme une figure comme le ferait un pliage le long d’une droite. Cette droite est l’axe de symétrie. Un point et son image se trouvent de part et d’autre de l’axe, sur une même perpendiculaire, et à la même distance de celui-ci.
Le cours explique comment reconnaître deux figures symétriques, construire l’image d’un point ou d’une figure sur papier uni ou quadrillé, puis utiliser les propriétés de conservation pour calculer et justifier sans tout remesurer.
Définition de la symétrie axiale
Deux points symétriques
Deux points \(A\) et \(A’\) sont symétriques par rapport à une droite \((d)\) lorsque \((d)\) est la médiatrice du segment \([AA’]\).
Cette définition contient deux conditions. Le segment \([AA’]\) est perpendiculaire à l’axe, et son milieu appartient à l’axe. Ainsi, \(A\) et \(A’\) sont placés à égale distance de \((d)\), chacun d’un côté.
Le cours sur la médiatrice d’un segment en 6ème détaille précisément cette propriété d’équidistance et sa construction.
Erreur fréquente : placer \(A’\) à la même hauteur que \(A\) ne suffit pas si l’axe est incliné. Le segment \([AA’]\) doit être perpendiculaire à l’axe, quelle que soit son orientation.
Comprendre la symétrie comme un pliage
Si l’on plie la feuille suivant l’axe \((d)\), un point et son image se superposent. Cette image mentale permet de contrôler l’orientation : une figure située à gauche de l’axe apparaît à droite, mais elle n’est pas simplement déplacée ; elle est retournée comme dans un miroir.
La distance à l’axe reste la même. Un point proche de l’axe donne une image proche ; un point éloigné donne une image éloignée de la même quantité. Les deux points sont toujours situés sur une droite perpendiculaire à l’axe.
Points situés sur l’axe de symétrie
Si un point \(M\) appartient à l’axe \((d)\), sa distance à l’axe est nulle. Son symétrique est donc le point \(M\) lui-même. On dit qu’un point de l’axe est invariant.
Dans la construction de l’image d’un segment qui coupe l’axe, le point d’intersection ne bouge pas. Cette observation réduit le nombre de points à construire et permet un contrôle simple de la figure finale.
Construire le symétrique d’un point à l’équerre
Pour construire l’image \(A’\) d’un point \(A\) par rapport à une droite \((d)\), on utilise une règle graduée et une équerre.
- Tracer la droite perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\).
- Nommer \(H\) son point d’intersection avec l’axe.
- Mesurer la distance \(AH\).
- Sur la même perpendiculaire, de l’autre côté de l’axe, placer \(A’\) tel que \(HA’=HA\).
- Coder \(HA=HA’\) et l’angle droit en \(H\).
Le point \(H\) est le milieu de \([AA’]\). La droite \((d)\) est donc bien la médiatrice de ce segment. Cette vérification relie directement la méthode à la définition.
Si le point est sur l’axe
Il n’y a rien à reporter : l’image du point est lui-même. On conserve le même nom accompagné éventuellement d’une indication telle que \(A’=A\).
Construire le symétrique d’un point au compas
Une construction au compas évite de mesurer la distance à l’axe.
- Choisir deux points distincts \(M\) et \(N\) sur l’axe \((d)\).
- Tracer un arc de centre \(M\) passant par \(A\).
- Tracer un arc de centre \(N\) passant par \(A\).
- Les deux arcs se coupent en \(A\) et en un second point : ce second point est \(A’\).
Comme \(M\) et \(N\) appartiennent à l’axe, ils restent fixes. La construction donne \(MA=MA’\) et \(NA=NA’\). Les points \(M\) et \(N\) appartiennent donc à la médiatrice de \([AA’]\), qui est précisément la droite \((d)\).
Précision du compas : conservez exactement l’ouverture prise entre le centre et \(A\) pour tracer l’arc correspondant. Des arcs très courts ou presque tangents rendent l’intersection moins précise.
Construire l’image d’une figure
Pour construire le symétrique d’un polygone, il suffit de construire l’image de chacun de ses sommets, puis de relier les points images dans le même ordre.
Exemple avec un triangle
- Construire \(A’\), image de \(A\).
- Construire \(B’\), image de \(B\).
- Construire \(C’\), image de \(C\).
- Tracer \([A’B’]\), \([B’C’]\) et \([C’A’]\).
On ne choisit pas l’emplacement des points images à l’œil. Chaque sommet doit être construit indépendamment, sauf s’il appartient à l’axe. Les segments sont tracés seulement après vérification des points.
Les notations de points, segments, droites et perpendicularité sont expliquées dans le cours de géométrie 6ème.
Construire une symétrie sur quadrillage
Lorsque l’axe suit une ligne du quadrillage, on compte les carreaux dans une direction perpendiculaire à l’axe. Un point situé à trois carreaux à gauche donne une image à trois carreaux à droite, sur la même ligne horizontale si l’axe est vertical.
Si l’axe est horizontal, on conserve la colonne et on reporte le nombre de carreaux au-dessus ou au-dessous. Pour un axe oblique, on ne compte pas simplement horizontalement ou verticalement : on utilise la direction perpendiculaire à l’axe ou on s’aide des nœuds du quadrillage et d’un calque.
Méthode avec des coordonnées de carreaux
On peut décrire chaque point par son déplacement depuis un point de l’axe : par exemple « deux carreaux à gauche et un carreau vers le haut ». L’image conserve le déplacement parallèle à l’axe et inverse seulement le déplacement perpendiculaire.
Propriétés conservées par la symétrie axiale
La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures des angles, l’alignement, le parallélisme, la perpendicularité, les périmètres et les aires.
| Propriété initiale | Propriété de l’image |
|---|---|
| \(AB=5\ \text{cm}\) | \(A’B’=5\ \text{cm}\) |
| \(\widehat{ABC}=70^\circ\) | \(\widehat{A’B’C’}=70^\circ\) |
| \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés | \(A’\), \(B’\), \(C’\) sont alignés |
| \((AB)\perp(CD)\) | \((A’B’)\perp(C’D’)\) |
| Une figure a une aire de \(12\ \text{cm}^2\) | Son image a aussi une aire de \(12\ \text{cm}^2\) |
Ces propriétés permettent de calculer une longueur ou un angle sur l’image sans mesurer. Il faut cependant avoir établi que les deux figures sont réellement symétriques par rapport à l’axe indiqué.
Ce qui change lors d’une symétrie
L’orientation est inversée. Si les sommets \(A\), \(B\), \(C\) sont parcourus dans le sens des aiguilles d’une montre, les sommets images \(A’\), \(B’\), \(C’\) sont parcourus dans le sens opposé. C’est pour cette raison qu’un texte observé dans un miroir semble retourné.
La position absolue change également : un point et son image ne sont pas confondus sauf si le point appartient à l’axe. En revanche, la forme et les dimensions restent identiques. Les deux figures sont superposables après un retournement.
Reconnaître un axe de symétrie d’une figure
Une droite est un axe de symétrie d’une figure lorsque la figure se superpose à elle-même après un pliage le long de cette droite.
Pour tester un axe, on peut utiliser un calque ou vérifier que chaque point important possède un point image appartenant à la figure. Les points situés sur l’axe restent fixes.
| Figure | Nombre d’axes de symétrie | Description |
|---|---|---|
| Triangle quelconque | 0 | Aucun pliage ne superpose les trois sommets. |
| Triangle isocèle non équilatéral | 1 | L’axe passe par le sommet principal et le milieu de la base. |
| Triangle équilatéral | 3 | Un axe passe par chaque sommet. |
| Rectangle non carré | 2 | Les axes passent par les milieux des côtés opposés. |
| Carré | 4 | Deux médianes et deux diagonales. |
| Cercle | Une infinité | Toute droite passant par le centre. |
Une diagonale d’un rectangle quelconque n’est pas un axe de symétrie. Elle le devient dans un carré parce que tous les côtés ont la même longueur. Les propriétés des figures codées sont reprises dans le cours sur les triangles en 6ème.
Utiliser les propriétés pour calculer
Le triangle \(A’B’C’\) est l’image de \(ABC\) par une symétrie axiale. Si \(AB=6,4\ \text{cm}\), \(BC=4\ \text{cm}\) et \(CA=5,2\ \text{cm}\), alors les côtés images ont les mêmes longueurs.
\[ P_{A’B’C’}=6,4+4+5,2=15,6\ \text{cm}. \]
Si \(\widehat{ABC}=52^\circ\), alors \(\widehat{A’B’C’}=52^\circ\). On n’utilise ni règle ni rapporteur : on cite la conservation de la longueur ou de la mesure des angles.
Déterminer l’axe à partir de deux points symétriques
Si l’on connaît un point \(A\) et son image \(A’\), l’axe de symétrie est la médiatrice du segment \([AA’]\). On le construit donc au compas ou avec le milieu et l’équerre.
Pour vérifier l’axe proposé à partir de plusieurs couples, on construit la médiatrice de \([AA’]\), puis on vérifie qu’elle est aussi la médiatrice de \([BB’]\). Si les deux médiatrices sont différentes, les couples ne peuvent pas provenir de la même symétrie axiale.
Rédiger une justification en symétrie
Une rédaction nomme la transformation, la propriété conservée et les objets correspondants.
Exemple avec une longueur
« Le segment \([A’B’]\) est l’image de \([AB]\) par la symétrie d’axe \((d)\). Or une symétrie axiale conserve les longueurs. Donc \(A’B’=AB=7\ \text{cm}\). »
Exemple avec un alignement
« Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés. La symétrie axiale conserve l’alignement. Leurs images \(A’\), \(B’\) et \(C’\) sont donc alignées. »
Le mot « symétrique » doit toujours être accompagné de l’axe concerné lorsque plusieurs droites apparaissent dans la figure.
Contrôler une figure symétrique
- Vérifier que chaque segment joignant un point à son image est perpendiculaire à l’axe.
- Vérifier que l’axe coupe chacun de ces segments en son milieu.
- Comparer les longueurs et les angles correspondants.
- Observer l’orientation : la figure doit être retournée.
- Contrôler les points invariants situés sur l’axe.
Une seule paire de points mal placée peut déformer tout le polygone. On corrige donc les images des sommets avant de relier les points. Les traits de construction fins restent visibles pour montrer les perpendiculaires et les reports de distances.
Sur un quadrillage, un contrôle supplémentaire consiste à compter les déplacements perpendiculaires à l’axe. Pour un axe vertical, les abscisses de carreaux s’inversent autour de l’axe tandis que la hauteur reste identique. Pour un axe horizontal, c’est le déplacement vertical qui s’inverse. Cette règle ne doit pas être appliquée directement à un axe oblique. Une vérification méthodique évite ainsi de reconstruire toute la figure après une erreur tardive.
Contrôle visuel insuffisant : deux figures de même forme ne sont pas forcément symétriques par rapport à l’axe donné. Les médiatrices des segments reliant les points correspondants doivent toutes être cet axe.
À retenir sur la symétrie axiale en 6ème
- L’axe est la médiatrice du segment reliant un point à son image.
- Un point de l’axe est son propre symétrique.
- Une figure image se construit point par point, puis en reliant les images.
- La symétrie conserve les longueurs, les angles, l’alignement, le parallélisme, la perpendicularité, les périmètres et les aires.
- Elle inverse l’orientation comme un miroir.
- Pour retrouver l’axe, on construit la médiatrice de \([AA’]\).
Ces objectifs suivent le programme officiel de mathématiques du cycle 3, qui demande de construire des images, reconnaître des axes et mobiliser les propriétés de conservation.