Le cours de géométrie 6ème sur les points, segments, distances, cercles et disques installe le langage nécessaire pour lire une figure et écrire un programme de construction. Une notation précise distingue une droite infinie, une demi-droite, un segment mesurable et une longueur exprimée par un nombre.
On apprendra à placer et nommer des points, reconnaître l’alignement, mesurer une distance, construire un milieu et utiliser la définition du cercle ou du disque pour décrire la position d’un point.
Le point : nommer une position
Définition
Un point représente une position exacte dans le plan. On le marque par une petite croix et on le nomme avec une lettre majuscule, par exemple \(A\), \(B\) ou \(M\).
La lettre doit être écrite près de la croix sans la recouvrir. Deux points qui occupent la même position sont confondus. Deux points placés à des positions différentes sont distincts.
Un point n’a ni longueur, ni largeur, ni aire. La croix que l’on dessine sert seulement à le rendre visible. Son centre indique la position géométrique que l’on utilise pour mesurer ou tracer.
Droite, demi-droite et segment : ne plus les confondre
| Objet | Notation | Description | Mesurable ? |
|---|---|---|---|
| Droite | \((AB)\) | Elle passe par \(A\) et \(B\) et se prolonge dans les deux sens. | Non, elle est infinie. |
| Demi-droite | \([AB)\) | Elle a pour origine \(A\), passe par \(B\) et se prolonge après \(B\). | Non, elle est infinie dans un sens. |
| Segment | \([AB]\) | Il est limité par les extrémités \(A\) et \(B\). | Oui. |
| Longueur | \(AB\) | C’est la distance entre \(A\) et \(B\). | Oui, avec une unité. |
Erreur fréquente : \([AB]\) désigne le segment, tandis que \(AB\) désigne sa longueur. On écrit \(M\in[AB]\), mais on écrit \(AB=5\ \text{cm}\).
Appartenance d’un point à une figure
Le symbole \(\in\) signifie « appartient à » et le symbole \(\notin\) signifie « n’appartient pas à ». Si le point \(M\) est placé sur le segment \([AB]\), on écrit \(M\in[AB]\). S’il est en dehors de la droite \((AB)\), on écrit \(M\notin(AB)\).
La réciproque n’est pas toujours vraie : un point peut appartenir à la droite \((AB)\) tout en étant situé au-delà de \(A\) ou de \(B\), donc ne pas appartenir au segment \([AB]\).
Points alignés
Des points sont alignés lorsqu’ils appartiennent à une même droite. Pour vérifier l’alignement sur une figure, on place le bord de la règle sur deux points et on observe si le troisième se trouve exactement sur ce bord.
Si \(A\), \(M\) et \(B\) sont alignés et si \(M\) est entre \(A\) et \(B\), alors \(M\in[AB]\). L’ordre des points devient important pour additionner les distances.
Distance entre deux points
Définition
La distance entre deux points \(A\) et \(B\) est la longueur du segment \([AB]\). Elle se note \(AB\) et s’exprime avec une unité de longueur.
La distance ne peut jamais être négative et ne dépend pas du sens de lecture :
Pour mesurer \(AB\), on place le zéro de la règle exactement sur \(A\), puis on lit la graduation en face de \(B\). Si le bord de la règle est abîmé, on peut placer \(A\) sur une autre graduation et soustraire les deux lectures.
Addition des longueurs
Si \(M\in[AB]\), le segment est partagé en deux parties et leurs longueurs s’additionnent :
Par exemple, si \(AB=9,5\ \text{cm}\) et \(AM=3,2\ \text{cm}\), alors \(MB=9,5-3,2=6,3\ \text{cm}\). Cette égalité n’est valable sous cette forme que si \(M\) se trouve entre \(A\) et \(B\).
Milieu d’un segment
Définition
Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui se trouve à égale distance de ses deux extrémités.
Dire que \(I\) est le milieu de \([AB]\) apporte deux informations indispensables :
Si \(AB=8,6\ \text{cm}\), alors \(IA=IB=8,6\div2=4,3\ \text{cm}\). Pour placer \(I\) à la règle graduée, on mesure la moitié de la longueur depuis l’une des extrémités.
Des marques identiques sur \([IA]\) et \([IB]\) codent l’égalité des longueurs. Sans la condition \(I\in[AB]\), un point situé ailleurs mais à égale distance de \(A\) et \(B\) ne serait pas le milieu.
La construction sans mesure et l’ensemble des points équidistants sont approfondis dans le cours sur la médiatrice d’un segment en 6ème.
Le cercle : des points à distance fixe
Définition
Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l’ensemble des points situés exactement à la distance \(r\) du point \(O\).
Si \(A\) appartient au cercle de centre \(O\) et de rayon \(4\ \text{cm}\), alors \(OA=4\ \text{cm}\). Réciproquement, si \(OA=4\ \text{cm}\), le point \(A\) appartient à ce cercle.
Rayon et diamètre
Un rayon est un segment qui joint le centre à un point du cercle, ou la longueur de ce segment. Un diamètre est un segment dont les extrémités appartiennent au cercle et qui passe par le centre. Sa longueur est le double du rayon.
Une corde relie deux points du cercle sans nécessairement passer par le centre. Tout diamètre est donc une corde particulière, mais toute corde n’est pas un diamètre.
Cercle et disque : contour ou surface
Le disque de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l’ensemble des points dont la distance à \(O\) est inférieure ou égale à \(r\).
| Position de \(M\) | Comparaison | Conclusion |
|---|---|---|
| À l’intérieur | \(OM<r\) | \(M\) appartient au disque, pas au cercle. |
| Sur le contour | \(OM=r\) | \(M\) appartient au cercle et au disque. |
| À l’extérieur | \(OM>r\) | \(M\) n’appartient ni au cercle ni au disque. |
Le cercle est une ligne fermée ; le disque est la surface limitée par cette ligne. Le périmètre d’un disque est donc la longueur de son cercle. La distinction entre contour et surface est reprise dans le cours sur les périmètres et aires en 6ème.
Vocabulaire : on trace un cercle au compas, puis on peut colorier le disque. Dire « colorier le cercle » est imprécis si l’on remplit toute la surface intérieure.
Tracer un cercle avec un compas
- Placer et nommer le centre \(O\).
- Ouvrir le compas à la longueur du rayon à l’aide de la règle.
- Piquer la pointe sèche exactement en \(O\).
- Faire tourner le compas sans modifier son ouverture.
Le crayon doit être taillé et les deux branches du compas doivent rester stables. Pour un cercle passant par un point \(A\), on place la pointe sèche en \(O\), la mine en \(A\), puis on trace : l’ouverture du compas vaut alors exactement \(OA\).
Construire un point soumis à deux distances
Pour placer un point \(M\) à \(4\ \text{cm}\) de \(A\) et à \(3\ \text{cm}\) de \(B\), on trace le cercle de centre \(A\) et de rayon \(4\ \text{cm}\), puis le cercle de centre \(B\) et de rayon \(3\ \text{cm}\). Les points d’intersection satisfont les deux conditions.
Cette méthode transforme chaque contrainte de distance en un cercle. Elle intervient notamment dans les constructions de triangles à partir de leurs trois côtés.
Lire et écrire un programme de construction
Un programme de construction est une suite ordonnée d’instructions qui permet de reproduire une figure sans la voir. Chaque étape doit utiliser un vocabulaire et des notations sans ambiguïté.
Exemple
- Tracer un segment \([AB]\) de \(7\ \text{cm}\).
- Placer le milieu \(I\) de \([AB]\).
- Tracer le cercle de centre \(I\) et de rayon \(IA\).
- Placer un point \(M\) sur ce cercle, distinct de \(A\) et de \(B\).
- Tracer les segments \([MA]\) et \([MB]\).
Les verbes ont une fonction précise : « tracer » crée un objet continu, « placer » fixe un point, « mesurer » produit une longueur ou un angle, et « coder » ajoute une information connue. Un bon programme nomme les points avant de les utiliser.
Les demi-droites nécessaires à la construction des ouvertures sont étudiées dans le cours sur les angles en 6ème.
Raisonner à partir d’une figure codée
Une figure codée fournit des données que l’on traduit en phrases ou en égalités. Si deux segments portent la même marque, leurs longueurs sont égales. Si un point est indiqué comme appartenant à un cercle, sa distance au centre est égale au rayon.
Exemple de déduction
Les points \(A\) et \(B\) appartiennent au cercle de centre \(O\) et de rayon \(5\ \text{cm}\). On peut écrire \(OA=5\ \text{cm}\) et \(OB=5\ \text{cm}\), donc \(OA=OB\). Le triangle \(OAB\) possède deux côtés égaux : il est isocèle en \(O\).
La rédaction doit séparer ce qui est donné de ce qui est déduit. L’apparence d’une figure ne permet ni d’affirmer un alignement, ni une égalité de longueurs, ni une perpendicularité si aucun codage ou énoncé ne le précise.
Intersection de deux objets géométriques
Deux objets sont sécants lorsqu’ils possèdent un ou plusieurs points communs. Deux droites distinctes sécantes ont un unique point commun. Si les droites \((AB)\) et \((CD)\) se coupent en \(I\), on dit que \(I\) est leur point d’intersection et on vérifie \(I\in(AB)\) ainsi que \(I\in(CD)\).
Une droite et un cercle peuvent n’avoir aucun point commun, avoir un seul point commun ou en avoir deux. Deux cercles peuvent aussi être disjoints, tangents ou sécants. Dans une construction, leurs points d’intersection servent souvent à placer un point qui doit respecter simultanément deux distances.
Ne pas prolonger sans autorisation
Deux segments peuvent ne pas se couper alors que les droites qui les portent sont sécantes. Il faut donc lire les notations avant de chercher une intersection : \([AB]\cap[CD]\) concerne seulement les parties limitées, tandis que \((AB)\cap(CD)\) autorise les prolongements.
Lorsque plusieurs points d’intersection sont possibles, l’énoncé ajoute une indication telle que « au-dessus de \((AB)\) » ou « dans le demi-plan contenant \(C\) ». Cette précision permet de choisir le bon point sans se fier à une figure approximative.
Contrôler une construction géométrique
Une construction précise se vérifie avec les mêmes instruments qui ont servi à la réaliser. On contrôle les longueurs à la règle, les appartenances par alignement, et les distances au compas. Les traits auxiliaires fins expliquent comment les points ont été obtenus.
| Objet à vérifier | Instrument | Question de contrôle |
|---|---|---|
| Segment | Règle graduée | La longueur demandée est-elle respectée ? |
| Alignement | Règle non graduée | Les centres des croix sont-ils sur le même bord ? |
| Milieu | Règle ou compas | Le point appartient-il au segment et les deux distances sont-elles égales ? |
| Cercle | Compas | Le centre et le rayon sont-ils corrects ? |
Soignez les marques : une croix épaisse ou un trait très large peut créer plusieurs millimètres d’incertitude. Tracez finement, puis repassez uniquement le résultat final si nécessaire.
À retenir en géométrie 6ème
- Un point est nommé par une lettre majuscule.
- \((AB)\) est une droite, \([AB)\) une demi-droite, \([AB]\) un segment et \(AB\) une longueur.
- Des points alignés appartiennent à une même droite.
- Le milieu d’un segment appartient au segment et se trouve à égale distance de ses extrémités.
- Un cercle rassemble les points situés exactement à la même distance de son centre.
- Un disque rassemble les points situés à une distance inférieure ou égale au rayon.
- Un programme de construction doit être ordonné, précis et vérifiable.
Ces notions correspondent au programme officiel de mathématiques du cycle 3, qui demande de maîtriser le vocabulaire, les notations, les distances et les constructions géométriques fondamentales.