La médiatrice d’un segment en 6ème relie deux idées : le milieu et la perpendicularité. C’est une droite que l’on peut construire à l’équerre après avoir mesuré le segment, ou au compas sans effectuer de mesure. Sa propriété d’équidistance permet ensuite de placer tous les points situés à la même distance des deux extrémités.
Ce cours distingue clairement la définition de la médiatrice, sa propriété directe et sa propriété réciproque, puis montre comment les utiliser dans une construction ou une justification.
Définition de la médiatrice d’un segment
Définition
La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire.
Dire que la droite \((d)\) est la médiatrice de \([AB]\) impose donc deux conditions. Si \(I\) est son point d’intersection avec \([AB]\), alors \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \((d)\perp(AB)\).
Le mot « médiatrice » concerne une droite entière, pas seulement le petit trait visible près du segment. Elle se prolonge dans les deux sens.
Erreur fréquente : une droite qui passe par le milieu n’est pas forcément la médiatrice ; elle doit aussi être perpendiculaire au segment. De même, une perpendiculaire qui ne passe pas par le milieu ne convient pas.
Reconnaître une médiatrice sur une figure codée
Deux codages sont nécessaires. Des marques identiques sur \([IA]\) et \([IB]\) indiquent \(IA=IB\), donc que \(I\) est le milieu de \([AB]\) si \(I\in[AB]\). Un petit carré à l’intersection indique que la droite est perpendiculaire à \((AB)\).
La figure seule ne suffit pas si les codages sont absents. Une droite qui semble verticale et un segment qui semble horizontal ne sont pas nécessairement perpendiculaires dans un raisonnement géométrique.
Propriété d’équidistance de la médiatrice
Propriété directe
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à égale distance des deux extrémités de ce segment.
Sur la figure précédente, \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\). On peut donc conclure \(MA=MB\) sans mesurer. Le triangle \(MAB\) est alors isocèle en \(M\).
Cette propriété fonctionne pour tous les points de la droite, qu’ils soient proches ou éloignés du segment. Le milieu \(I\) lui-même appartient à la médiatrice et vérifie naturellement \(IA=IB\).
Propriété réciproque de la médiatrice
Propriété réciproque
Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
La propriété directe part d’une appartenance pour obtenir une égalité de distances. La réciproque fait le chemin inverse : elle part de \(MA=MB\) pour localiser \(M\) sur la médiatrice.
| Information connue | Propriété utilisée | Conclusion |
|---|---|---|
| \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\) | Propriété directe | \(MA=MB\) |
| \(MA=MB\) | Propriété réciproque | \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\) |
Confondre les deux sens conduit à citer une propriété qui ne correspond pas aux données. Avant de rédiger, on souligne l’information de départ et on vérifie si elle concerne une appartenance ou une égalité.
Construire la médiatrice avec une règle graduée et une équerre
Cette méthode applique directement la définition.
- Mesurer la longueur \(AB\).
- Calculer sa moitié.
- Placer le point \(I\) sur \([AB]\) tel que \(IA=IB\).
- Placer un côté de l’angle droit de l’équerre le long de \((AB)\).
- Faire glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre côté passe par \(I\).
- Tracer la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(I\).
Si \(AB=7,6\ \text{cm}\), le milieu vérifie \(IA=IB=3,8\ \text{cm}\). Il faut placer le zéro de la règle avec précision et tracer une droite assez longue de part et d’autre du segment.
Contrôle de la construction
On vérifie le milieu en remesurant \(IA\) et \(IB\), puis la perpendicularité en replaçant l’équerre. Les deux contrôles sont nécessaires car la définition contient deux conditions.
Construire la médiatrice au compas
La construction au compas est souvent plus précise parce qu’elle évite de mesurer le milieu. Elle repose sur la propriété réciproque.
- Ouvrir le compas à une longueur strictement supérieure à la moitié de \(AB\).
- Piquer en \(A\) et tracer deux arcs, de part et d’autre du segment.
- Sans modifier l’ouverture, piquer en \(B\) et tracer deux arcs qui coupent les précédents.
- Nommer \(M\) et \(N\) les deux points d’intersection.
- Tracer la droite \((MN)\).
Comme les arcs ont été tracés avec la même ouverture, \(MA=MB\) et \(NA=NB\). Par la propriété réciproque, \(M\) et \(N\) appartiennent à la médiatrice de \([AB]\). La droite qui passe par ces deux points est donc cette médiatrice.
Ouverture du compas : si elle est inférieure ou égale à la moitié de \(AB\), les arcs ne se coupent pas en deux points. Il faut augmenter l’ouverture sans dépasser une taille difficile à manipuler.
Pourquoi la construction au compas fonctionne-t-elle ?
Chaque arc est une partie de cercle. Les deux arcs centrés en \(A\) et \(B\) ont le même rayon. Un point d’intersection appartient aux deux cercles, donc sa distance à \(A\) est égale à sa distance à \(B\).
Deux points distincts déterminent une unique droite. En reliant \(M\) et \(N\), on obtient donc la droite entière constituée des points équidistants de \(A\) et \(B\).
La définition du cercle comme ensemble de points situés à distance fixe est expliquée dans le cours de géométrie 6ème.
Utiliser la médiatrice pour construire un milieu
Après avoir tracé la médiatrice de \([AB]\) au compas, son point d’intersection \(I\) avec le segment est le milieu de \([AB]\). On n’a pas besoin de connaître la longueur \(AB\).
Cette méthode est utile lorsqu’une règle non graduée est imposée ou lorsque la mesure du segment n’est pas un nombre simple. Le compas reproduit exactement des distances, sans calcul d’une moitié approchée.
On conserve les arcs de construction et on code \(IA=IB\) ainsi que l’angle droit. Ces marques montrent que le point obtenu respecte bien les deux conditions de la définition.
Construire un point à égale distance de deux points
La phrase « placer un point \(P\) tel que \(PA=PB\) » ne détermine pas un seul point. Tous les points de la médiatrice de \([AB]\) conviennent. Il faut donc tracer cette droite, puis choisir un point dessus selon les autres contraintes de l’énoncé.
Ajouter une troisième contrainte
Si l’on demande aussi \(PC=4\ \text{cm}\), on trace le cercle de centre \(C\) et de rayon \(4\ \text{cm}\). Les intersections entre ce cercle et la médiatrice de \([AB]\) sont les points qui respectent simultanément \(PA=PB\) et \(PC=4\ \text{cm}\).
Cette démarche transforme chaque phrase en un lieu géométrique : l’égalité de deux distances donne une médiatrice, tandis qu’une distance fixée à un point donne un cercle.
Médiatrice et triangle isocèle
Si \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\), alors \(MA=MB\). Le triangle \(MAB\) possède donc deux côtés égaux et il est isocèle en \(M\).
Réciproquement, si \(MAB\) est isocèle en \(M\), alors \(MA=MB\). Le sommet principal \(M\) appartient donc à la médiatrice de la base \([AB]\).
Cette relation explique la construction d’un triangle isocèle à partir de sa base : on trace la médiatrice de la base et on choisit le sommet principal sur cette droite. Les propriétés et constructions correspondantes sont développées dans le cours sur les triangles en 6ème.
Médiatrices d’un triangle et centre du cercle
Dans un triangle \(ABC\), les médiatrices des trois côtés se coupent en un même point \(O\). Comme \(O\) appartient à la médiatrice de \([AB]\), on a \(OA=OB\). Comme il appartient aussi à la médiatrice de \([BC]\), on a \(OB=OC\).
Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\) passe donc par les trois sommets. On l’appelle cercle circonscrit au triangle. En pratique, il suffit de tracer avec précision deux médiatrices : leur intersection détermine \(O\), puis la troisième doit passer par le même point et sert de contrôle.
Rédiger un raisonnement avec une médiatrice
De l’appartenance vers l’égalité
« Le point \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\). Or tout point de la médiatrice d’un segment est à égale distance de ses extrémités. Donc \(MA=MB\). »
De l’égalité vers l’appartenance
« On sait que \(NA=NB\). Or tout point équidistant des extrémités d’un segment appartient à sa médiatrice. Donc \(N\) appartient à la médiatrice de \([AB]\). »
Dans les deux cas, la propriété générale est placée entre la donnée et la conclusion. Cette structure rend le raisonnement vérifiable et évite une réponse fondée uniquement sur le dessin.
Lien entre médiatrice et symétrie axiale
Deux points \(A\) et \(B\) sont symétriques par rapport à une droite \((d)\) lorsque \((d)\) est la médiatrice du segment \([AB]\). L’axe de symétrie est donc perpendiculaire au segment qui relie un point à son image et passe par son milieu.
Cette définition fournit une méthode pour construire l’image d’un point : on trace la perpendiculaire à l’axe passant par le point, puis on reporte la même distance de l’autre côté de l’axe. La construction complète est étudiée dans le cours sur la symétrie axiale en 6ème.
Ne pas confondre médiatrice, médiane et bissectrice
La médiatrice est définie à partir d’un segment : elle lui est perpendiculaire et passe par son milieu. Elle n’est pas obligée de passer par un sommet d’un triangle. La médiane, au contraire, est un segment qui relie un sommet d’un triangle au milieu du côté opposé ; elle n’est pas toujours perpendiculaire à ce côté.
La bissectrice est définie à partir d’un angle : elle part du sommet et partage l’ouverture en deux angles égaux. Une médiatrice partage une longueur en deux parties égales, tandis qu’une bissectrice partage une mesure d’angle en deux parties égales.
Dans un triangle isocèle, certaines de ces droites peuvent être confondues. Cette situation particulière ne doit pas faire oublier leurs définitions différentes. Pour identifier la droite demandée, on repère donc d’abord si l’énoncé parle d’un segment, d’un sommet ou d’un angle.
Contrôler et corriger une construction
| Contrôle | Outil | Résultat attendu |
|---|---|---|
| Milieu | Règle ou compas | \(IA=IB\) |
| Perpendicularité | Équerre | Angle droit entre la médiatrice et \((AB)\) |
| Équidistance d’un point | Compas | \(MA=MB\) |
| Arcs de construction | Observation | Même rayon depuis \(A\) et \(B\) |
Si les arcs ne se rencontrent pas au même point après vérification, l’ouverture du compas a probablement changé. Si la droite obtenue ne passe pas par le milieu, il faut contrôler les centres des arcs et l’épaisseur des marques.
Présentation : gardez les arcs fins et visibles. Ils font partie de la justification de la construction, alors qu’un simple trait final ne montre pas comment la médiatrice a été obtenue.
À retenir sur la médiatrice en 6ème
- La médiatrice est perpendiculaire au segment et passe par son milieu.
- Tout point de la médiatrice est à égale distance des extrémités.
- Tout point équidistant des extrémités appartient à la médiatrice.
- La règle graduée et l’équerre appliquent directement la définition.
- Le compas construit deux points équidistants, puis la droite qui les relie.
- La médiatrice sert à construire un milieu, un triangle isocèle et le centre d’un cercle passant par plusieurs points.
Ces savoir-faire relèvent du programme officiel de mathématiques du cycle 3, qui associe propriétés géométriques, constructions instrumentées et justification.