Nombres complexes, forme algébrique Terminale : 9 exercices corrigés

Le cours de Nombres complexes, forme algébrique sert ici de point d'appui à un calcul complexe réellement vérifié : identifier la partie réelle, employer la forme algébrique et contrôler chaque équation complexe.

La progression relie le conjugué complexe au module d'un complexe, puis conduit des opérations courantes à une recherche complète de racines carrées.

Identifier et calculer

Écrire chaque résultat sous la forme a + ib.

Exercice 1 : Parties réelle et imaginaire

Facile

On pose z=3−5iz=3-5i et w=−2+iw=-2+i.

  1. Donner les parties réelle et imaginaire de z.
  2. Calculer z + w.
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  1. Re⁡(z)=3\operatorname{Re}(z)=3 et Im⁡(z)=−5\operatorname{Im}(z)=-5.
  2. z+w=1−4iz+w=1-4i.

Exercice 2 : Produit et puissance de i

Facile

Calculer sans calculatrice.

  1. Développer (2−3i)(1+2i)(2-3i)(1+2i).
  2. Simplifier i2026i^{2026}.
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  1. Le développement donne 2+4i−3i−6i2=8+i2+4i-3i-6i^2=8+i.
  2. Comme 2026≡2(mod4)2026\equiv2\pmod4, i2026=i2=−1i^{2026}=i^2=-1.

Exercice 3 : Identifier deux réels

Moyen

Les réels x et y vérifient (x+iy)(2−i)=5i(x+iy)(2-i)=5i.

  1. Développer le membre de gauche.
  2. Déterminer x et y.
Indication
Identifier séparément les parties réelle et imaginaire.
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  1. On obtient (2x+y)+i(2y−x)(2x+y)+i(2y-x).
  2. Le système 2x+y=0, 2y−x=52x+y=0,\ 2y-x=5 donne x=−1x=-1 et y=2y=2.

Exercice 4 : Une identité avec le conjugué

Moyen

Soit z=a+ibz=a+ib.

  1. Montrer que z+z‾z+\overline z est réel.
  2. Montrer que z−z‾z-\overline z est imaginaire pur.
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  1. z+z‾=(a+ib)+(a−ib)=2az+\overline z=(a+ib)+(a-ib)=2a, qui est réel.
  2. z−z‾=2ibz-\overline z=2ib, dont la partie réelle est nulle.

Conjugué, quotient et module

Choisir le contrôle adapté à l'opération.

Exercice 5 : Mettre un quotient sous forme algébrique

Moyen

On considère q=3+4i1−2iq=\frac{3+4i}{1-2i}.

  1. Rationaliser le dénominateur.
  2. Donner q sous forme algébrique et contrôler.
Indication
Utiliser le conjugué du dénominateur.
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  1. On multiplie par 1+2i1+2i : q=(3+4i)(1+2i)5=−5+10i5q=\frac{(3+4i)(1+2i)}5=\frac{-5+10i}{5}.
  2. q=−1+2iq=-1+2i, et (−1+2i)(1−2i)=3+4i(-1+2i)(1-2i)=3+4i.

Exercice 6 : Module et produit

Moyen

Soient z=1−2iz=1-2i et w=2+iw=2+i.

  1. Calculer ∣z∣|z| et ∣w∣|w|.
  2. Calculer zw puis vérifier ∣zw∣=∣z∣∣w∣|zw|=|z||w|.
  3. En déduire le module de z/wz/w.
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  1. Les deux modules valent 5\sqrt5.
  2. zw=4−3izw=4-3i, donc ∣zw∣=5=5×5|zw|=5=\sqrt5\times\sqrt5.
  3. Comme w est non nul, ∣z/w∣=∣z∣/∣w∣=1\left|z/w\right|=|z|/|w|=1.

Exercice 7 : Équation avec un conjugué

Difficile

Résoudre dans C\mathbb C l'équation z+2z‾=3+iz+2\overline z=3+i.

  1. Poser z=x+iyz=x+iy et traduire l'équation.
  2. Donner puis vérifier la solution.
Indication
Le conjugué de x + iy est x - iy.
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  1. Le membre de gauche vaut 3x−iy3x-iy, donc 3x=33x=3 et −y=1-y=1.
  2. z=1−iz=1-i. Alors z+2z‾=(1−i)+2(1+i)=3+iz+2\overline z=(1-i)+2(1+i)=3+i.

Exercice 8 : Condition sur l’inverse

Difficile

Soit z≠0z\neq0. On suppose que z+1zz+\frac1z est réel.

  1. Écrire z=reiθz=re^{i\theta}, avec r>0r>0, et calculer la partie imaginaire.
  2. Décrire les deux possibilités.
  3. Vérifier que ces deux familles conviennent.
Indication
Une quantité est réelle lorsque sa partie imaginaire est nulle.
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  1. La partie imaginaire est (r−r−1)sin⁡θ(r-r^{-1})\sin\theta.
  2. Elle est nulle si r=1r=1, donc ∣z∣=1|z|=1, ou si sin⁡θ=0\sin\theta=0, donc z est réel non nul.
  3. Si z est réel, la somme est réelle ; si ∣z∣=1|z|=1, 1/z=z‾1/z=\overline z, donc z+1/z=2Re⁡(z)z+1/z=2\operatorname{Re}(z).

Synthèse algébrique

Combiner identification, module et vérification.

Exercice 9 : Racines carrées d’un complexe

Difficile

Déterminer les nombres complexes z tels que z2=3+4iz^2=3+4i.

  1. Poser z=x+iyz=x+iy et écrire les deux équations obtenues.
  2. Utiliser les modules pour déterminer x2x^2 et y2y^2.
  3. Donner les solutions et les contrôler.
Indication
Le module fournit l'équation x² + y² qui manque au système.
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  1. On obtient x2−y2=3x^2-y^2=3 et 2xy=42xy=4.
  2. Comme ∣z∣2=∣3+4i∣=5|z|^2=|3+4i|=5, on a x2+y2=5x^2+y^2=5. Avec x2−y2=3x^2-y^2=3, il vient x2=4x^2=4 et y2=1y^2=1.
  3. La condition xy=2xy=2 impose les mêmes signes : z=2+iz=2+i ou z=−2−iz=-2-i. Leurs carrés valent bien 3+4i3+4i.
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