Combinatoire et dénombrement Terminale : cours

Dénombrer ne consiste pas à essayer des formules jusqu'à obtenir un entier plausible. Il faut d'abord décrire exactement l'objet compté : une liste ordonnée, une partie d'un ensemble, une permutation complète ou la réunion de cas incompatibles. Cette traduction gouverne tout le calcul.

En Terminale, la combinatoire relie les ensembles finis, les arbres, les mots, les chemins et les probabilités. L'enjeu est moins de mémoriser beaucoup de recettes que de répondre à trois questions : l'ordre compte-t-il, les répétitions sont-elles autorisées et les cas se recouvrent-ils ?

Table des Matières

Commencer par identifier l’objet à compter

Liste, partie et permutation

Un k-uplet d'un ensemble A est une liste ordonnée de k éléments de A. Une partie à k éléments ne tient pas compte de l'ordre. Une permutation est une liste de tous les éléments, chacun apparaissant une seule fois.

Un code de quatre chiffres est une liste : 1234 et 4321 sont différents. Un comité de quatre élèves est une partie : changer l'ordre des noms ne crée pas un nouveau comité. Pour ranger tous les livres distincts d'une étagère, on compte des permutations. Avant tout calcul, reformuler une issue avec l'un de ces objets évite la confusion la plus fréquente du chapitre.

Principes additif et multiplicatif

Choix exclusifs ou choix successifs

Si des familles finies sont deux à deux disjointes, le nombre total d'objets est la somme de leurs effectifs. Si une construction comporte plusieurs choix successifs indépendants dans leur nombre de possibilités, on multiplie les nombres de choix.

Le principe additif convient aux cas séparés par « ou » lorsque aucun objet n'est compté deux fois. Le principe multiplicatif convient à une procédure en étapes. Un identifiant formé de deux lettres puis trois chiffres offre ainsi $26^2\times10^3$ possibilités si la répétition est permise. Si le premier chiffre ne peut pas être nul, la première étape n'a que neuf choix : les facteurs doivent refléter les contraintes réelles.

Permutations, arrangements et combinaisons

On considère des entiers n et k. Pour les choix sans répétition, les formules ci-dessous supposent $0\leq k\leq n$ , avec $0!=1$ .

n!,\qquad \frac{n!}{(n-k)!},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Situation	Ordre	Répétition	Nombre
k choix parmi n	oui	oui	$n^k$
k choix parmi n	oui	non	$\frac{n!}{(n-k)!}$
k choix parmi n	non	non	$\binom{n}{k}$
Ranger les n objets	oui	non	$n!$

Le tableau est un outil de décision, pas une preuve automatique. Dans un podium, les rôles sont distincts, donc l'ordre compte. Dans un groupe sans fonction attribuée, il ne compte pas. Les arrangements sont une écriture commode pour les listes sans répétition, même si le mot lui-même est moins important que la justification du modèle.

Lire les coefficients binomiaux

Symétrie et relation de Pascal

Choisir k éléments revient à écarter les $n-k$ autres, d'où $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ . En distinguant les parties qui contiennent un élément fixé et celles qui ne le contiennent pas, on obtient $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ .

La relation de Pascal construit chaque ligne du triangle à partir de la précédente. Elle explique aussi les chemins dans une grille : atteindre un sommet se fait par le sommet de gauche ou celui du dessous. Cette double lecture algébrique et combinatoire est plus solide qu'un triangle appris par coeur.

Choix ordonné ou non ordonné — Un arbre distingue les suites de choix, puis le regroupement efface l'ordre pour former les combinaisons.

Méthode de rédaction dans un problème

Définir l'ensemble des objets possibles et la taille recherchée.
Décider si l'ordre produit des objets différents.
Repérer si un élément peut être choisi plusieurs fois.
Séparer les cas incompatibles ou compter le complément lorsque c'est plus court.
Écrire le calcul avec une phrase qui relie chaque facteur ou coefficient au choix effectué.

Pour compter les mots de cinq lettres contenant exactement deux A, on choisit d'abord les deux positions des A, soit $\binom{5}{2}$ , puis on remplit les trois autres positions selon l'alphabet autorisé. Cette décomposition montre pourquoi le coefficient binomial intervient. Elle permet aussi d'adapter immédiatement le calcul si une lettre supplémentaire est interdite.

Choisir un comité avec une contrainte

Parmi 8 filles et 6 garçons, on choisit un comité de 3 élèves comprenant exactement 2 filles. Les fonctions ne sont pas distinguées : l'ordre ne compte pas. On choisit les filles de $\binom82=28$ façons, puis le garçon de 6 façons. Chaque comité apparaît une seule fois dans cette construction, donc le nombre recherché est $28\times6=168$ . Si l'on attribuait trois fonctions distinctes aux membres, il faudrait ensuite multiplier par $3!=6$ .

Erreurs à écarter et prolongements

Erreur fréquente : additionner des cas qui se recouvrent compte plusieurs fois certains objets. Il faut rendre les cas disjoints ou corriger l'intersection.

Contrôle utile : pour de petites valeurs, énumérer les objets ou écrire un court programme Python permet de vérifier le résultat sans remplacer la démonstration.

Les arbres pondérés reposent sur les probabilités conditionnelles de Première. Les coefficients binomiaux seront réinvestis dans le schéma de Bernoulli et la loi binomiale.

Les notions exigibles et les approfondissements sont distingués selon le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.