Fonction exponentielle Première : 7 exercices corrigés

Les règles algébriques de l'exponentielle précèdent les équations et les modèles de croissance ou de décroissance. Dérivation, injectivité et seuil numérique sont utilisés dans des rôles différents, avec une interprétation des unités lorsque le modèle l'exige.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Fonction exponentielle. Les propriétés et modèles sont approfondis dans le cours complet sur l'exponentielle.

Bases de Fonction exponentielle : Règles de calcul exponentiel

Exercice 1 : Règles de calcul exponentiel

Facile

Simplifier e3e−5e^3e^{-5}, e2x/ex−1e^{2x}/e^{x-1} et (ex)4(e^{x})^4.

  1. Donner les trois écritures simplifiées.
  2. Préciser pourquoi elles restent positives.
Indication
Additionner les exposants dans un produit et les soustraire dans un quotient.
Voir le corrigé
  1. e3e−5=e−2e^3e^{-5}=e^{-2}, e2xex−1=ex+1\frac{e^{2x}}{e^{x-1}}=e^{x+1} et (ex)4=e4x(e^x)^4=e^{4x}.
  2. Une exponentielle ete^t est strictement positive pour tout réel t. Les trois expressions restent donc positives.

Exercice 2 : Équations et inéquations

Moyen

Résoudre e2x−1=e5e^{2x-1}=e^5 puis e3−x≤ee^{3-x}\leq e.

  1. Utiliser l'injectivité pour l'équation.
  2. Utiliser la croissance pour l'inéquation.
  3. Donner les ensembles solutions.
Indication
Comparer directement les exposants.
Voir le corrigé
  1. L'injectivité de l'exponentielle donne 2x−1=52x-1=5, donc x=3x=3.
  2. Comme l'exponentielle est strictement croissante, e3−x≤ee^{3-x}\leq e équivaut à 3−x≤13-x\leq1, donc x≥2x\geq2.
  3. Les ensembles solutions sont {3}\{3\} et [2;+∞[[2;+\infty[.

Choisir une méthode : Démontrer que l'exponentielle ne s'annule jamais

Exercice 3 : Démontrer que l’exponentielle ne s’annule jamais

Difficile

On utilise l'identité exp⁡(x)exp⁡(−x)=1\exp(x)\exp(-x)=1 et la continuité de la fonction exponentielle pour déterminer son signe.

  1. Montrer que exp⁡(x)\exp(x) ne peut jamais être nulle.
  2. Déduire que exp⁡(x)>0\exp(x)\gt 0 pour tout réel xx.
Indication
Une fonction continue ne peut changer de signe sans s'annuler.
Voir le corrigé
  1. Si exp⁡(x)=0\exp(x)=0, alors le produit exp⁡(x)exp⁡(−x)\exp(x)\exp(-x) vaudrait 0, contrairement à l'identité qui donne 1. L'exponentielle ne s'annule donc pas.
  2. Elle est continue et exp⁡(0)=1>0\exp(0)=1\gt 0. Comme elle ne s'annule jamais, elle ne peut traverser l'axe des abscisses : exp⁡(x)>0\exp(x)\gt 0 sur R\mathbb R.

Exercice 4 : Croissance continue

Difficile

Une population est modélisée par P(t)=1200e0,06tP(t)=1200e^{0{,}06t}, avec tt en années.

  1. Calculer P(0)P(0) et P(10)P(10).
  2. Déterminer le taux de variation instantané P′(t)P'(t).
  3. Interpréter P′(10)P'(10).
  4. Écrire l'équation permettant de chercher le doublement.
Indication
La dérivée de eate^{at} est aeatae^{at}.
Voir le corrigé
  1. P(0)=1200P(0)=1200 et P(10)=1200e0,6≈2186,5P(10)=1200e^{0{,}6}\approx2186{,}5.
  2. P′(t)=1200×0,06e0,06t=72e0,06t=0,06P(t)P'(t)=1200\times0{,}06e^{0{,}06t}=72e^{0{,}06t}=0{,}06P(t).
  3. P′(10)≈131,2P'(10)\approx131{,}2 : au bout de 10 ans, le modèle prévoit une augmentation instantanée d'environ 131 individus par an.
  4. Le doublement vérifie 1200e0,06t=24001200e^{0{,}06t}=2400, soit e0,06t=2e^{0{,}06t}=2.

Exercice 5 : Étudier une décroissance exponentielle

Moyen

Une concentration est modélisée par C(t)=80e−0,3tC(t)=80e^{-0{,}3t} pour t≥0t\geq0. On cherche sa valeur initiale, son sens de variation et le temps où elle passe sous 20.

  1. Calculer la concentration initiale.
  2. Étudier le signe de la dérivée puis les variations de C.
  3. Traduire le passage sous 20 par une inéquation exponentielle.
  4. Déterminer une valeur approchée du premier instant correspondant.
Indication
Regrouper les exposants à partir des propriétés, sans additionner les valeurs exp(x) et exp(y).
Voir le corrigé
  1. C(0)=80C(0)=80.
  2. C′(t)=−24e−0,3tC'(t)=-24e^{-0{,}3t}, qui est négative car l'exponentielle est positive. La concentration est strictement décroissante.
  3. C(t)<20C(t)\lt 20 équivaut à e−0,3t<14e^{-0{,}3t}\lt \frac14.
  4. Une résolution numérique donne t>4,62t\gt 4{,}62 environ : la concentration passe sous 20 après près de 4,63 unités de temps.

Approfondir Fonction exponentielle : Relier le nombre ee à l'équation f′=ff'=f

Exercice 6 : Résoudre avec l’injectivité de l’exponentielle

Moyen

Résoudre dans R\mathbb R : e2x−1=ex+4e^{2x-1}=e^{x+4}, puis e3x=1e^{3x}=1.

  1. Résoudre la première équation.
  2. Résoudre la seconde.
  3. Justifier la propriété utilisée.
Indication
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc injective.
Voir le corrigé
  1. 2x−1=x+42x-1=x+4, donc x=5x=5.
  2. Comme 1=e01=e^0, e3x=e0e^{3x}=e^0, donc x=0x=0.
  3. L'égalité de deux exponentielles impose l'égalité des exposants parce que la fonction est strictement croissante.

Exercice 7 : Relier le nombre ee à l'équation f′=ff'=f

Moyen

Le nombre ee est la valeur e1e^1. On considère f(x)=Cexf(x)=Ce^x, où C est une constante réelle.

  1. Vérifier que f′=ff'=f.
  2. Déterminer CC si f(0)=3f(0)=3.
  3. Calculer alors f(1)f(1) en fonction du nombre ee.
Indication
Utiliser (ex)′=ex(e^x)'=e^x et e0=1e^0=1.
Voir le corrigé
  1. f′(x)=C(ex)′=Cex=f(x)f'(x)=C(e^x)'=Ce^x=f(x).
  2. f(0)=Ce0=Cf(0)=Ce^0=C, donc la condition impose C=3C=3.
  3. On obtient f(1)=3ef(1)=3e. Cette écriture est exacte.
Partager