Exponentielle Première : 14 exercices corrigés

Fonction exponentielle en Première : 14 exercices corrigés, des règles de calcul jusqu'à un problème type bac de pharmacologie, précédés de 6 questions d'automatismes. On y travaille les simplifications, les équations et inéquations, la dérivée de $e^{ax+b}$ , les études de variations, la modélisation, le lien avec les suites géométriques, la méthode d'Euler et l'approximation de $e$ .

Les corrigés nomment la règle utilisée à chaque étape et interprètent les résultats dans leur contexte. Le cours correspondant est Fonction exponentielle Première : définition, propriétés et modèles. Les exercices de dérivation qui servent ici sont dans les exercices corrigés de dérivation en Première.

Sommaire7 parties

Automatismes : 6 questions flash

Sans calculatrice sauf mention contraire, une seule bonne réponse par question.

Question 1 : Produit d’exponentielles

Automatisme

e^{3}\times e^{-5}

est égal à :

$e^{-15}$
$e^{-2}$
$e^{8}$
$e^{3}-e^{5}$

Voir le corrigé

Réponse B :

e^a\times e^b=e^{a+b}

, donc

e^{3+(-5)}=e^{-2}

. La réponse A multiplie les exposants, ce qui correspond à

(e^3)^{-5}

Question 2 : Puissance et quotient

Automatisme

Pour tout réel

x

\dfrac{(e^{x})^2}{e^{x}}

est égal à :

$e^{x^2-x}$
$e^2$
$e^{x}$
$1$

Voir le corrigé

Réponse C :

(e^x)^2=e^{2x}

, puis

\dfrac{e^{2x}}{e^x}=e^{2x-x}=e^x

. La réponse A vient de la confusion

(e^x)^2=e^{x^2}

Question 3 : Dériver une exponentielle

Automatisme

La dérivée de

f(x)=e^{-2x}

est :

$f'(x)=e^{-2x}$
$f'(x)=-2x\,e^{-2x-1}$
$f'(x)=2e^{-2x}$
$f'(x)=-2e^{-2x}$

Voir le corrigé

Réponse D :

\left(e^{ax+b}\right)'=a\,e^{ax+b}

avec

a=-2

. La réponse B applique à tort la règle des puissances

x^n

Question 4 : Équation

Automatisme

L'ensemble des solutions de

e^{2x-1}=e^{3}

est :

$\{2\}$
$\{4\}$
$\{1\}$
$\varnothing$

Voir le corrigé

Réponse A :

e^a=e^b\iff a=b

, donc

2x-1=3

x=2

. La réponse B oublie de diviser par 2.

Question 5 : Signe d’un produit

Automatisme

Sur

\mathopen{]}-\infty\,;-1\mathclose{[}

, l'expression

(x+1)e^{x}

est :

strictement positive
strictement négative
nulle en $x=-2$
de signe variable

Voir le corrigé

Réponse B.

e^x\gt 0

pour tout

x

, donc le produit a le signe de

x+1

, strictement négatif si

x\lt -1

. En

x=-2

, il vaut

-e^{-2}\approx-0{,}14

, pas 0.

Question 6 : Taux d’évolution

Automatisme

Une grandeur est multipliée chaque année par

e^{0{,}05}\approx1{,}0513

. Son taux d'évolution annuel est d'environ :

$+5\,\%$
$+105{,}13\,\%$
$+5{,}13\,\%$
$+0{,}05\,\%$

Voir le corrigé

Réponse C. Un coefficient multiplicateur

1+t

correspond à un taux

t

1{,}0513-1=0{,}0513

, soit

+5{,}13\,\%

. L'exposant

0{,}05

n'est pas le taux, il en est seulement proche.

Niveau 1 : règles de calcul

Exercice 1 : Simplifier des expressions

Facile

Écrire chaque expression sous la forme la plus simple possible, pour tout réel

x

$A=e^{3x}\times e^{2-x}$
$B=\dfrac{e^{4x}}{e^{x+1}}$
$C=\left(e^{-x}\right)^3\times e^{2x}$
$D=\left(e^{x}-e^{-x}\right)^2$
$E=\dfrac{e^{2x}+e^{x}}{e^{x}}$

Voir le corrigé

Produit : on ajoute les exposants. $A=e^{3x+2-x}=e^{2x+2}$ .
Quotient : on soustrait les exposants, sans oublier la parenthèse. $B=e^{4x-(x+1)}=e^{3x-1}$ .
$\left(e^{-x}\right)^3=e^{-3x}$ , donc $C=e^{-3x+2x}=e^{-x}$ .
Identité $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ , avec $e^x\times e^{-x}=e^0=1$ : $D=e^{2x}-2+e^{-2x}$ .
On divise chaque terme : $E=\dfrac{e^{2x}}{e^x}+\dfrac{e^x}{e^x}=e^x+1$ .

Contrôle en

x=0

A=e^2

e^{0}\times e^{2}=e^2

;

D=1-2+1=0

(1-1)^2=0

;

E=\frac{1+1}{1}=2=e^0+1

Exercice 2 : Démontrer une égalité

Facile

Démontrer que, pour tout réel

x

\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2=4

Voir le corrigé

Méthode la plus courte : l'identité

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

avec

a=e^x+e^{-x}

b=e^x-e^{-x}

. On a

a-b=2e^{-x}

a+b=2e^x

, donc

\begin{aligned}a^2-b^2&=2e^{-x}\times2e^x\\&=4e^{0}=4.\end{aligned}

En développant chaque carré, on obtiendrait

\left(e^{2x}+2+e^{-2x}\right)-\left(e^{2x}-2+e^{-2x}\right)=4

: même résultat, avec plus d'écriture.

Exercice 3 : Équations

Facile

Résoudre dans

\mathbb R

$e^{2x-3}=e^{x+1}$
$e^{x^2+x}=e^{6}$
$e^{1/x}=e$ (pour $x\neq0$ )
$e^{x}+2=0$

Voir le corrigé

Règle utilisée :

\exp

est strictement croissante, donc

e^a=e^b\iff a=b

$2x-3=x+1\iff x=4$ . $S=\{4\}$ .
$x^2+x=6\iff x^2+x-6=0$ . $\Delta=1+24=25$ , racines $\frac{-1-5}{2}=-3$ et $\frac{-1+5}{2}=2$ . $S=\{-3\,;2\}$ .
$e=e^1$ , donc $\frac1x=1\iff x=1$ . $S=\{1\}$ .
$e^x=-2$ est impossible car $e^x\gt 0$ . $S=\varnothing$ .

Exercice 4 : Inéquations

Moyen

Résoudre dans

\mathbb R

$e^{3x+1}\geq e^{x-5}$
$e^{x^2}\lt e^{2x+3}$
$(x-1)\left(e^{x}-1\right)\leq0$

Indication

Pour la question 3, chercher d'abord le signe de

e^x-1

en le comparant à

e^0

Voir le corrigé

$e^a\geq e^b\iff a\geq b$ : $3x+1\geq x-5\iff2x\geq-6\iff x\geq-3$ . $S=[-3\,;+\infty\mathclose{[}$ .
$x^2\lt 2x+3\iff x^2-2x-3\lt 0$ . Racines $-1$ et $3$ (somme 2, produit $-3$ ), coefficient $a=1\gt 0$ : le trinôme est négatif entre ses racines. $S=\mathopen{]}-1\,;3\mathclose{[}$ .
$e^x-1\geq0\iff e^x\geq e^0\iff x\geq0$ : $e^x-1$ a le signe de $x$ .
$x$ $-\infty$ $0$ $1$ $+\infty$
$x-1$ $-$ $-$ $0$ $+$
$e^x-1$ $-$ $0$ $+$ $+$
produit $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$S=[0\,;1]$ . Contrôle : pour $x=\frac12$ , $-\frac12\times(e^{0{,}5}-1)\lt 0$ .

Niveau 2 : dériver, étudier, paramétrer

Exercice 5 : Dériver des fonctions avec exponentielle

Moyen

Calculer la dérivée de chaque fonction et l'écrire sous forme factorisée.

$f_1(t)=4e^{-0{,}5t}$ sur $\mathbb R$
$f_2(x)=(x^2+1)e^{x}$ sur $\mathbb R$
$f_3(x)=\dfrac{e^{2x}}{x}$ sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$
$f_4(x)=\dfrac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$ sur $\mathbb R$
$f_5(x)=e^{3x}-3e^{x}$ sur $\mathbb R$ , puis donner le signe de $f_5'(x)$ .

Voir le corrigé

Forme $e^{at}$ avec $a=-0{,}5$ : $f_1'(t)=4\times(-0{,}5)e^{-0{,}5t}=-2e^{-0{,}5t}$ .
Produit, $u=x^2+1$ , $v=e^x$ : $f_2'(x)=2x\,e^x+(x^2+1)e^x=(x^2+2x+1)e^x=(x+1)^2e^x$ . Cette dérivée est positive : $f_2$ est croissante sur $\mathbb R$ .
Quotient, $u=e^{2x}$ , $u'=2e^{2x}$ , $v=x$ , $v'=1$ : $\begin{aligned}f_3'(x)&=\frac{2x\,e^{2x}-e^{2x}}{x^2}\\&=\frac{(2x-1)e^{2x}}{x^2}.\end{aligned}$
Quotient avec $u=e^x-1$ , $v=e^x+1$ , $u'=v'=e^x$ ; $v$ ne s'annule pas car $e^x+1\gt 1$ : $\begin{aligned}&f_4'(x)\\&=\frac{e^x(e^x+1)-(e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2}\\&=\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}.\end{aligned}$
$f_5'(x)=3e^{3x}-3e^x=3e^x\left(e^{2x}-1\right)$ . Comme $3e^x\gt 0$ , le signe est celui de $e^{2x}-1$ : négatif si $x\lt 0$ , nul en 0, positif si $x\gt 0$ (car $e^{2x}\geq e^0\iff x\geq0$ ).

Exercice 6 : Étude complète d’une fonction produit

Moyen

Soit

f(x)=(x-2)e^{x}

sur

\mathbb R

, et

\mathcal C

sa courbe.

Résoudre $f(x)=0$ et étudier le signe de $f(x)$ .
Montrer que $f'(x)=(x-1)e^x$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ et donner son extremum.
Écrire l'équation de la tangente à $\mathcal C$ au point d'abscisse 0.

Voir le corrigé

$e^x\neq0$ , donc $f(x)=0\iff x-2=0\iff x=2$ . Comme $e^x\gt 0$ , $f(x)$ a le signe de $x-2$ : négatif sur $\mathopen{]}-\infty\,;2\mathclose{[}$ , positif sur $\mathopen{]}2\,;+\infty\mathclose{[}$ .
Produit, $u=x-2$ , $u'=1$ , $v=v'=e^x$ : $f'(x)=e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$ .
$f'(x)$ a le signe de $x-1$ .
$x$ $-\infty$ $1$ $+\infty$
$f'(x)$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $\searrow$ $-e$ $\nearrow$
$f$ admet un minimum $f(1)=(1-2)e^1=-e\approx-2{,}72$ , atteint en $x=1$ .
$f(0)=-2$ et $f'(0)=(0-1)e^0=-1$ . La tangente a pour équation $y=-1\times(x-0)-2$ , soit $y=-x-2$ . Contrôle : en $x=0$ , la droite donne $-2=f(0)$ .

Exercice 7 : Retrouver les paramètres d’un modèle

Moyen

Une fonction $f(t)=Ce^{kt}$ vérifie $f(0)=3$ et $f'(0)=-1{,}5$ . Déterminer $C$ et $k$ . La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
Pour quelle valeur de $k$ la tangente en 0 à la courbe de $g(t)=e^{kt}$ passe-t-elle par le point $(-4\,;0)$ ?

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$f(0)=Ce^0=C$ , donc $C=3$ . $f'(t)=Cke^{kt}$ , donc $f'(0)=Ck=3k=-1{,}5$ et $k=-0{,}5$ . Ainsi $f(t)=3e^{-0{,}5t}$ . Comme $k\lt 0$ , $f'(t)=-1{,}5e^{-0{,}5t}\lt 0$ : $f$ est décroissante.
$g(0)=1$ et $g'(0)=k$ , donc la tangente en 0 est $y=kt+1$ . Elle passe par $(-4\,;0)$ si $0=-4k+1$ , soit $k=\frac14$ . Contrôle : $y=\frac t4+1$ s'annule bien en $t=-4$ .

Exercice 8 : Trouver les erreurs d’une copie

Moyen

Un élève a écrit les trois lignes suivantes. Pour chacune, dire si elle est juste ; sinon, expliquer l'erreur, donner un test numérique qui la révèle et corriger.

$e^{x}\times e^{2x}=e^{2x^2}$
La dérivée de $x\mapsto e^{-x}$ est $x\mapsto e^{-x}$ .
« $e^{-x}\lt e^{2}$ , donc $-x\lt 2$ , donc $x\lt -2$ . »

Voir le corrigé

Faux : l'élève a multiplié les exposants. Avec $x=1$ : $e\times e^2=e^3\approx20{,}1$ , alors que $e^{2}\approx7{,}4$ . Correction : $e^{x}\times e^{2x}=e^{x+2x}=e^{3x}$ .
Faux : il manque le facteur $a=-1$ de la formule $\left(e^{ax+b}\right)'=ae^{ax+b}$ . Test : $x\mapsto e^{-x}$ est décroissante (symétrique de $e^x$ ), sa dérivée doit donc être négative, or $e^{-x}\gt 0$ . Correction : $\left(e^{-x}\right)'=-e^{-x}$ .
La première étape est juste ( $\exp$ est strictement croissante), la seconde est fausse : en multipliant $-x\lt 2$ par $-1$ , on doit changer le sens de l'inégalité. Test : $x=0$ vérifie $e^{0}=1\lt e^2\approx7{,}39$ , mais n'est pas dans $\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}$ . Correction : $-x\lt 2\iff x\gt -2$ , donc $S=\mathopen{]}-2\,;+\infty\mathclose{[}$ .

Niveau 3 : modéliser, suites géométriques, algorithmes

Exercice 9 : Croissance de bactéries et suite géométrique

Moyen

Une culture contient

N(t)=1\,000\,e^{0{,}4t}

bactéries après

t

heures. Calculatrice autorisée.

Calculer $N(0)$ et montrer que $N'(t)=0{,}4\,N(t)$ . Interpréter.
On pose $u_n=N(n)$ pour $n\in\mathbb N$ . Montrer que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison. Quel est le pourcentage d'augmentation par heure ?
Au bout de combien d'heures entières la population dépasse-t-elle 10 000 bactéries ?
Un autre modèle prévoit $v_n=1\,000\times1{,}5^n$ . Lequel des deux modèles prévoit la croissance la plus rapide ? Justifier.

Voir le corrigé

$N(0)=1\,000$ . $N'(t)=1\,000\times0{,}4\,e^{0{,}4t}=0{,}4\,N(t)$ : la vitesse de croissance est proportionnelle au nombre de bactéries présentes. Avec 5 000 bactéries, la population augmente à raison d'environ 2 000 par heure.
$u_{n+1}=1\,000\,e^{0{,}4n+0{,}4}=1\,000\,e^{0{,}4n}\times e^{0{,}4}=u_n\times e^{0{,}4}$ . La suite est géométrique de raison $q=e^{0{,}4}\approx1{,}4918$ et de premier terme 1 000 : la population augmente d'environ $49{,}2\,\%$ par heure.
$N$ est croissante. $N(5)=1\,000\,e^{2}\approx7\,389$ et $N(6)=1\,000\,e^{2{,}4}\approx11\,023$ . La population dépasse 10 000 bactéries au cours de la sixième heure : à partir de $n=6$ heures entières.
Les deux suites sont géométriques, de même premier terme, de raisons $e^{0{,}4}\approx1{,}4918$ et $1{,}5$ . Comme $1{,}5\gt e^{0{,}4}$ , le second modèle croît un peu plus vite : $v_n\gt u_n$ pour tout $n\geq1$ . Par exemple $v_6\approx11\,391$ contre $u_6\approx11\,023$ .

Exercice 10 : Le refroidissement d’un café

Moyen

Dans une pièce à 20 °C, la température d'un café, en °C,

t

minutes après avoir été servi, est

\theta(t)=20+60e^{-0{,}08t}

pour

t\geq0

. Calculatrice autorisée.

Quelle est la température initiale du café ?
Calculer $\theta'(t)$ et en déduire le sens de variation de $\theta$ .
Calculer $\theta(10)$ , arrondi au dixième.
Comparer la vitesse de refroidissement à $t=0$ et à $t=10$ . Interpréter.
On boit le café quand il est en dessous de 55 °C. Au bout de combien de minutes entières est-ce possible ?

Voir le corrigé

$\theta(0)=20+60\times1=80$ °C.
La constante 20 a une dérivée nulle : $\theta'(t)=60\times(-0{,}08)e^{-0{,}08t}=-4{,}8e^{-0{,}08t}$ . Comme $e^{-0{,}08t}\gt 0$ , $\theta'(t)\lt 0$ : la température diminue.
$\theta(10)=20+60e^{-0{,}8}\approx20+26{,}96\approx47{,}0$ °C.
$\theta'(0)=-4{,}8$ et $\theta'(10)=-4{,}8e^{-0{,}8}\approx-2{,}16$ . Au départ, le café perd 4,8 °C par minute ; au bout de 10 minutes, environ 2,2 °C par minute. Le refroidissement ralentit à mesure que l'écart avec la pièce diminue.
$\theta(6)=20+60e^{-0{,}48}\approx57{,}1$ et $\theta(7)=20+60e^{-0{,}56}\approx54{,}3$ . Comme $\theta$ est décroissante, le café passe sous 55 °C entre 6 et 7 minutes : on peut le boire au bout de 7 minutes.

Exercice 11 : Méthode d’Euler à la main et en Python

Moyen

On cherche des valeurs approchées de la fonction

f

telle que

f'=f

f(0)=1

, avec un pas

h\gt 0

: on pose

y_0=1

y_{k+1}=y_k+h\,y_k

Justifier cette relation à l'aide de l'approximation affine.
Avec $h=0{,}25$ , calculer $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ , $y_4$ . Quelle valeur approchée de $e$ obtient-on ?
Montrer que $y_k=(1+h)^k$ .
Compléter la fonction Python ci-dessous pour qu'elle renvoie la valeur approchée de $f(1)$ avec $n$ pas de longueur $\frac1n$ .

def euler(n):
    h = 1 / n
    y = 1
    for k in range(n):
        y = ...          # à compléter
    return y

Voir le corrigé

Pour $h$ petit, $f(x+h)\approx f(x)+h\,f'(x)$ . Comme $f'(x)=f(x)$ , cela donne $f(x+h)\approx f(x)+h\,f(x)$ . Si $y_k$ approche $f(kh)$ , alors $y_{k+1}=y_k+hy_k$ approche $f\big((k+1)h\big)$ .
$y_{k+1}=1{,}25\,y_k$ : $y_1=1{,}25$ , $y_2=1{,}5625$ , $y_3=1{,}953125$ , $y_4=2{,}44140625$ . Quatre pas de $0{,}25$ mènent à $x=1$ : $e\approx2{,}44$ , à environ $0{,}28$ près.
$y_{k+1}=(1+h)y_k$ : la suite $(y_k)$ est géométrique de raison $1+h$ et de premier terme 1, donc $y_k=(1+h)^k$ .
y = y + h * y (ou y = (1 + h) * y). Avec $n=4$ , on retrouve 2.44140625 ; avec $n=1\,000$ , on obtient environ $2{,}7169$ . Le résultat vaut $\left(1+\frac1n\right)^n$ .

Niveau 4 : démonstrations

Exercice 12 : L’inégalité exp(x) ≥ 1 + x et un encadrement de e

Difficile

On pose $\varphi(x)=e^x-x-1$ . Étudier les variations de $\varphi$ et en déduire que $e^x\geq1+x$ pour tout réel $x$ .
Interpréter graphiquement ce résultat.
Soit $n\geq1$ un entier. En appliquant l'inégalité à $x=\frac1n$ , montrer que $\left(1+\frac1n\right)^n\leq e$ .
En l'appliquant à $x=-\frac1{n+1}$ , montrer que $e\leq\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$ . Donner l'encadrement obtenu pour $n=100$ .

Indication

0\lt a\leq b

, alors

a^n\leq b^n

pour tout entier

n\geq1

. Pour la question 4, remarquer que

1-\frac1{n+1}=\frac{n}{n+1}

Voir le corrigé

$\varphi'(x)=e^x-1$ , qui a le signe de $x$ (car $e^x\geq e^0\iff x\geq0$ ). Donc $\varphi$ est décroissante sur $\mathopen{]}-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty\mathclose{[}$ : son minimum est $\varphi(0)=1-0-1=0$ . Ainsi $\varphi(x)\geq0$ , c'est-à-dire $e^x\geq1+x$ , pour tout réel $x$ .
$y=x+1$ est la tangente à la courbe de l'exponentielle en 0. La courbe est au-dessus de cette tangente sur tout $\mathbb R$ .
Avec $x=\frac1n$ : $e^{1/n}\geq1+\frac1n\gt 0$ . En élevant à la puissance $n$ ces nombres positifs : $\left(e^{1/n}\right)^n=e\geq\left(1+\frac1n\right)^n$ .
Avec $x=-\frac1{n+1}$ : $e^{-1/(n+1)}\geq\frac{n}{n+1}\gt 0$ . En passant aux inverses (nombres positifs, l'ordre change) : $e^{1/(n+1)}\leq\frac{n+1}{n}=1+\frac1n$ . On élève à la puissance $n+1$ : $e\leq\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$ . Pour $n=100$ : $1{,}01^{100}\approx2{,}7048\leq e\leq1{,}01^{101}\approx2{,}7319$ .

Exercice 13 : Approcher e avec une précision garantie

Difficile

On utilise l'encadrement de l'exercice 12 :

a_n=\left(1+\frac1n\right)^n\leq e\leq b_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}

Montrer que $b_n-a_n=\dfrac{a_n}{n}$ , puis que $b_n-a_n\lt \dfrac3n$ .
Écrire une fonction Python seuil(p) qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $b_n-a_n\lt p$ .
Le programme renvoie 272 pour $p=0{,}01$ . En déduire un encadrement de $e$ d'amplitude inférieure à $0{,}01$ , sans utiliser la touche $e$ de la calculatrice.

Voir le corrigé

$b_n=a_n\times\left(1+\frac1n\right)=a_n+\frac{a_n}{n}$ , donc $b_n-a_n=\frac{a_n}{n}$ . D'après l'exercice 12 avec $n=5$ , $a_n\leq e\leq b_5=1{,}2^6\approx2{,}986\lt 3$ , donc $b_n-a_n\lt \frac3n$ .
On augmente $n$ tant que l'écart est trop grand :
```
def seuil(p):
    n = 1
    while (1 + 1/n)**(n + 1) - (1 + 1/n)**n >= p:
        n = n + 1
    return n

print(seuil(0.01))   # 272
```
La boucle s'arrête forcément, car l'écart est inférieur à $\frac3n$ , qui devient plus petit que $p$ .
Pour $n=272$ : $a_{272}=\left(1+\frac1{272}\right)^{272}\approx2{,}71330$ et $b_{272}\approx2{,}72328$ , dont l'écart $0{,}00998$ est bien inférieur à $0{,}01$ . En arrondissant vers l'extérieur au cent-millième : $2{,}71330\leq e\leq2{,}72328$ , encadrement d'amplitude $0{,}00998\lt 0{,}01$ . Ces bornes ne viennent que de calculs de puissances : c'est une méthode d'approximation de $e$ dont la précision est prouvée, ce que la seule observation du tableau de $(1+\frac1n)^n$ ne donne pas.

Exercice 14 : Les fonctions telles que f’ = kf

Difficile

Soit

k

C

deux réels. On admet qu'une fonction dont la dérivée est nulle sur

\mathbb R

est constante.

Vérifier que $f(t)=Ce^{kt}$ vérifie $f'=kf$ et $f(0)=C$ .
Réciproquement, soit $g$ dérivable sur $\mathbb R$ telle que $g'=kg$ et $g(0)=C$ . En étudiant $\psi(t)=g(t)e^{-kt}$ , démontrer que $g(t)=Ce^{kt}$ pour tout $t$ .

Indication

Dériver

\psi

comme un produit, puis remplacer

g'(t)

par

k\,g(t)

Voir le corrigé

$f'(t)=C\times k\,e^{kt}=k\times Ce^{kt}=k\,f(t)$ , et $f(0)=Ce^0=C$ .
Produit de $g$ et de $t\mapsto e^{-kt}$ , dont la dérivée est $-ke^{-kt}$ : $\begin{aligned}\psi'(t)&=g'(t)e^{-kt}\\&\quad-k\,g(t)e^{-kt}\\&=\big(g'(t)-k\,g(t)\big)e^{-kt}\\&=0\quad\text{car } g'=kg.\end{aligned}$ La fonction $\psi$ est donc constante, égale à $\psi(0)=g(0)\times1=C$ . Ainsi $g(t)e^{-kt}=C$ , et en multipliant par $e^{kt}$ (car $e^{-kt}e^{kt}=1$ ) : $g(t)=Ce^{kt}$ .

Conséquence : une grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur suit forcément un modèle

Ce^{kt}

. Avec

k=1

C=1

, on retrouve l'unicité de la fonction exponentielle.

Problème type bac : concentration d’un médicament

Problème : absorption puis élimination d’un médicament

Type bac

Après une prise orale, la concentration d'un médicament dans le sang, en mg/L, est modélisée par

C(t)=10t\,e^{-0{,}5t}

, où

t\in[0\,;12]

est le temps en heures. Calculatrice autorisée.

Calculer $C(0)$ et $C(1)$ , arrondi au centième. Interpréter.
Montrer que $C'(t)=5(2-t)e^{-0{,}5t}$ .
Dresser le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;12]$ . Quelle est la concentration maximale, et quand est-elle atteinte ?
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en 0 et interpréter son coefficient directeur.
Le médicament est efficace quand la concentration dépasse 5 mg/L. À l'aide d'un tableau de valeurs de pas $0{,}1$ , encadrer les instants de début et de fin d'efficacité. Estimer la durée d'efficacité.
Calculer le taux de variation de $C$ entre 2 h et 4 h et l'interpréter.

Indication

Pour la question 2, dériver un produit et mettre

e^{-0{,}5t}

en facteur : son signe est connu.

Voir le corrigé

$C(0)=0$ : au moment de la prise, le médicament n'est pas encore dans le sang. $C(1)=10e^{-0{,}5}\approx6{,}07$ mg/L après une heure.
Produit, $u=10t$ , $u'=10$ , $v=e^{-0{,}5t}$ , $v'=-0{,}5e^{-0{,}5t}$ : $\begin{aligned}C'(t)&=10e^{-0{,}5t}-5t\,e^{-0{,}5t}\\&=(10-5t)e^{-0{,}5t}\\&=5(2-t)e^{-0{,}5t}.\end{aligned}$
Comme $5e^{-0{,}5t}\gt 0$ , $C'(t)$ a le signe de $2-t$ .
$t$ $0$ $2$ $12$
$C'(t)$ $+$ $0$ $-$
$C(t)$ $0$ $\nearrow$ $20e^{-1}$ $\searrow$ $120e^{-6}$
La concentration maximale est $C(2)=20e^{-1}\approx7{,}36$ mg/L, atteinte 2 heures après la prise. En fin d'étude, $C(12)=120e^{-6}\approx0{,}30$ mg/L.
$C(0)=0$ et $C'(0)=5\times2\times1=10$ : la tangente est $y=10t$ . Au tout début, la concentration augmente à la vitesse de 10 mg/L par heure.
Sur $[0\,;2]$ , $C$ est croissante : $C(0{,}7)\approx4{,}93\lt 5$ et $C(0{,}8)\approx5{,}36\gt 5$ . Sur $[2\,;12]$ , $C$ est décroissante : $C(4{,}3)\approx5{,}01\gt 5$ et $C(4{,}4)\approx4{,}88\lt 5$ . L'efficacité commence entre $0{,}7$ h et $0{,}8$ h et cesse entre $4{,}3$ h et $4{,}4$ h. Elle dure donc entre $3{,}5$ h et $3{,}7$ h, environ 3 h 35 min.
$C(4)=40e^{-2}\approx5{,}41$ , donc $\dfrac{C(4)-C(2)}{4-2}\approx\dfrac{5{,}41-7{,}36}{2}\approx-0{,}97$ . Entre la 2e et la 4e heure, la concentration baisse en moyenne d'environ 0,97 mg/L par heure.

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$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$+\infty$
$x-1$		$-$		$-$	$0$	$+$
$e^x-1$		$-$	$0$	$+$		$+$
produit		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\searrow$	$-e$	$\nearrow$

$t$	$0$		$2$		$12$
$C'(t)$		$+$	$0$	$-$
$C(t)$	$0$	$\nearrow$	$20e^{-1}$	$\searrow$	$120e^{-6}$