Limites de suites Terminale : 8 exercices corrigés

Ces exercices demandent d'identifier le mécanisme de convergence avant de calculer : terme dominant, comparaison, encadrement ou théorème de convergence monotone.

Les valeurs numériques servent aussi à donner un sens concret à la recherche de seuil. Les corrigés distinguent limite conjecturée et limite démontrée.

Reconnaître des comportements

Lire la structure du terme général avant d'appliquer une règle.

Exercice 1 : Puissances et oscillations

Facile
Pour chaque suite définie pour n≥1n\geq1, étudier la limite éventuelle.
  1. un=5(0,7)n−2u_n=5(0,7)^n-2.
  2. vn=(−1)n+1/nv_n=(-1)^n+1/n.
  3. wn=3n/nw_n=3^n/n.
Indication
Comparer séparément les termes de chaque somme. Une alternance persistante empêche la convergence.
Voir le corrigé
  1. Comme (0,7)n→0(0,7)^n\to0, un→−2u_n\to-2.
  2. Les sous-suites v2n→1v_{2n}\to1 et v2n+1→−1v_{2n+1}\to-1. Elles ont des limites différentes, donc (vn)(v_n) diverge.
  3. L'exponentielle de base 3 domine n, donc wn→+∞w_n\to+\infty.

Exercice 2 : Quotient de polynômes en n

Facile
Pour n≥1n\geq1, on pose un=4n2−3n+12n2+5u_n=\dfrac{4n^2-3n+1}{2n^2+5}.
  1. Transformer l'expression en divisant numérateur et dénominateur par n2n^2.
  2. En déduire la limite de la suite.
  3. Déterminer le signe de un−2u_n-2.
Voir le corrigé
  1. un=4−3/n+1/n22+5/n2u_n=\dfrac{4-3/n+1/n^2}{2+5/n^2}.
  2. Les termes en 1/n1/n et 1/n21/n^2 tendent vers 0, donc un→2u_n\to2.
  3. un−2=−3n−92n2+5<0u_n-2=\dfrac{-3n-9}{2n^2+5}\lt 0 pour n≥1n\geq1. La suite approche 2 par valeurs inférieures.

Comparer et encadrer

Une majoration pertinente peut suffire sans calcul exact compliqué.

Exercice 3 : Gendarmes trigonométriques

Moyen
Pour n≥1n\geq1, un=2+sin⁡nnu_n=\dfrac{2+\sin n}{n}.
  1. Encadrer unu_n par deux suites simples.
  2. Déterminer sa limite.
  3. Trouver un entier N qui garantit ∣un∣<0,01|u_n|<0,01 pour tout n≥Nn\geq N.
Indication
Utiliser −1≤sin⁡n≤1-1\leq\sin n\leq1, puis une majoration indépendante du sinus.
Voir le corrigé
  1. 1/n≤un≤3/n1/n\leq u_n\leq3/n.
  2. Les deux bornes tendent vers 0, donc un→0u_n\to0.
  3. On a ∣un∣=un≤3/n|u_n|=u_n\leq3/n. Il suffit que 3/n<0,013/n\lt 0,01, soit n>300n\gt 300. On peut choisir N=301N=301.

Exercice 4 : Somme géométrique normalisée

Moyen
On définit Sn=1+2+22+⋯+2nS_n=1+2+2^2+\cdots+2^n puis vn=Sn/2nv_n=S_n/2^n.
  1. Exprimer SnS_n sans symbole de somme.
  2. Simplifier vnv_n.
  3. Déterminer la limite de (vn)(v_n).
Voir le corrigé
  1. Sn=2n+1−1S_n=2^{n+1}-1.
  2. vn=2−2−nv_n=2-2^{-n}.
  3. Comme 2−n→02^{-n}\to0, vn→2v_n\to2.

Suites définies par récurrence

Bornes, monotonie et continuité conduisent à la limite.

Exercice 5 : Convergence monotone

Difficile
La suite est définie par u0=1u_0=1 et un+1=2+unu_{n+1}=\sqrt{2+u_n}. On admet que 1≤un≤21\leq u_n\leq2.
  1. Montrer que (un)(u_n) est croissante.
  2. Justifier sa convergence.
  3. Déterminer sa limite.
Indication
Pour la croissance, comparer un+1u_{n+1} et unu_n en étudiant 2+x−x22+x-x^2 sur [1,2][1,2].
Voir le corrigé
  1. Pour x∈[1,2]x\in[1,2], 2+x−x2=(2−x)(x+1)≥02+x-x^2=(2-x)(x+1)\geq0, donc 2+x≥x\sqrt{2+x}\geq x. Ainsi un+1≥unu_{n+1}\geq u_n.
  2. La suite est croissante et majorée par 2, donc elle converge.
  3. Si un→ℓu_n\to\ell, la continuité de la racine donne ℓ=2+ℓ\ell=\sqrt{2+\ell}. Ainsi (ℓ−2)(ℓ+1)=0(\ell-2)(\ell+1)=0. Comme ℓ≥1\ell\geq1, ℓ=2\ell=2.

Exercice 6 : Algorithme de seuil

Moyen
On considère un=100(0,82)nu_n=100(0,82)^n. Un programme initialise n à 0 et u à 100, puis répète n=n+1 et u=0,82u tant que u est supérieur ou égal à 5.
  1. Que représente la valeur finale de n ?
  2. Déterminer cette valeur à l'aide de logarithmes.
  3. Contrôler le résultat avec les deux termes consécutifs concernés.
Indication
Résoudre 100(0,82)n<5100(0,82)^n\lt 5 en tenant compte du signe de ln⁡(0,82)\ln(0,82).
Voir le corrigé
  1. Le programme renvoie le plus petit entier n tel que un<5u_n\lt 5.
  2. Il faut (0,82)n<0,05(0,82)^n\lt 0,05, donc n>ln⁡(0,05)/ln⁡(0,82)≈15,10n\gt \ln(0,05)/\ln(0,82)\approx15,10. La valeur finale est 16.
  3. u15≈5,10≥5u_{15}\approx5,10\geq5 et u16≈4,18<5u_{16}\approx4,18\lt 5, ce qui confirme le seuil.

Transformer avant de passer à la limite

Une somme télescopique et une comparaison exponentielle complètent les techniques déjà mobilisées.

Exercice 7 : Somme télescopique

Moyen
Pour n≥1n\geq1, on définit un=∑k=1n1k(k+1)u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k(k+1)}.
  1. Décomposer 1/[k(k+1)]1/[k(k+1)] en une différence de deux fractions.
  2. Simplifier la somme et exprimer unu_n en fonction de n.
  3. Déterminer la limite de la suite et préciser si elle est atteinte.
Indication
Écrire quelques termes après la décomposition pour faire apparaître les annulations.
Voir le corrigé
  1. On a 1/[k(k+1)]=1/k−1/(k+1)1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1).
  2. Les termes intermédiaires s'annulent : un=(1−1/2)+(1/2−1/3)+⋯+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)u_n=(1-1/2)+(1/2-1/3)+\cdots+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1).
  3. La limite vaut 1. Pour tout n fini, 1/(n+1)>01/(n+1)\gt 0, donc un<1u_n\lt 1 : la limite n'est jamais atteinte.

Exercice 8 : Le polynôme face à l’exponentielle

Difficile
On pose vn=n3/2nv_n=n^3/2^n pour n≥1n\geq1.
  1. Calculer le quotient vn+1/vnv_{n+1}/v_n.
  2. Montrer que, pour n≥7n\geq7, ce quotient est inférieur ou égal à 3/43/4.
  3. En déduire une majoration géométrique de vnv_n, puis sa limite.
Indication
Comparer 1+1/n1+1/n à 8/78/7, puis itérer l'inégalité obtenue.
Voir le corrigé
  1. vn+1/vn=(n+1)3/(2n3)=12(1+1/n)3v_{n+1}/v_n=(n+1)^3/(2n^3)=\tfrac12(1+1/n)^3.
  2. Pour n≥7n\geq7, 1+1/n≤8/71+1/n\leq8/7, donc le quotient est au plus 256/343<3/4256/343\lt 3/4.
  3. En itérant, 0≤vn≤v7(3/4)n−70\leq v_n\leq v_7(3/4)^{n-7} pour n≥7n\geq7. Le majorant tend vers 0, donc vn→0v_n\to0.
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