Fonction affine et signe Seconde : 6 exercices corrigés

Retrouver une fonction affine à partir de données précède l'étude de sa racine et de son signe. Les problèmes d'abonnement et de rentabilité donnent ensuite un sens précis au seuil calculé, y compris lorsqu'une valeur entière est attendue.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Fonction affine et signe. Les différentes déterminations de la formule sont réunies dans le cours complet sur la fonction affine.

Bases de Fonction affine et signe : Retrouver une fonction affine

Exercice 1 : Retrouver une fonction affine

Facile

Une fonction affine ff vérifie f(2)=7f(2)=7 et f(6)=−1f(6)=-1.

  1. Calculer son coefficient directeur.
  2. Déterminer l'ordonnée à l'origine.
  3. Écrire f(x)f(x).
Indication
Utiliser le taux de variation entre les deux points.
Voir le corrigé
  1. Le coefficient directeur vaut a=−1−76−2=−2a=\frac{-1-7}{6-2}=-2.
  2. Dans f(x)=−2x+bf(x)=-2x+b, la donnée f(2)=7f(2)=7 donne 7=−4+b7=-4+b, donc b=11b=11.
  3. La fonction est f(x)=−2x+11f(x)=-2x+11. La seconde donnée vérifie bien f(6)=−1f(6)=-1.

Exercice 2 : Tableau de signe d’une affine

Moyen

Dresser le tableau de signe de g(x)=5x−15g(x)=5x-15.

  1. Calculer la racine.
  2. Utiliser le signe du coefficient directeur.
  3. Résoudre g(x)≤0g(x)\leq0.
Indication
Une affine de coefficient positif est négative avant sa racine.
Voir le corrigé
  1. 5x−15=05x-15=0 équivaut à x=3x=3.
  2. Le coefficient directeur 5 est positif : g est négative avant 3, nulle en 3 et positive après 3.
  3. Ainsi, g(x)≤0g(x)\leq0 pour x∈]−∞;3]x\in]-\infty;3].

Choisir une méthode : Seuil de rentabilité

Exercice 3 : Seuil de rentabilité

Difficile

Un atelier dépense C(x)=420+8xC(x)=420+8x euros et reçoit R(x)=15xR(x)=15x euros pour xx objets.

  1. Déterminer le bénéfice B(x)B(x).
  2. Résoudre B(x)>0B(x)\gt 0.
  3. Donner le premier nombre entier rentable.
  4. Calculer le bénéfice pour 100 objets.
Indication
Le bénéfice est recette moins coût.
Voir le corrigé
  1. B(x)=R(x)−C(x)=15x−(420+8x)=7x−420B(x)=R(x)-C(x)=15x-(420+8x)=7x-420.
  2. B(x)>0B(x)\gt 0 équivaut à 7x>4207x\gt 420, donc x>60x\gt 60.
  3. Pour un nombre entier d'objets, le premier effectif rentable est 61.
  4. B(100)=7×100−420=280B(100)=7\times100-420=280 euros.

Exercice 4 : Retrouver une tarification affine et son seuil

Moyen

Un service coûte 23 euros pour 2 heures et 47 euros pour 6 heures. Le prix P(t)P(t) est supposé affine.

  1. Calculer le coefficient directeur et préciser son unité.
  2. Déterminer l'ordonnée à l'origine puis la formule de P.
  3. Résoudre la question du budget de 59 euros.
  4. Contrôler la formule avec la donnée correspondant à 6 heures.
Indication
Associer les deux données à des points de coordonnées (x1;f(x1))(x_1;f(x_1)) et (x2;f(x2))(x_2;f(x_2)).
Voir le corrigé
  1. Le coefficient vaut 47−236−2=244=6\frac{47-23}{6-2}=\frac{24}{4}=6 euros par heure.
  2. Avec t=2t=2, 23=6×2+b23=6\times2+b, donc b=11b=11 euros. La formule est P(t)=6t+11P(t)=6t+11.
  3. Pour un budget de 59 euros, 6t+11=596t+11=59 donne t=8t=8 heures.
  4. Le contrôle P(6)=47P(6)=47 confirme la formule.

Approfondir Fonction affine et signe : Démontrer le sens de variation à partir de la différence

Exercice 5 : Comparer deux abonnements

Difficile

L'offre A coûte 12+0,18n12+0{,}18n euros et l'offre B 27+0,08n27+0{,}08n euros pour n unités consommées.

  1. Déterminer la consommation où les prix sont égaux.
  2. Choisir l'offre la moins chère de part et d'autre du seuil.
  3. Comparer les prix pour 80 puis 200 unités.
Indication
Étudier le signe de la différence prix A moins prix B.
Voir le corrigé
  1. 12+0,18n=27+0,08n12+0{,}18n=27+0{,}08n donne 0,10n=150{,}10n=15, donc n=150n=150.
  2. La différence vaut 0,10n−150{,}10n-15 : A est moins chère pour n<150n\lt 150, B pour n>150n\gt 150.
  3. À 80 unités, A coûte 26,40 euros et B 33,40 euros. À 200 unités, A coûte 48 euros et B 43 euros.

Exercice 6 : Démontrer le sens de variation à partir de la différence

Difficile

On considère la fonction affine f(x)=ax+bf(x)=ax+b et deux réels x1<x2x_1\lt x_2.

  1. Calculer et factoriser f(x2)−f(x1)f(x_2)-f(x_1).
  2. Conclure lorsque a>0a\gt 0, puis lorsque a<0a\lt 0.
  3. Traiter enfin le cas a=0a=0.
Indication
Le facteur x2−x1x_2-x_1 est strictement positif.
Voir le corrigé
  1. On obtient f(x2)−f(x1)=a(x2−x1)f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1).
  2. La différence des images a le signe de aa. Elle est positive si a>0a\gt 0, donc ff est croissante, et négative si a<0a\lt 0, donc ff est décroissante.
  3. Si a=0a=0, alors f(x)=bf(x)=b pour tout xx : la fonction est constante.
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