Fonctions carré et cube Seconde : 6 exercices corrigés

Comparer des carrés ou des cubes exige de tenir compte du signe et de l'intervalle. La série associe équations de référence, intersection avec une droite et preuve du sens de variation, avec des contrôles exacts plutôt que des lectures approximatives.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Fonctions carré et cube. Les propriétés détaillées et la courbe sont reprises dans la fonction carré.

Bases de Fonctions carré et cube : Comparer des images

Exercice 1 : Comparer des images

Facile

Sans calculatrice, comparer (−3,2)2(-3{,}2)^2 et 2,922{,}9^2, puis (−3,2)3(-3{,}2)^3 et 2,932{,}9^3.

  1. Comparer les carrés.
  2. Comparer les cubes.
  3. Expliquer la différence de raisonnement.
Indication
Le carré compare les valeurs absolues, tandis que le cube conserve l'ordre.
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  1. Comme ∣−3,2∣=3,2>2,9|-3{,}2|=3{,}2\gt 2{,}9, on a (−3,2)2>2,92(-3{,}2)^2\gt 2{,}9^2.
  2. La fonction cube est strictement croissante sur R\mathbb R. Puisque −3,2<2,9-3{,}2\lt 2{,}9, (−3,2)3<2,93(-3{,}2)^3\lt 2{,}9^3.
  3. Pour les carrés, le signe disparaît et il faut comparer les valeurs absolues. Pour les cubes, l'ordre des nombres est conservé sur tout R\mathbb R.

Exercice 2 : Équations de référence

Moyen

Résoudre dans R : x2=49x^2=49, x2=−4x^2=-4, x3=−27x^3=-27 et x3=10x^3=10.

  1. Donner les solutions exactes.
  2. Justifier le cas sans solution.
  3. Donner un encadrement entier de 103\sqrt[3]{10}.
Indication
Un carré réel est positif ou nul, alors que tout réel possède une racine cubique.
Voir le corrigé
  1. Les solutions sont : x=−7x=-7 ou x=7x=7 pour x2=49x^2=49 ; aucune solution réelle pour x2=−4x^2=-4 ; x=−3x=-3 pour x3=−27x^3=-27 ; x=103x=\sqrt[3]{10} pour x3=10x^3=10.
  2. Un carré réel est toujours positif ou nul. Il ne peut donc pas être égal à −4-4.
  3. Comme 23<10<332^3\lt 10\lt 3^3 et que la fonction cube est croissante, 2<103<32\lt \sqrt[3]{10}\lt 3.

Choisir une méthode : Démontrer la croissance du carré sur les positifs

Exercice 3 : Démontrer la croissance du carré sur les positifs

Difficile

Soient deux réels aa et bb tels que 0≤a<b0\leq a\lt b. On veut comparer leurs carrés.

  1. Factoriser b2−a2b^2-a^2.
  2. Étudier le signe des facteurs et conclure sur le sens de variation de la fonction carré sur [0;+∞[[0;+\infty[.
Indication
Une différence strictement positive permet de comparer les deux images.
Voir le corrigé
  1. On a b2−a2=(b−a)(b+a)b^2-a^2=(b-a)(b+a).
  2. Les facteurs b−ab-a et b+ab+a sont strictement positifs. Donc b2−a2>0b^2-a^2\gt 0, soit a2<b2a^2\lt b^2. La fonction carré est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[.

Exercice 4 : Intersection d’une droite et d’une parabole

Difficile

On cherche les points communs aux courbes y=x2y=x^2 et y=2x+3y=2x+3.

  1. Écrire l'équation à résoudre.
  2. Factoriser l'expression obtenue.
  3. Calculer les coordonnées des points d'intersection.
  4. Vérifier dans les deux équations.
Indication
Ramener tout dans un même membre puis chercher deux nombres de produit -3 et de somme -2.
Voir le corrigé
  1. Aux points communs, les ordonnées sont égales : x2=2x+3x^2=2x+3.
  2. x2−2x−3=(x−3)(x+1)x^2-2x-3=(x-3)(x+1). Les abscisses sont donc x=3x=3 et x=−1x=-1.
  3. Pour x=3x=3, y=9y=9 ; pour x=−1x=-1, y=1y=1. Les points sont (3;9)(3;9) et (−1;1)(-1;1).
  4. On vérifie 32=9=2×3+33^2=9=2\times3+3 et (−1)2=1=2(−1)+3(-1)^2=1=2(-1)+3. Chaque point appartient bien aux deux courbes.

Approfondir Fonctions carré et cube : Comparer deux carrés puis deux cubes

Exercice 5 : Encadrer un carré et un cube

Moyen

On sait que −3<x<−2-3\lt x\lt -2.

  1. Encadrer x2x^2.
  2. Encadrer x3x^3.
  3. Expliquer pourquoi les deux ordres ne se traitent pas de la même façon.
Indication
Sur les négatifs, la fonction carré est décroissante et la fonction cube croissante.
Voir le corrigé
  1. Comme la fonction carré est décroissante sur les négatifs, 4<x2<94\lt x^2\lt 9.
  2. La fonction cube conserve l'ordre, donc −27<x3<−8-27\lt x^3\lt -8.
  3. Le carré efface le signe et inverse ici l'ordre des valeurs absolues ; le cube conserve le signe et l'ordre.

Exercice 6 : Comparer deux carrés puis deux cubes

Moyen

On compare (−4,2)2(-4{,}2)^2 et 3,923{,}9^2, puis (−4,2)3(-4{,}2)^3 et 3,933{,}9^3.

  1. Comparer (−4,2)2(-4{,}2)^2 et 3,923{,}9^2 en utilisant les valeurs absolues.
  2. Comparer (−4,2)3(-4{,}2)^3 et 3,933{,}9^3 grâce aux variations de la fonction cube.
  3. Contrôler la seconde comparaison avec le signe des deux cubes.
Indication
Identifier la fonction de référence et l'intervalle où se trouvent les nombres.
Voir le corrigé
  1. Les valeurs absolues sont 4,24{,}2 et 3,93{,}9 ; comme 4,2>3,94{,}2\gt 3{,}9, le premier carré est plus grand. Le signe négatif disparaît dans le carré.
  2. Pour le cube, −4,2<3,9-4{,}2\lt 3{,}9 et la fonction cube est croissante. Donc (−4,2)3<3,93(-4{,}2)^3\lt 3{,}9^3.
  3. Le premier cube reste négatif tandis que le second est positif.
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