La fonction carré est l’une des premières grandes rencontres de l’élève avec une fonction non linéaire. Contrairement à la fonction affine, dont la courbe est une droite, la fonction carré produit une courbe en forme de U appelée parabole — et c’est précisément là que résident à la fois sa richesse et les confusions les plus fréquentes. Maîtriser la fonction carré, c’est poser les bases de toute l’étude des fonctions polynomiales du second degré qui traverse le lycée et la première année de classes préparatoires. Dans ce cours, tu trouveras la définition rigoureuse, toutes les propriétés démontrées, la lecture graphique, et la méthode pour résoudre équations et inéquations du type \( x^2 = a \) ou \( x^2 \leq k \).
Définition de la fonction carré
Avant d’entrer dans les propriétés, posons les mots exacts — c’est souvent là que tout se joue.
Définition formelle
On appelle fonction carré la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) (l’ensemble de tous les nombres réels) par :
En français courant : on prend un nombre \( x \), on le multiplie par lui-même, et on obtient son image \( f(x) \). Ainsi \( f(3) = 9 \), \( f(-5) = 25 \), et \( f(0) = 0 \).
Vocabulaire clé :
— Image de \( x \) par \( f \) : le résultat \( f(x) = x^2 \), c’est-à-dire la valeur obtenue en appliquant la fonction à \( x \).
— Antécédent de \( y \) : tout réel \( x \) tel que \( f(x) = y \). Par exemple, \( 3 \) et \( -3 \) sont tous deux antécédents de \( 9 \).
Erreur fréquente : \( (-x)^2 \) et \( -x^2 \) ne sont pas la même expression. \( (-x)^2 = x^2 \) (on élève l’opposé au carré), tandis que \( -x^2 \) signifie qu’on prend l’opposé du carré de \( x \). Par exemple, \( (-3)^2 = 9 \) mais \( -3^2 = -9 \). L’oubli des parenthèses est l’une des erreurs les plus coûteuses en contrôle.
La fonction carré est définie sur tout \( \mathbb{R} \) sans restriction : on peut élever n’importe quel réel au carré, qu’il soit positif, négatif ou nul. Son ensemble de définition est donc \( \mathbb{R} \) tout entier.
Une propriété fondamentale : le carré est toujours positif ou nul
Le fait que la définition ne pose aucune restriction sur \( x \) amène immédiatement une question : quelle est la plage des valeurs que peut prendre \( f(x) = x^2 \) ?
Positivité de la fonction carré
Pour tout réel \( x \) :
Et l’égalité \( x^2 = 0 \) n’est vérifiée que pour \( x = 0 \). Pour tout autre réel, \( x^2 > 0 \).
Cela signifie que l’ensemble image (les valeurs effectivement atteintes) de la fonction carré est l’intervalle \( [0 ; +\infty[ \). Autrement dit, \( f \) ne prend jamais de valeur négative, et la valeur \( 0 \) n’est atteinte qu’en \( x = 0 \).
Cette positivité est immédiate à prouver : le produit de deux réels de même signe est positif. Or \( x^2 = x \times x \) — les deux facteurs ont toujours le même signe (ou l’un est nul). Le résultat est donc toujours positif ou nul.
Ce résultat simple a des conséquences profondes : il sera utilisé systématiquement pour résoudre des inéquations et pour encadrer des expressions algébriques. C’est aussi, dès la Première, le point de départ de la notion de discriminant d’un trinôme du second degré.
La fonction carré est paire : symétrie de la parabole
La positivité n’est pas la seule curiosité de cette fonction — elle révèle aussi un comportement parfaitement symétrique vis-à-vis du zéro.
Rappel : qu’est-ce qu’une fonction paire ?
Une fonction \( f \) est dite paire si son domaine de définition est symétrique par rapport à \( 0 \) et si, pour tout \( x \) de ce domaine :
Théorème : la fonction carré est paire
Pour tout réel \( x \) :
La condition de parité est satisfaite, donc la fonction carré est paire.
Conséquence géométrique directe : la courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (l’axe vertical, d’équation \( x = 0 \)). Cela signifie que les points \( M(x\,;\,x^2) \) et \( M'(-x\,;\,x^2) \) sont toujours symétriques l’un de l’autre par rapport à cet axe.
Tableau de variation de la fonction carré
Comprendre dans quel sens varie la fonction carré, c’est comprendre pourquoi on ne peut pas comparer deux carrés sans regarder le signe des nombres de départ — et c’est là que beaucoup d’élèves perdent des points.
Variations de la fonction carré
La fonction carré est :
- strictement décroissante sur \( ]-\infty\,;\,0] \) : plus \( x \) augmente (en restant négatif), plus \( x^2 \) diminue ;
- strictement croissante sur \( [0\,;\,+\infty[ \) : plus \( x \) augmente (en restant positif ou nul), plus \( x^2 \) augmente.
La fonction admet un minimum global en \( x = 0 \), valant \( f(0) = 0 \). Elle n’a pas de maximum.
Voici le tableau de variation correspondant :
| \( x \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( +\infty \) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Variations de \( f(x) = x^2 \) | ↘ | \( 0 \) (min) | ↗ |
Erreur fréquente : beaucoup d’élèves supposent que « si \( a < b \), alors \( a^2 < b^2 \) ». C'est faux dès que les nombres ne sont pas tous les deux positifs. Par exemple, \( -5 < -2 \) mais \( (-5)^2 = 25 > (-2)^2 = 4 \). La règle correcte est : on ne peut comparer \( a^2 \) et \( b^2 \) en utilisant les variations qu’après avoir vérifié si \( a \) et \( b \) sont du même signe et dans quelle partie de \( \mathbb{R} \) on se trouve.
Ces variations permettent immédiatement de comparer deux carrés. Voici la méthode :
- Si \( 0 \leq a < b \) : les deux sont dans \( [0\,;\,+\infty[ \) où \( f \) est croissante, donc \( a^2 < b^2 \). L'ordre est conservé.
- Si \( a < b \leq 0 \) : les deux sont dans \( ]-\infty\,;\,0] \) où \( f \) est décroissante, donc \( a^2 > b^2 \). L’ordre est inversé.
- Si \( a \) et \( b \) sont de signes contraires : on compare \( |a| \) et \( |b| \) (les valeurs absolues), puis on applique la règle des positifs.
Comprendre la fonction carré sans formule : l’intuition géométrique
Les propriétés algébriques sont maintenant posées — mais avant de passer aux calculs formels, arrêtons-nous un moment sur le sens de tout cela.
Imagine que tu es sur un terrain de jeux avec une pente. À gauche du point central (le sommet), tu montes en marchant vers la droite — mais la pente remonte, donc ta hauteur diminue d’abord, puis repart à zéro. Au centre, tu es au point le plus bas. À droite, tu remontes progressivement. C’est exactement ce que vit une fourmi qui marcherait sur la parabole \( y = x^2 \).
Autre façon de voir : \( x^2 \) mesure littéralement l’aire d’un carré de côté \( |x| \). Un carré de côté 3 a une aire de 9 ; un carré de côté 5 a une aire de 25. Plus le côté grandit, plus l’aire grandit vite — d’où la forme en accélération de la parabole.
Cette correspondance avec les aires de carrés explique aussi pourquoi \( x^2 \) est toujours positif : une aire ne peut pas être négative.
Enfin, la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées s’explique naturellement : \( x \) et \( -x \) sont « à la même distance de zéro » (même valeur absolue), donc ils produisent le même carré. L’image d’un nombre et celle de son opposé sont toujours identiques.
La parabole : représentation graphique de la fonction carré
De l’intuition géométrique, passons à la courbe réelle — que l’on appelle une parabole.
Pour tracer la représentation graphique de la fonction carré dans un repère orthonormal \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), on commence par dresser un tableau de valeurs :
| \( x \) | \( -3 \) | \( -2 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 3 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) = x^2 \) | \( 9 \) | \( 4 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 4 \) | \( 9 \) |
On remarque immédiatement la symétrie des valeurs autour de \( x = 0 \) : \( f(-3) = f(3) = 9 \), \( f(-2) = f(2) = 4 \), etc. C’est la parité en action.
La courbe obtenue est une parabole — terme qui désigne spécifiquement cette forme en U ouverte vers le haut. Voici ses caractéristiques essentielles :
- Son sommet est le point \( O(0\,;\,0) \), qui est aussi le minimum de la fonction.
- Elle est entièrement au-dessus de l’axe des abscisses (sauf en \( O \), où elle le touche), conformément à la positivité de \( x^2 \).
- Elle admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.
- Elle s’élargit de plus en plus lentement vers le bas, et se resserre de plus en plus vite vers le haut — c’est la croissance accélérée de \( x^2 \).
Preuve que la fonction carré est croissante sur \( [0\,;\,+\infty[ \)
Affirmer que la fonction carré est croissante sur les positifs, c’est bien — mais en mathématiques, une propriété n’a de valeur que si elle est démontrée rigoureusement. Voici la preuve complète, étape par étape.
Théorème à démontrer
La fonction \( f(x) = x^2 \) est strictement croissante sur \( [0\,;\,+\infty[ \).
Rappel : une fonction \( f \) est strictement croissante sur un intervalle \( I \) si, pour tous \( a, b \in I \) tels que \( a < b \), on a \( f(a) < f(b) \).
Démonstration :
- Mise en place. Soient \( a \) et \( b \) deux réels tels que \( 0 \leq a < b \). On veut montrer que \( a^2 < b^2 \).
-
Calcul de la différence. On étudie le signe de \( b^2 – a^2 \) :\[ b^2 – a^2 = (b – a)(b + a) \]
Il s’agit de l’identité remarquable de factorisation : \( A^2 – B^2 = (A-B)(A+B) \), appliquée avec \( A = b \) et \( B = a \).
-
Analyse du signe de chaque facteur.
- Premier facteur : \( b – a \). Puisque \( a < b \), on a \( b - a > 0 \).
- Deuxième facteur : \( b + a \). Puisque \( 0 \leq a \) et \( 0 < b \), on a \( b + a > 0 \).
-
Conclusion sur le signe du produit. Le produit de deux réels strictement positifs est strictement positif :\[ (b-a)(b+a) > 0 \implies b^2 – a^2 > 0 \implies b^2 > a^2 \]
- Résultat. Pour tous \( a, b \geq 0 \) vérifiant \( a < b \), on a bien \( f(a) = a^2 < b^2 = f(b) \). La fonction carré est donc bien strictement croissante sur \( [0\,;\,+\infty[ \). \(\square\)
Erreur fréquente : dans la démonstration, certains élèves oublient de vérifier le signe de \( b + a \) et concluent trop vite. Si les réels \( a \) et \( b \) n’étaient pas tous deux dans \( [0\,;\,+\infty[ \), le facteur \( (b+a) \) pourrait être négatif et la conclusion serait fausse. La restriction à \( [0\,;\,+\infty[ \) est donc indispensable.
La preuve de la décroissance sur \( ]-\infty\,;\,0] \) se mène de façon analogue, en vérifiant que \( (b+a) \leq 0 \) quand \( a \leq b \leq 0 \), ce qui inverse le signe du produit.
Résoudre des équations et des inéquations avec la fonction carré
La maîtrise du tableau de variation conduit directement aux méthodes de résolution — c’est l’application concrète de tout ce qui précède.
Équation \( x^2 = k \)
Soit \( k \) un réel :
- Si \( k < 0 \) : aucune solution dans \( \mathbb{R} \) (le carré ne peut pas être négatif).
- Si \( k = 0 \) : une unique solution \( x = 0 \).
- Si \( k > 0 \) : deux solutions \( x = \sqrt{k} \) et \( x = -\sqrt{k} \), où \( \sqrt{k} \) désigne la racine carrée de \( k \), c’est-à-dire l’unique réel positif dont le carré vaut \( k \).
Exemple : Résoudre \( x^2 = 7 \).
Puisque \( 7 > 0 \), les solutions sont \( x = \sqrt{7} \) et \( x = -\sqrt{7} \). L’ensemble solution est \( S = \{-\sqrt{7}\,;\,\sqrt{7}\} \).
Inéquation \( x^2 \leq k \)
Soit \( k \) un réel :
- Si \( k < 0 \) : aucune solution (car \( x^2 \geq 0 > k \) pour tout \( x \)).
- Si \( k = 0 \) : la seule solution est \( x = 0 \).
- Si \( k > 0 \) : les solutions forment l’intervalle fermé \( [-\sqrt{k}\,;\,\sqrt{k}] \).
Inéquation \( x^2 \geq k \)
- Si \( k \leq 0 \) : tous les réels sont solutions (car \( x^2 \geq 0 \geq k \)).
- Si \( k > 0 \) : les solutions sont \( x \leq -\sqrt{k} \) ou \( x \geq \sqrt{k} \), soit \( S = ]-\infty\,;\,-\sqrt{k}] \cup [\sqrt{k}\,;\,+\infty[ \).
Pour ne jamais se tromper, la méthode recommandée est de tracer la parabole \( y = x^2 \) et la droite horizontale \( y = k \) sur un même repère, puis de lire graphiquement les intervalles où la parabole est en dessous (pour \( \leq \)) ou au-dessus (pour \( \geq \)) de la droite. Pour approfondir ce type de raisonnement graphique, la méthode générale d’étude de fonction et le grapheur de fonctions permettent de relier lecture de courbe et résolution algébrique.
Conclusion : ce qu’il faut retenir sur la fonction carré
La fonction carré \( f(x) = x^2 \) est bien plus qu’un simple exercice de calcul : elle introduit des concepts structurants — la parité, la variation non uniforme, les racines carrées — qui reviennent dans presque tous les chapitres du lycée.
Voici l’essentiel à garder en tête :
- \( x^2 \geq 0 \) pour tout réel \( x \), avec égalité uniquement en \( x = 0 \).
- La courbe représentative est une parabole de sommet \( O(0\,;\,0) \), symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- La fonction est décroissante sur \( ]-\infty\,;\,0] \) et croissante sur \( [0\,;\,+\infty[ \).
- Pour comparer des carrés, il faut d’abord regarder le signe des nombres, pas seulement leur valeur absolue.
- L’équation \( x^2 = k \) (\( k > 0 \)) a exactement deux solutions : \( \pm\sqrt{k} \).
Pour aller plus loin, tu peux explorer les pages suivantes qui prolongent naturellement ce cours : les polynômes, l’équation du second degré et son discriminant, ainsi que les équations et inéquations corrigées.