Équations simples 5ème : 8 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les équations simples en 5ème portent exclusivement sur les formes $ax=c$ et $x+b=c$ . On apprend à reconnaître l’opération appliquée à l’inconnue, à utiliser son opération inverse et à vérifier la valeur trouvée. Le cours sur les équations simples explique le modèle de la balance et le vocabulaire précis.

Les huit exercices évitent volontairement les inconnues présentes dans les deux membres et les enchaînements d’opérations réservés aux niveaux suivants. Ils complètent le parcours de mathématiques en 5ème et réemploient la traduction étudiée dans le cours de calcul littéral. Chaque correction se termine par une substitution dans l’égalité initiale.

Table des Matières

Reconnaître une solution et choisir l’opération inverse

Avant de résoudre, on distingue l’expression de gauche, la valeur de droite et l’opération qui agit directement sur $x$ . Tester une valeur signifie la remplacer partout.

Exercice 1 : Tester sans deviner

Facile

Pour chaque proposition, remplacer $x$ par la valeur annoncée et décider si elle est solution.

$x+7=19$ avec $x=12$ .
$4x=28$ avec $x=6$ .
$x+(-5)=9$ avec $x=14$ .
$3x=-18$ avec $x=-6$ .

Indication

Une valeur est solution seulement si le membre de gauche devient exactement égal au membre de droite.

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Avec $x=12$ , $12+7=19$ : la valeur est solution.
Avec $x=6$ , $4\times6=24\neq28$ : elle ne l’est pas.
Avec $x=14$ , $14+(-5)=9$ : elle est solution.
Avec $x=-6$ , $3\times(-6)=-18$ : elle est solution.

Le test ne consiste pas à regarder si la valeur « semble proche ». Il produit deux nombres précis et vérifie leur égalité.

Exercice 2 : Identifier la bonne action

Moyen

Sans résoudre complètement, indiquer l’opération inverse qui isolera $x$ .

$x+13=21$
$x+(-8)=5$
$7x=42$
$-4x=20$
Expliquer pourquoi une même règle verbale ne convient pas aux quatre équations.

Indication

Repérez si le nombre est ajouté à $x$ ou s’il multiplie $x$ .

Voir le corrigé

Pour $x+13=21$ , on soustrait $13$ aux deux membres. Pour $x+(-8)=5$ , on soustrait $-8$ , ce qui revient à ajouter $8$ . Pour $7x=42$ , on divise les deux membres par $7$ . Pour $-4x=20$ , on divise par $-4$ .

La phrase imprécise « le nombre passe de l’autre côté » masque deux opérations différentes. Le choix fiable vient de la structure : addition dans $x+b=c$ , multiplication dans $ax=c$ .

Résoudre les formes x+b=c et ax=c

On applique la même opération aux deux membres afin de conserver l’égalité. La ligne de vérification revient ensuite à l’équation de départ, indépendamment de la résolution.

Exercice 3 : Équations additives

Facile

Résoudre chaque équation de la forme $x+b=c$ , puis vérifier.

$x+9=25$
$x+(-6)=11$
$x+2,5=8$

Indication

Calculez $x=c-b$ . Gardez le signe de $b$ lorsqu’il est négatif.

Voir le corrigé

$x=25-9=16$ . Vérification : $16+9=25$ .
$x=11-(-6)=17$ . Vérification : $17+(-6)=11$ .
$x=8-2,5=5,5$ . Vérification : $5,5+2,5=8$ .

La seconde équation montre qu’annuler l’addition d’un nombre négatif revient à ajouter son opposé. Le raisonnement reste celui de $x+b=c$ .

Exercice 4 : Équations multiplicatives

Moyen

Résoudre chaque équation de la forme $ax=c$ , puis écrire un contrôle exact.

$6x=54$
$-5x=35$
$8x=14$
$0,4x=3,2$

Indication

Lorsque $a\neq0$ , la solution est $x=\frac ca$ . Une fraction peut ensuite être simplifiée.

Voir le corrigé

$x=54\div6=9$ , et $6\times9=54$ .
$x=35\div(-5)=-7$ , et $(-5)\times(-7)=35$ .
$x=\frac{14}{8}=\frac74=1,75$ , et $8\times\frac74=14$ .
$x=3,2\div0,4=8$ , et $0,4\times8=3,2$ .

Une solution non entière est parfaitement valide. C’est l’égalité vérifiée, et non la nature entière du résultat, qui décide.

Exercice 5 : Corriger deux raisonnements

Moyen

Éva écrit : « $x+8=31$ , donc $x=39$ ». Tom écrit : « $6x=42$ , donc $x=36$ ».

Expliquer l’erreur d’Éva et donner la solution.
Expliquer l’erreur de Tom et donner la solution.
Vérifier les deux valeurs corrigées.

Indication

Demandez quelle opération annule celle qui est réellement appliquée à $x$ .

Voir le corrigé

Éva a ajouté $8$ au lieu d’annuler l’addition de $8$ . Il faut soustraire : $x=31-8=23$ , et $23+8=31$ .

Tom a soustrait $6$ , alors que $6$ multiplie $x$ . Il faut diviser : $x=42\div6=7$ , et $6\times7=42$ .

Les deux erreurs viennent d’une règle automatique appliquée sans lire la structure. Nommer l’opération sur $x$ permet de choisir son inverse.

Traduire et résoudre des problèmes simples

Une mise en équation commence par la définition de l’inconnue. Le contexte doit conduire exactement à $x+b=c$ ou $ax=c$ , puis la phrase finale redonne l’unité.

Exercice 6 : Billets de cinéma

Moyen

Chaque billet coûte $7,50$ €. Un groupe paie exactement $60$ €. On note $x$ le nombre de billets.

Écrire l’équation correspondant au prix total.
Résoudre l’équation.
Vérifier dans le contexte.
Rédiger une phrase de réponse.

Indication

Le même prix est répété $x$ fois : la relation est multiplicative.

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L’équation est $7,5x=60$ .
On divise par $7,5$ : $x=60\div7,5=8$ .
Huit billets coûtent $7,5\times8=60$ € ; le montant annoncé est retrouvé.
Le groupe a acheté 8 billets.

La solution est un nombre entier cohérent avec une quantité de billets. L’unité n’apparaît pas dans l’équation, mais elle doit revenir dans la réponse.

Exercice 7 : Température après une hausse

Moyen

Une température inconnue augmente de $6,5\ ^\circ\text{C}$ et atteint $18\ ^\circ\text{C}$ . On note $x$ la température initiale.

Traduire la situation par une équation autorisée.
Calculer la température initiale.

Indication

La valeur finale est la valeur initiale à laquelle on ajoute $6,5$ .

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L’équation est $x+6,5=18$ , qui est bien de la forme $x+b=c$ . On soustrait $6,5$ aux deux membres : $x=18-6,5=11,5$ .

Vérification : $11,5+6,5=18$ . La température initiale était donc $11,5\ ^\circ\text{C}$ . Le calcul ne demande pas de « déplacer » $6,5$ : il annule son addition par l’opération inverse.

Exercice 8 : Créer puis contrôler deux énoncés

Difficile

On veut produire deux problèmes dont les équations sont $4x=52$ et $x+15=47$ .

Inventer un énoncé réaliste correspondant à $4x=52$ .
Résoudre l’équation et interpréter la solution.
Inventer un autre énoncé correspondant à $x+15=47$ .
Résoudre puis interpréter cette seconde équation.
Expliquer quel détail de chaque énoncé impose la forme choisie.

Indication

Pour $4x=52$ , imaginez quatre lots identiques. Pour $x+15=47$ , imaginez une quantité initiale augmentée d’une quantité fixe.

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Exemple 1 : « Quatre cahiers au même prix coûtent $52$ €. Quel est le prix d’un cahier ? » L’équation $4x=52$ donne $x=13$ . Un cahier coûte $13$ €, et $4\times13=52$ .

Exemple 2 : « Après avoir ajouté $15$ L dans une cuve, elle contient $47$ L. Quel était son volume initial ? » L’équation $x+15=47$ donne $x=32$ . La cuve contenait $32$ L, et $32+15=47$ .

Dans le premier contexte, quatre quantités identiques imposent une multiplication. Dans le second, une hausse fixe impose une addition. Les unités et les vérifications rendent les modèles cohérents.