Fonctions 5ème : 11 exercices corrigés sur tableaux, formules et graphiques

Ces exercices corrigés sur les fonctions en 5ème étudient la dépendance entre deux grandeurs à travers une situation, une formule, un tableau de valeurs ou un graphique. Le cours de fonctions en 5ème explique comment passer d'une représentation à l'autre sans appliquer une méthode aveugle.

Les activités restent dans le périmètre attendu au collège : produire des valeurs, placer des points, lire une évolution et reconnaître un cas de proportionnalité. Les contextes de tarif, de température et de géométrie montrent pourquoi une même relation peut être décrite de plusieurs façons. La page complète le parcours de 5ème.

Passer d’une situation à une formule

Une formule résume la manière dont une grandeur dépend d'une autre. Chaque lettre doit être définie et chaque résultat interprété avec son unité.

Exercice 1 : Traduire un tarif de location

Facile

Un vélo coûte 44 € de prise en charge puis 33 € par heure. On note tt la durée en heures et PP le prix en euros.

  1. Écrire la formule donnant PP en fonction de tt.
  2. Calculer le prix pour 22 h puis pour 55 h.
  3. Expliquer le rôle des nombres 44 et 33 dans la formule.
Indication

Le prix fixe est payé une seule fois ; le prix horaire est multiplié par la durée.

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  1. Le prix comprend (4) € fixes et (3t) € pour (t) heures. La formule est donc P=4+3tP=4+3t.
  2. Pour t=2t=2, P=4+3×2=10P=4+3\times2=10 €. Pour t=5t=5, P=4+3×5=19P=4+3\times5=19 €.
  3. Le nombre 44 représente la prise en charge payée une seule fois. Le coefficient 33 est le prix d'une heure. Comme P=4P=4 lorsque t=0t=0, le prix n'est pas proportionnel à la durée.

Exercice 2 : Exprimer le périmètre d’un rectangle

Facile

Un rectangle a une largeur fixe de 33 cm et une longueur variable xx cm. On note pp son périmètre.

  1. Écrire une formule pour pp.
  2. Calculer pp pour x=4,5x=4{,}5.
  3. Retrouver xx lorsque p=20p=20.
Indication

Le périmètre est la somme de deux longueurs et de deux largeurs. Pour remonter la formule, retirez d'abord les largeurs.

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  1. Le périmètre est la somme de deux longueurs et de deux largeurs : p=2x+2×3=2x+6p=2x+2\times3=2x+6.
  2. Pour x=4,5x=4{,}5, p=2×4,5+6=15p=2\times4{,}5+6=15 cm.
  3. Si p=20p=20, les deux longueurs totalisent 20−6=1420-6=14 cm. Une longueur vaut donc 14÷2=714\div2=7 cm. La vérification 2×7+6=202\times7+6=20 confirme le résultat.

Exercice 3 : Comparer deux formules

Moyen

Deux programmes associent un résultat au nombre xx. Le programme A calcule 2(x+5)2(x+5). Le programme B calcule 2x+52x+5.

  1. Calculer les deux résultats pour x=0x=0, x=3x=3 et x=−2x=-2.
  2. Les programmes donnent-ils toujours le même résultat ?
  3. Expliquer l'écart à partir des opérations.
  4. Modifier B pour le rendre équivalent à A.
Indication

Dans A, le double s'applique à toute la somme, y compris au nombre 55.

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  1. Pour x=0x=0, A donne 1010 et B 55. Pour x=3x=3, A donne 1616 et B 1111. Pour x=−2x=-2, A donne 66 et B 11.
  2. Non. Pour tout nombre xx, A donne toujours 55 de plus que B, donc les deux programmes ne produisent jamais le même résultat.
  3. La distributivité donne 2(x+5)=2x+102(x+5)=2x+10. Dans A, le nombre 55 est doublé, tandis que B ajoute seulement 55 après avoir calculé 2x2x.
  4. Pour rendre B équivalent à A, il faut remplacer sa formule par 2x+102x+10.

Construire et exploiter un tableau de valeurs

Un tableau organise les valeurs d'entrée et les résultats correspondants. Il aide à repérer une régularité sans remplacer la justification.

Exercice 4 : Compléter un tableau de température

Facile

Une température en degrés Fahrenheit est donnée par F=1,8C+32F=1{,}8C+32, où CC est la température en degrés Celsius.

  1. Calculer FF pour C=0C=0, 1010, 2020 et 3030.
  2. Quelle variation de FF correspond à une hausse de 1010 °C ?
Indication

Remplacez CC par chaque valeur. Comparez ensuite deux résultats consécutifs.

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  1. Pour C=0,10,20,30C=0,10,20,30, on obtient respectivement F=32,50,68,86F=32,50,68,86. Par exemple, 1,8×10+32=501{,}8\times10+32=50.
  2. Une hausse de 1010 °C entraîne une hausse de 1,8×10=181{,}8\times10=18 °F. Le terme 3232 décale toutes les valeurs mais ne modifie pas leurs écarts.

Exercice 5 : Retrouver une règle à partir d’un tableau

Moyen

Un tableau associe aux nombres 0,1,2,50, 1, 2, 5 les résultats 7,11,15,277, 11, 15, 27.

  1. Décrire l'évolution du résultat lorsque l'entrée augmente de 11.
  2. Proposer une formule reliant xx et yy.
  3. Vérifier la formule sur les quatre colonnes.
  4. Prévoir le résultat pour x=12x=12.
Indication

La différence constante fournit le coefficient de xx. Utilisez ensuite la colonne x=0x=0.

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  1. Lorsque l'entrée xx augmente de 11, le résultat yy augmente de 44.
  2. Cette variation conduit à y=4x+by=4x+b. Comme y=7y=7 pour x=0x=0, on a b=7b=7, donc y=4x+7y=4x+7.
  3. La formule redonne bien les quatre résultats : 4×0+7=74\times0+7=7, 4×1+7=114\times1+7=11, 4×2+7=154\times2+7=15 et 4×5+7=274\times5+7=27.
  4. Pour x=12x=12, y=4×12+7=55y=4\times12+7=55.

Exercice 6 : Détecter une valeur incohérente

Moyen

La formule A=6n+2A=6n+2 donne le nombre d'allumettes d'un motif. Un tableau affiche : pour n=1,2,3,4,5n=1,2,3,4,5, A=8,14,20,25,32A=8,14,20,25,32.

  1. Repérer la valeur erronée.
  2. Donner la valeur correcte.
  3. Expliquer une vérification utilisant seulement les écarts.
Indication

Calculez 6n+26n+2 ou observez que le résultat doit augmenter de six à chaque étape.

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  1. La valeur incohérente est 2525, associée à n=4n=4. En effet, 6×4+2=266\times4+2=26.
  2. La valeur correcte est donc A=26A=26. Le tableau corrigé contient 8,14,20,26,328,14,20,26,32.
  3. Deux résultats consécutifs doivent toujours différer de 66. Avec 2525, on obtient des écarts 55 puis 77. Avec 2626, tous les écarts valent 66.

Exercice 7 : Associer situation, formule et tableau

Moyen

Trois situations sont proposées : S1, acheter des stylos à 22 € l'unité ; S2, payer 55 € d'entrée puis 22 € par attraction ; S3, retirer 22 à un nombre. Les formules sont y=2xy=2x, y=5+2xy=5+2x et y=x−2y=x-2.

  1. Associer chaque situation à sa formule.
  2. Construire trois lignes de tableau pour x=0,2,5x=0,2,5.
  3. Identifier la seule situation proportionnelle.
Indication

Repérez ce qui est multiplié par xx, ce qui est payé une seule fois et ce qui est soustrait.

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  1. S1 correspond à y=2xy=2x, S2 à y=5+2xy=5+2x et S3 à y=x−2y=x-2.
  2. Pour x=0,2,5x=0,2,5, S1 donne 0,4,100,4,10 ; S2 donne 5,9,155,9,15 ; S3 donne −2,0,3-2,0,3.
  3. Seule S1 est proportionnelle, car sa formule est de la forme y=kxy=kx et donne 00 pour x=0x=0. Les termes fixes 55 et −2-2 excluent S2 et S3.

Lire et interpréter une représentation graphique

Sur un graphique, l'abscisse donne la première grandeur et l'ordonnée la grandeur qui en dépend. Une lecture reste liée à la précision des graduations.

Exercice 8 : Lire un graphique de déplacement

Moyen

La distance dd, en kilomètres, parcourue par un marcheur est représentée en fonction du temps tt, en heures. La ligne brisée passe par (0 ;0)(0\,;0), (1 ;4)(1\,;4), (2 ;4)(2\,;4), (3 ;7)(3\,;7) et (4 ;9)(4\,;9).

  1. Donner la distance parcourue après 11, 22 et 44 heures.
  2. Interpréter le segment horizontal entre 11 h et 22 h.
  3. Calculer la distance parcourue pendant la troisième heure.
  4. Le marcheur avance-t-il toujours à la même vitesse ? Justifier.
Indication

Une portion horizontale signifie que le temps passe tandis que la distance ne change pas.

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  1. Le graphique indique 44 km après 11 h, 44 km après 22 h et 99 km après 44 h.
  2. Entre 11 h et 22 h, le temps augmente mais la distance reste égale à 44 km : le marcheur est arrêté.
  3. Pendant la troisième heure, la distance passe de 44 à 77 km. Le marcheur parcourt donc 7−4=37-4=3 km.
  4. Non. Il parcourt successivement 44, 00, 33 et 22 km pendant chacune des quatre heures ; ces distances horaires ne sont pas constantes.

Exercice 9 : Placer des points issus d’une formule

Moyen

On étudie la formule y=3x−1y=3x-1 pour x=−1,0,1,2,3x=-1,0,1,2,3.

  1. Calculer les cinq valeurs de yy.
  2. Donner les coordonnées des points à placer.
  3. Décrire l'alignement attendu.
  4. Prévoir graphiquement puis calculer la valeur pour x=4x=4.
Indication

Construisez d'abord le tableau. Une même formule affine produit ici des points alignés.

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  1. Pour x=−1,0,1,2,3x=-1,0,1,2,3, les valeurs de y=3x−1y=3x-1 sont −4,−1,2,5,8-4,-1,2,5,8.
  2. Les points à placer sont (−1 ;−4)(-1\,;-4), (0 ;−1)(0\,;-1), (1 ;2)(1\,;2), (2 ;5)(2\,;5) et (3 ;8)(3\,;8).
  3. Lorsque xx augmente de 11, yy augmente de 33. Les cinq points sont donc alignés sur une droite.
  4. Le prolongement graphique conduit à 1111. Le calcul 3×4−1=113\times4-1=11 confirme cette valeur pour x=4x=4.

Exercice 10 : Reconnaître une représentation proportionnelle

Difficile

Trois tracés sont décrits. G1 est une droite passant par (0 ;0)(0\,;0) et (4 ;10)(4\,;10). G2 est une droite passant par (0 ;3)(0\,;3) et (4 ;10)(4\,;10). G3 est une ligne brisée passant par (0 ;0)(0\,;0), (2 ;5)(2\,;5) et (4 ;7)(4\,;7).

  1. Identifier le graphique d'une situation proportionnelle.
  2. Calculer son coefficient de proportionnalité.
  3. Expliquer pourquoi les deux autres graphiques sont refusés.
  4. Donner la valeur associée à x=7x=7 dans la situation proportionnelle.
  5. Formuler une règle graphique générale.
Indication

Une relation proportionnelle est représentée par une droite qui passe par l'origine.

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  1. G1 représente une situation proportionnelle, car c'est une droite qui passe par l'origine.
  2. Son coefficient vaut 10÷4=2,510\div4=2{,}5. La relation est donc y=2,5xy=2{,}5x.
  3. G2 est refusé car la droite ne passe pas par l'origine : y=3y=3 lorsque x=0x=0. G3 est refusé car 5÷2=2,55\div2=2{,}5 tandis que 7÷4=1,757\div4=1{,}75 ; les quotients diffèrent.
  4. Pour x=7x=7, G1 donne y=2,5×7=17,5y=2{,}5\times7=17{,}5.
  5. Graphiquement, une situation proportionnelle est représentée par une droite passant par l'origine. Les deux conditions sont nécessaires.

Exercice 11 : Choisir la représentation la plus utile

Difficile

Une citerne contient 600600 L et perd 2525 L par minute. On veut prévoir son contenu pendant les vingt premières minutes et déterminer quand il ne restera que 200200 L.

  1. Écrire une formule donnant le volume VV après tt minutes.
  2. Calculer les valeurs pour t=0,4,8,12,16,20t=0,4,8,12,16,20.
  3. Expliquer l'intérêt respectif de la formule, du tableau et du graphique.
  4. Déterminer le temps correspondant à V=200V=200 L.
Indication

Le volume initial est le terme fixe ; chaque minute retire 2525 L. Pour remonter, calculez la quantité perdue.

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  1. Après tt minutes, la citerne a perdu 25t25t litres. Son volume est donc V=600−25tV=600-25t.
  2. Pour t=0,4,8,12,16,20t=0,4,8,12,16,20, les volumes sont respectivement 600,500,400,300,200,100600,500,400,300,200,100 L.
  3. La formule fournit une valeur exacte pour tout temps choisi. Le tableau facilite la comparaison de quelques instants. Le graphique montre la baisse régulière et permet d'estimer une valeur intermédiaire.
  4. Pour atteindre 200200 L, la citerne doit perdre 600−200=400600-200=400 L. Le temps nécessaire est 400÷25=16400\div25=16 minutes, ce que confirme le tableau.
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