Distributivité 5ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de distributivité simple en 5ème entraînent les deux sens d’une même propriété : développer un produit ou factoriser une somme. Chaque correction montre quel facteur agit sur quels termes. Le cours sur la distributivité simple permet de revoir l’aire du rectangle qui justifie la règle.

La page ne transforme pas mécaniquement toutes les expressions. Elle demande aussi de choisir la forme la plus utile, d’expliquer une économie de calcul et de repérer un facteur oublié. Elle s’intègre au parcours de 5ème et s’appuie sur la distinction entre termes étudiée en calcul littéral.

Table des Matières

Reconnaître et développer une expression

Développer transforme un produit en somme ou en différence. Le facteur placé devant la parenthèse multiplie chacun de ses termes, sans exception.

Exercice 1 : Compléter la double distribution

Facile

Recopier et compléter les égalités en gardant une étape avec les multiplications visibles.

$4(x+3)=4\times\ldots+4\times\ldots=\ldots$
$7(a-2)=7\times\ldots-7\times\ldots=\ldots$
$5(2y+6)=5\times\ldots+5\times\ldots=\ldots$
$3(4t-1)=\ldots$

Indication

Le facteur extérieur est recopié deux fois, une fois devant chaque terme intérieur.

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$4(x+3)=4\times x+4\times3=4x+12$ .
$7(a-2)=7\times a-7\times2=7a-14$ .
$5(2y+6)=5\times2y+5\times6=10y+30$ .
$3(4t-1)=3\times4t-3\times1=12t-3$ .

L’étape intermédiaire rend visible le fait que les deux termes reçoivent le facteur.

Exercice 2 : Égalité distributive ou imitation

Moyen

Dire si chaque égalité est vraie pour toute valeur de la lettre. Corriger celles qui sont fausses.

$6(x+5)=6x+30$
$4(3x-2)=12x-2$
$9(x-7)=9x-63$
$2(5+x)=10+2x$
$3(x+4)=3x+7$

Indication

Comparez terme par terme : le facteur extérieur doit apparaître dans deux produits.

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Les égalités 1, 3 et 4 sont vraies. Dans la deuxième, $2$ a été oublié : $4(3x-2)=12x-8$ . Dans la cinquième, additionner $3$ et $4$ ne correspond pas à la distribution : $3(x+4)=3x+12$ . Un test avec $x=0$ réfute immédiatement les deux formes fausses, car elles donnent respectivement $-2$ au lieu de $-8$ , et $7$ au lieu de $12$ .

Exercice 3 : Développer puis réduire

Moyen

Développer le produit, puis regrouper seulement les termes semblables.

$A=3(x+4)+2x$
$B=5(2y-1)-3y$
$C=4(t+6)+7-2t$

Indication

Traitez d’abord la parenthèse. La réduction intervient seulement après la distribution.

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$A=3x+12+2x=5x+12$ .
$B=10y-5-3y=7y-5$ .
$C=4t+24+7-2t=2t+31$ .

Les constantes se regroupent entre elles et les termes portant la même lettre entre eux. L’ordre des étapes évite de mélanger développement et réduction.

Factoriser en repérant un facteur commun

Factoriser effectue le chemin inverse : on transforme une somme ou une différence en produit. Le contenu de la parenthèse correspond à ce qui reste après avoir retiré le facteur commun.

Exercice 4 : Mettre un nombre en facteur

Facile

Écrire chaque expression sous forme d’un produit en utilisant le facteur indiqué.

$6x+18$ , facteur $6$ .
$15a-10$ , facteur $5$ .
$8y+12$ , facteur $4$ .
$21-7t$ , facteur $7$ .

Indication

Réécrivez chaque terme comme « facteur commun × reste », puis placez les restes dans la parenthèse.

Voir le corrigé

$6x+18=6x+6\times3=6(x+3)$ .
$15a-10=5\times3a-5\times2=5(3a-2)$ .
$8y+12=4\times2y+4\times3=4(2y+3)$ .
$21-7t=7\times3-7\times t=7(3-t)$ .

Redévelopper chaque réponse restitue l’expression de départ et constitue un contrôle immédiat.

Exercice 5 : Choisir le facteur le plus utile

Moyen

On veut factoriser $12x+18$ .

Factoriser par $2$ .
Factoriser par $3$ .
Factoriser par $6$ .
Comparer les trois écritures.

Indication

Divisez chaque terme par le facteur choisi pour former la parenthèse.

Voir le corrigé

On obtient successivement $2(6x+9)$ , $3(4x+6)$ et $6(2x+3)$ . Les trois produits sont équivalents à $12x+18$ . Le dernier est généralement le plus utile, car $6$ est le plus grand facteur commun aux coefficients $12$ et $18$ , et l’expression $2x+3$ ne possède plus de facteur entier commun supérieur à $1$ .

Exercice 6 : Reconstruire le facteur absent

Difficile

Compléter les identités sans développer au hasard.

$\ldots(x+4)=7x+28$
$5(\ldots-3)=20y-15$

Indication

Comparez le premier terme extérieur au premier terme développé, puis vérifiez avec le second.

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Dans la première identité, $7x$ impose le facteur $7$ , et $7\times4=28$ confirme : $7(x+4)=7x+28$ . Dans la seconde, le facteur extérieur est déjà $5$ . Pour obtenir $20y$ , le terme manquant doit être $4y$ , et $-5\times3=-15$ confirme : $5(4y-3)=20y-15$ .

Choisir une forme pour calculer ou modéliser

Une expression développée et une expression factorisée ont la même valeur, mais elles ne montrent pas la même information. L’objectif du problème guide le choix.

Exercice 7 : Calcul mental autour de cent

Moyen

Calculer sans poser les multiplications, en mettant un facteur commun en évidence.

$17\times63+17\times37$
$24\times101-24$
$8\times49+8$

Indication

Cherchez une somme ou une différence intérieure égale à $100$ ou $50$ .

Voir le corrigé

$17\times63+17\times37=17(63+37)=17\times100=1\,700$ .
$24\times101-24=24(101-1)=24\times100=2\,400$ .
$8\times49+8=8(49+1)=8\times50=400$ .

La factorisation rend le calcul mental immédiat ; développer ici serait un retour vers des multiplications plus longues.

Exercice 8 : L’aire d’un rectangle découpé

Moyen

Un rectangle a pour hauteur $5$ cm et pour largeur totale $x+7$ cm. Il est découpé en deux rectangles de largeurs $x$ et $7$ .

Écrire l’aire à partir des dimensions du grand rectangle.
Écrire l’aire comme somme des deux petites aires.
Justifier l’égalité obtenue.
Calculer l’aire pour $x=9$ .
Préciser l’unité du résultat.

Indication

Une même surface peut être calculée avant ou après découpage.

Voir le corrigé

L’aire globale est $5(x+7)$ .
Les petites aires valent $5x$ et $35$ , donc leur somme est $5x+35$ .
Les deux calculs mesurent exactement la même région : $5(x+7)=5x+35$ .
Pour $x=9$ , l’aire vaut $5(9+7)=5\times16=80$ .
Une aire s’exprime ici en $\text{cm}^2$ .

Exercice 9 : Deux programmes équivalents

Difficile

Programme A : choisir un nombre, lui ajouter $6$ , puis multiplier le résultat par $4$ . Programme B : multiplier le nombre par $4$ , puis ajouter $24$ .

Écrire une expression pour chaque programme.
Montrer par distributivité qu’elles sont équivalentes.
Vérifier avec le nombre $-3$ .

Indication

Le programme A nécessite des parenthèses ; le programme B est déjà sous forme développée.

Voir le corrigé

Avec $x$ comme nombre de départ, A donne $4(x+6)$ et B donne $4x+24$ . Par distributivité, $4(x+6)=4x+4\times6=4x+24$ , donc les programmes sont équivalents pour toute valeur. Avec $x=-3$ , A donne $4\times3=12$ et B donne $-12+24=12$ . Le test illustre l’égalité, tandis que la distributivité la prouve.

Déboguer une transformation et justifier son choix

Une transformation est fiable lorsque chaque terme est suivi, puis contrôlé dans le sens inverse. Un simple test numérique peut réfuter une fausse identité.

Exercice 10 : L’oubli du second terme

Moyen

Un élève écrit $8(2x-5)=16x-5$ .

Localiser précisément son erreur.
Donner le développement correct.
Choisir une valeur de $x$ qui rend l’erreur visible.
Comparer les deux valeurs obtenues avec ce test.

Indication

Le facteur $8$ doit multiplier $2x$ , mais aussi $-5$ .

Voir le corrigé

L’élève a distribué $8$ au premier terme seulement. Le calcul correct est $8(2x-5)=16x-40$ . Avec $x=3$ , l’expression de départ vaut $8(6-5)=8$ , tandis que la forme fausse vaut $48-5=43$ . La forme correcte donne $48-40=8$ . Le test localise clairement l’écart créé par le terme constant oublié.

Exercice 11 : Choisir entre développer et factoriser

Difficile

Pour chaque objectif, choisir la transformation pertinente et mener le calcul.

Calculer mentalement $32\times19+32\times81$ .
Réduire $6(x+2)+3x$ .

Indication

Un facteur répété suggère une factorisation ; une parenthèse suivie d’un terme semblable suggère un développement.

Voir le corrigé

Pour le calcul numérique, on factorise : $32\times19+32\times81=32(19+81)=32\times100=3\,200$ . Pour l’expression littérale, on développe d’abord : $6(x+2)+3x=6x+12+3x=9x+12$ . Les deux sens de la propriété sont donc utiles, mais pas pour la même raison : l’un crée un produit simple, l’autre rend les termes semblables visibles.