Calcul littéral 5ème : comprendre, écrire et réduire

Le calcul littéral en 5ème remplace certains nombres par des lettres afin de décrire une règle valable dans plusieurs cas. L'expression $3x+2$ n'est pas un calcul inachevé : elle représente une machine qui prend une valeur $x$ , la multiplie par $3$ , puis ajoute $2$ .

Ce cours apprend à traduire une phrase en expression, à respecter les conventions d'écriture, à substituer une valeur et à réduire des termes de même nature. Chaque transformation sera contrôlée en vérifiant que l'expression garde la même valeur.

Table des Matières

Pourquoi introduire une lettre dans un calcul ?

Expression littérale

Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres. Selon le contexte, une lettre peut varier, désigner une valeur inconnue ou abréger une grandeur.

Machine de calcul littéral — La même règle de calcul s'applique à toutes les valeurs choisies pour $x$ .

Si $x$ représente le nombre de billets achetés à $3\,€$ et que des frais fixes de $2\,€$ s'ajoutent, le prix total s'écrit $3x+2$ . Pour $x=5$ , il vaut $17\,€$ ; pour $x=10$ , il vaut $32\,€$ . Une seule formule remplace une longue liste de calculs.

Traduire des mots en opérations

Phrase	Expression
La somme de $x$ et de $7$	$x+7$
Le produit de $5$ par $n$	$5n$
Le double de la somme de $a$ et $3$	$2(a+3)$
La différence entre $y$ et $4$	$y-4$
Le quotient de $p+1$ par $6$	$\frac{p+1}{6}$

Les mots « somme », « produit » et « quotient » indiquent les blocs. « Le double de la somme » impose des parenthèses : on double toute la somme, et non seulement $a$ . Lire l'expression à voix haute dans l'autre sens vérifie la traduction.

Erreur fréquente : « le carré de la somme de $x$ et $2$ » s'écrit $(x+2)^2$ , tandis que « la somme du carré de $x$ et de $2$ » s'écrit $x^2+2$ .

Conventions qui allègent l’écriture

Omettre certains signes de multiplication

On peut écrire $3x$ au lieu de $3\times x$ , $ab$ au lieu de $a\times b$ , et $4(x+2)$ au lieu de $4\times(x+2)$ . Entre deux nombres écrits en chiffres, le signe $\times$ reste nécessaire.

1\times x=x,\qquad x\times x=x^2,\qquad 2\times a\times b=2ab.

Le coefficient numérique s'écrit avant les lettres. On préfère $5xy$ à $x\times5\times y$ . Une écriture ordonnée facilite ensuite la reconnaissance des termes semblables.

La notation des carrés et des cubes reprend les principes vus dans Carrés, cubes et puissances 5ème.

Substituer une valeur sans perdre les parenthèses

Substitution

Substituer une valeur à une lettre signifie remplacer chaque occurrence de cette lettre par la valeur donnée, puis effectuer le calcul en respectant les priorités.

Pour calculer $A=2x^2-3x+5$ lorsque $x=-2$ , on place la valeur négative entre parenthèses à chaque remplacement.

\begin{aligned} A&=2(-2)^2-3(-2)+5\\ &=2\times4+6+5\\ &=19. \end{aligned}

Écrire $2-2^2$ au lieu de $2(-2)^2$ modifierait la base du carré. Les parenthèses conservent l'identité du nombre relatif remplacé.

Réduire une expression : regrouper ce qui est comparable

Termes semblables

Des termes sont semblables lorsqu'ils possèdent exactement la même partie littérale. On peut additionner ou soustraire leurs coefficients.

\begin{aligned} 5x+3-2x+7 &=(5x-2x)+(3+7)\\ &=3x+10. \end{aligned}

Les termes $5x$ et $-2x$ sont comparables car ils représentent des multiples de la même quantité $x$ . Les constantes $3$ et $7$ se regroupent entre elles. En revanche, $x$ et $x^2$ ne sont pas semblables.

Erreur fréquente : $3x+4$ ne se réduit pas en $7x$ . Le terme $4$ ne contient pas $x$ , comme on ne peut pas additionner trois mètres et quatre mètres carrés.

Tester une égalité entre deux expressions

Une égalité comme $3(x+2)=3x+6$ affirme que les deux expressions donnent la même valeur pour tous les nombres autorisés. Tester quelques valeurs peut détecter une égalité fausse, mais plusieurs tests ne constituent pas une preuve générale.

Valeur de $x$	$3(x+2)$	$3x+6$
$0$	$6$	$6$
$4$	$18$	$18$
$-2$	$0$	$0$

À l'inverse, un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une égalité n'est pas toujours vraie. Pour $x=1$ , $(x+2)^2=9$ alors que $x^2+4=5$ : ces expressions ne sont donc pas identiques.

Construire une formule à partir d’une figure

Un rectangle de longueur $x+3$ cm et de largeur $4$ cm a pour périmètre :

\begin{aligned} P&=2\bigl((x+3)+4\bigr)\\ &=2(x+7). \end{aligned}

La formule conserve la structure géométrique. On pourrait ensuite la développer, mais la forme $2(x+7)$ montre immédiatement que deux côtés identiques sont comptés. Le choix d'une forme dépend donc de ce que l'on veut lire.

Les formules de départ et la distinction entre longueur et aire viennent du cours sur les périmètres et aires en 6ème.

De l’expression à l’équation : ne pas confondre

$3x+2$ est une expression ; $3x+2=17$ est une équation, car elle affirme une égalité et demande pour quelle valeur de $x$ celle-ci est vraie. Une formule comme $P=2L+2\ell$ relie plusieurs grandeurs.

Cette distinction guide l'action : on peut réduire une expression, calculer sa valeur ou la comparer à une autre. Comme en calcul numérique en 5ème, il faut d'abord identifier la structure de l'expression avant de choisir une transformation.

Astuce : avant tout calcul, identifier la nature de l'écriture : expression à transformer, formule à utiliser ou égalité à résoudre.

Programme de calcul : de la phrase à deux expressions

Un programme demande de choisir un nombre, de lui ajouter $4$ , de multiplier le résultat par $3$ , puis de retirer le triple du nombre de départ. Si le nombre choisi est $x$ , l'expression est $3(x+4)-3x$ .

\begin{aligned} 3(x+4)-3x &=3x+12-3x\\ &=12. \end{aligned}

Le résultat vaut toujours $12$ , quel que soit le nombre choisi. Tester $x=2$ donne $3\times6-6=12$ ; tester $x=-5$ donne $3\times(-1)-(-15)=12$ .

Les tests suggèrent la constance, mais la réduction littérale la prouve pour toute valeur de $x$ . Cet exemple montre pourquoi le calcul avec des lettres dépasse une simple substitution.

Une formule géométrique sous plusieurs formes

Une figure est composée de trois carrés alignés de côté $x$ et d'un rectangle de dimensions $x$ et $2$ . Son aire peut s'écrire $3x^2+2x$ . Cette forme additionne les aires des pièces.

Si la figure forme un rectangle global de hauteur $x$ et de largeur $3x+2$ , la même aire s'écrit $x(3x+2)$ . Les deux expressions sont égales par distributivité.

x(3x+2)=3x^2+2x.

La forme développée décrit les morceaux ; la forme factorisée décrit les dimensions globales. Transformer une expression peut donc révéler une autre lecture de la même figure.

Calcul littéral 5ème : l’essentiel à retenir

Le calcul littéral en 5ème sert à exprimer une règle générale. Traduire les blocs, respecter les conventions, substituer avec des parenthèses et réduire seulement des termes semblables sont quatre compétences différentes qu'il faut articuler.

Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 met cette capacité à changer de représentation au centre de l'algèbre du cycle 4.