Équations simples 5ème : résoudre ax=c et x+b=c

Les équations simples en 5ème traduisent une question par une égalité contenant une lettre. Résoudre $3x=21$ , c'est chercher le nombre qui, multiplié par $3$ , donne $21$ . La lettre n'est ni une décoration ni toujours « quelque chose à déplacer » : elle représente une valeur à déterminer.

Nous étudierons les formes $ax=c$ et $x+b=c$ , prévues au programme de cinquième. La balance servira de modèle pour comprendre pourquoi une même opération effectuée des deux côtés conserve l'égalité.

Table des Matières

Égalité, inconnue, solution : trois mots précis

Équation et solution

Une équation est une égalité contenant une valeur inconnue, souvent représentée par $x$ . Une solution est une valeur qui rend l'égalité vraie lorsqu'on la substitue à l'inconnue.

Dans $x+5=12$ , $x$ est l'inconnue. Le nombre $7$ est solution, car $7+5=12$ . Le nombre $6$ ne l'est pas, car $6+5\neq12$ .

Résoudre une équation signifie trouver toutes ses solutions dans l'ensemble de nombres considéré. Pour les formes simples de ce cours, une seule solution apparaîtra lorsque le coefficient de $x$ n'est pas nul.

La balance explique les opérations inverses

Équation représentée par une balance — Une égalité reste vraie si la même transformation est appliquée aux deux membres.

Conservation de l’égalité

Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité par un même nombre autorisé conserve l'égalité. Une division exige un nombre non nul.

Retirer $5$ seulement du membre de gauche déséquilibrerait l'égalité. En écriture mathématique, on soustrait $5$ aux deux membres, puis on simplifie.

Résoudre une équation de la forme x + b = c

L'opération qui agit sur $x$ est une addition de $b$ . Pour l'annuler, on utilise l'opération inverse : soustraire $b$ .

\begin{aligned} x+8&=23\\ x+8-8&=23-8\\ x&=15. \end{aligned}

On peut prévoir le résultat mentalement, mais écrire la même soustraction des deux côtés établit la méthode générale. Si $b$ est négatif, soustraire $b$ revient à ajouter son opposé.

x-6=-2 \quad\Longrightarrow\quad x=-2+6=4.

Résoudre une équation de la forme ax = c

Dans $ax=c$ , la lettre $x$ est multipliée par le nombre non nul $a$ . On divise donc les deux membres par $a$ .

\begin{aligned} 5x&=35\\ \frac{5x}{5}&=\frac{35}{5}\\ x&=7. \end{aligned}

La solution peut être une fraction ou un nombre décimal. Pour $4x=10$ , on obtient $x=\frac{10}{4}=\frac52=2,5$ . Une solution non entière n'est pas un échec.

Erreur fréquente : dans $5x=35$ , on ne soustrait pas $5$ . Le nombre $5$ multiplie $x$ , donc l'opération inverse est la division par $5$ .

Vérifier la solution dans l’équation de départ

La vérification remplace $x$ par la valeur trouvée dans chaque membre de l'équation initiale. Elle ne répète pas la méthode : elle contrôle le résultat indépendamment.

Équation	Solution proposée	Membre gauche	Membre droit
$x+8=23$	$x=15$	$15+8=23$	$23$
$5x=35$	$x=7$	$5\times7=35$	$35$
$x-6=-2$	$x=4$	$4-6=-2$	$-2$

Les deux membres donnent la même valeur : les solutions sont validées. Une erreur de signe ou d'opération inverse apparaît souvent immédiatement à cette étape.

Choisir l’opération inverse à partir de la structure

Forme	Opération sur $x$	Opération inverse
$x+b=c$	Ajouter $b$	Soustraire $b$
$x-b=c$	Soustraire $b$	Ajouter $b$
$ax=c$	Multiplier par $a$	Diviser par $a$
$\frac{x}{a}=c$	Diviser par $a$	Multiplier par $a$

Parler d'opération inverse est plus fiable que « passer un nombre de l'autre côté en changeant son signe ». Cette dernière phrase masque la transformation effectuée sur les deux membres et devient source d'erreurs lorsque les équations se compliquent.

Mettre un problème en équation

Un cinéma facture $6\,€$ par place. Un groupe paie $54\,€$ . Si $x$ est le nombre de places, le prix s'écrit $6x$ , donc l'équation est $6x=54$ . Elle donne $x=9$ .

Choisir ce que représente l'inconnue et écrire son unité.
Traduire la relation de l'énoncé par une égalité.
Résoudre en identifiant l'opération inverse.
Vérifier puis répondre par une phrase dans le contexte.

Le travail de traduction s'appuie sur le cours de calcul littéral en 5ème, qui distingue expression, formule et équation.

Cas particuliers utiles à reconnaître

L'équation $0x=5$ n'a aucune solution, car $0x$ vaut toujours $0$ . L'équation $0x=0$ est vraie pour toute valeur de $x$ . Ces cas ne se résolvent pas en divisant par $0$ , opération interdite.

Dans les équations simples du niveau, le coefficient $a$ de $ax=c$ est généralement non nul. Reconnaître le cas $a=0$ évite pourtant une application aveugle de la formule.

Astuce : annoncer ce que l'on cherche avant les lignes de calcul, puis terminer par une phrase de réponse avec l'unité.

Les calculs contenant des relatifs utilisent les méthodes vues dans l'addition et la soustraction des nombres relatifs.

Trois problèmes, trois opérations inverses

Âge. Dans $5$ ans, Lina aura $17$ ans. Si $x$ est son âge actuel, $x+5=17$ , donc $x=12$ .

Partage. Quatre entrées identiques coûtent $26$ €. Si $x$ est le prix d'une entrée, $4x=26$ , donc $x=6,50$ €.

Longueur. Une corde raccourcie de $3,2$ m mesure $8,5$ m. Si $x$ est sa longueur initiale, $x-3,2=8,5$ , donc $x=11,7$ m.

Dans chaque cas, la phrase choisissant l'inconnue vient avant l'équation. Le résultat est ensuite vérifié dans le contexte : $12+5=17$ , $4\times6,5=26$ et $11,7-3,2=8,5$ .

Résoudre sans la métaphore du changement de côté

La phrase « le nombre passe de l'autre côté » peut donner l'impression qu'un terme se déplace. En réalité, on applique une même opération aux deux membres et on simplifie.

\begin{aligned} x-4{,}5&=9\\ x-4{,}5+4{,}5&=9+4{,}5\\ x&=13{,}5. \end{aligned}

Cette écriture reste valable quand les nombres deviennent négatifs ou fractionnaires. Elle explique aussi pourquoi l'égalité est conservée : chaque membre reçoit exactement la même addition.

Équations simples 5ème : l’essentiel à retenir

Résoudre des équations simples en 5ème, c'est préserver l'équilibre d'une égalité tout en isolant l'inconnue. Pour $x+b=c$ , on soustrait $b$ ; pour $ax=c$ , on divise par $a\neq0$ . La substitution finale confirme la solution.

Ces formes d'initiation figurent dans le programme officiel de mathématiques du cycle 4 et construisent une méthode rigoureuse avant les équations plus complexes.