Calcul littéral 5ème : 13 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de calcul littéral en 5ème apprennent à passer d’une phrase à une expression, à remplacer une lettre par une valeur et à regrouper des termes réellement semblables. Le cours de calcul littéral en 5ème explique le rôle des lettres et les conventions d’écriture.

Les treize exercices sont centrés sur cette intention précise. Ils n’utilisent ni le développement par distributivité ni la résolution d’équations, qui demandent leurs propres méthodes. La progression complète le parcours de mathématiques en 5ème et réemploie la notation des carrés et cubes lorsqu’une formule contient une puissance.

Table des Matières

Traduire le langage courant en expression

Une expression littérale décrit un calcul sans affirmer qu’il existe une valeur inconnue à trouver. Les mots somme, produit, double ou carré indiquent sa structure.

Exercice 1 : Associer mots et symboles

Facile

Écrire une expression correspondant à chaque phrase. On note $x$ le nombre choisi.

Le triple de $x$ .
La somme de $x$ et de $8$ .
Le carré de $x$ , diminué de $5$ .
Le périmètre d’un rectangle de longueur $x$ et de largeur $4$ .

Indication

« Triple » signifie multiplier par $3$ . Pour un rectangle, additionnez deux longueurs et deux largeurs.

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Le triple de $x$ s’écrit $3x$ .
La somme demandée est $x+8$ .
Le carré diminué de $5$ est $x^2-5$ .
Le périmètre vaut $x+4+x+4=2x+8$ .

Une expression ne contient pas nécessairement de signe égal : elle représente un calcul, pas encore une équation.

Exercice 2 : Distinguer une somme d’un produit

Moyen

Pour chaque écriture, décrire l’opération principale effectuée en dernier : $5x+3$ , $5(x+3)$ , $x^2+3x$ .

Décrire $5x+3$ par une phrase.
Décrire $5(x+3)$ sans développer.
Identifier les deux termes de $x^2+3x$ .

Indication

Regardez l’opération située au niveau le plus extérieur. Les parenthèses font de $x+3$ un bloc.

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$5x+3$ est la somme du quintuple de $x$ et de $3$ . $5(x+3)$ est le produit de $5$ par la somme de $x$ et de $3$ . Enfin, $x^2+3x$ est une somme dont les termes sont $x^2$ et $3x$ . Ces descriptions révèlent des structures différentes, même lorsque les mêmes nombres apparaissent.

Exercice 3 : Le programme décrit dans le désordre

Moyen

Un programme demande de choisir $n$ , de calculer son carré, puis d’ajouter le double du nombre de départ.

Écrire l’expression finale.
Expliquer pourquoi $3n^2$ ne traduit pas ce programme.

Indication

Le carré et le double sont deux résultats séparés que l’on additionne.

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Le carré vaut $n^2$ et le double du nombre de départ vaut $2n$ . L’expression est donc $n^2+2n$ . L’écriture $3n^2$ signifierait trois fois le carré de $n$ ; elle confond une addition de termes différents avec une multiplication. Un test avec $n=2$ confirme l’écart : $n^2+2n=8$ , tandis que $3n^2=12$ .

Substituer une valeur dans une formule

Substituer consiste à remplacer chaque occurrence d’une lettre par la valeur donnée. Les parenthèses sont indispensables lorsque cette valeur est négative.

Exercice 4 : Évaluer quatre expressions

Facile

On donne $x=4$ . Calculer les expressions en écrivant la substitution.

$A=3x+7$
$B=x^2-5$
$C=2x^2+x$
$D=20-4x$
Classer les quatre valeurs dans l’ordre croissant.

Indication

Remplacez chaque $x$ par $4$ , calculez les carrés avant les multiplications, puis les sommes ou différences.

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$A=3\times4+7=19$ .
$B=4^2-5=16-5=11$ .
$C=2\times4^2+4=32+4=36$ .
$D=20-4\times4=4$ .
L’ordre croissant est $D=4<B=11<A=19<C=36$ .

La substitution complète rend l’ordre des opérations visible et vérifiable.

Exercice 5 : Substituer un nombre négatif

Moyen

On donne $t=-3$ et $E=2t^2+5t-1$ .

Écrire la ligne de substitution avec des parenthèses.
Calculer $E$ .

Indication

Écrivez $(-3)^2$ , et non $-3^2$ . Le signe fait partie de la valeur remplacée.

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La substitution correcte est $E=2\times(-3)^2+5\times(-3)-1$ . Le carré vaut $9$ , donc $E=18-15-1=2$ . Les parenthèses montrent que l’on élève $-3$ au carré. Sans elles, $-3^2$ serait interprété comme l’opposé de $3^2$ .

Exercice 6 : Une formule de coût

Moyen

La location d’un vélo coûte $C=6h+4$ , où $h$ est la durée entière en heures et $C$ le prix en euros.

Calculer le prix pour $h=3$ .
Calculer le prix pour $h=7$ .
Interpréter les nombres $6$ et $4$ dans le contexte.
Comparer les deux prix sans refaire tous les calculs.

Indication

Le terme $6h$ varie avec la durée ; le terme $4$ reste fixe.

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Pour $h=3$ , $C=6\times3+4=22$ €, et pour $h=7$ , $C=6\times7+4=46$ €. Le nombre $6$ est le prix de chaque heure ; $4$ est un coût fixe. Entre $3$ h et $7$ h, quatre heures sont ajoutées, donc le prix augmente directement de $4\times6=24$ €, ce qui confirme $46-22=24$ .

Réduire seulement les termes semblables

Réduire une expression consiste à regrouper les termes portant exactement la même partie littérale. Un terme en $x$ , un terme en $x^2$ et une constante ne sont pas semblables.

Exercice 7 : Regrouper des termes en x

Facile

Réduire chaque expression en expliquant le regroupement.

$4x+7x$
$9x-3x+2$
$5+2x+8+3x$

Indication

Comptez les « paquets de $x$ » entre eux et les nombres sans lettre entre eux.

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$4x+7x=(4+7)x=11x$ .
$9x-3x+2=6x+2$ ; la constante $2$ reste séparée.
$5+2x+8+3x=(2x+3x)+(5+8)=5x+13$ .

Réduire ne change pas la valeur : cela donne une écriture plus courte du même calcul.

Exercice 8 : Termes en x et en x au carré

Moyen

Réduire sans confondre $x$ et $x^2$ .

$3x^2+5x^2-2x$
$7x+4x^2-3x+2x^2$
Vérifier la deuxième réduction pour $x=2$ .
Expliquer pourquoi $x^2+x$ ne se réduit pas en $2x^2$ .

Indication

Regroupez les coefficients des termes qui ont la même puissance de $x$ .

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La première expression devient $8x^2-2x$ . La seconde devient $6x^2+4x$ , car $4x^2+2x^2=6x^2$ et $7x-3x=4x$ . Pour $x=2$ , l’expression initiale vaut $14+16-6+8=32$ , et la forme réduite vaut $6\times4+4\times2=32$ . Enfin, $x^2$ et $x$ ne décrivent pas la même partie littérale ; avec $x=3$ , $x^2+x=12$ , alors que $2x^2=18$ .

Exercice 9 : Diagnostiquer une réduction impossible

Moyen

Samira propose $6a+4=10a$ . Yanis propose $3b^2+2b=5b^2$ .

Expliquer l’erreur de Samira.
Expliquer l’erreur de Yanis.
Donner une valeur-test qui réfute chaque égalité.

Indication

Une constante n’a pas de partie littérale ; $b$ et $b^2$ ne sont pas semblables.

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Samira additionne à tort un terme en $a$ et une constante : $6a+4$ est déjà réduit. Avec $a=1$ , le membre gauche vaut $10$ , mais $10a=10$ ; ce test particulier ne réfute pas l’égalité. Il faut choisir $a=2$ : $6a+4=16$ , contre $20$ .

Yanis confond $b$ et $b^2$ . Avec $b=2$ , $3b^2+2b=16$ , tandis que $5b^2=20$ . Les deux contre-exemples suffisent à prouver que les égalités proposées ne sont pas valables pour toutes les valeurs.

Exercice 10 : Réduction à reconstruire

Difficile

Une expression réduite vaut $7x^2+3x+5$ . Construire une expression non réduite comportant six termes et donnant cette forme.

Proposer une expression convenable.

Indication

Décomposez les coefficients $7$ , $3$ et $5$ en plusieurs sommes ou différences.

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Une réponse possible est $4x^2+5x+2+3x^2-2x+3$ . En regroupant, on obtient $(4+3)x^2+(5-2)x+(2+3)=7x^2+3x+5$ . D’autres réponses sont possibles : il suffit que les coefficients des termes semblables aient respectivement pour sommes $7$ , $3$ et $5$ .

Modéliser et contrôler une expression

Une formule utile doit être reliée aux grandeurs qu’elle représente. Le contrôle peut porter sur les unités, une valeur particulière ou une seconde manière de compter.

Exercice 11 : Compter des allumettes

Moyen

Une rangée de $n$ carrés séparés utilise $4n$ allumettes. On ajoute ensuite une allumette sous chaque jonction entre deux carrés.

Combien y a-t-il de jonctions pour $n$ carrés ?
Écrire le nombre total d’allumettes.
Réduire l’expression obtenue.
Calculer le total pour $n=6$ .
Contrôler directement le résultat pour six carrés.

Indication

Entre $n$ objets alignés, il y a $n-1$ intervalles.

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Il existe $n-1$ jonctions.
Le total est $4n+(n-1)$ .
Comme $n-1=n+(-1)$ , la forme réduite est $5n-1$ .
Pour $n=6$ , $5\times6-1=29$ .
On compte $24$ allumettes pour les six carrés et $5$ sous les jonctions, soit $29$ .

Le contrôle relie la formule à la construction réelle.

Exercice 12 : Comparer deux périmètres

Difficile

Un rectangle A a pour côtés $x+2$ cm et $3$ cm. Un rectangle B a pour côtés $x$ cm et $5$ cm.

Écrire puis réduire le périmètre de A.
Écrire puis réduire le périmètre de B.

Indication

Utilisez deux longueurs et deux largeurs. Il s’agit de comparer des expressions, pas de chercher une valeur de $x$ .

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Pour A, $P_A=(x+2)+(x+2)+3+3=2x+10$ . Pour B, $P_B=x+x+5+5=2x+10$ . Les expressions réduites sont identiques : les deux rectangles ont donc le même périmètre pour toute longueur admissible $x$ . Aucune équation n’a été résolue ; on a construit puis comparé deux formules.

Exercice 13 : Choisir une formule cohérente

Difficile

Un abonnement coûte $12$ € de frais fixes puis $3$ € par séance. Trois formules sont proposées pour $s$ séances : $12s+3$ , $3s+12$ , $15s$ .

Choisir la formule correcte.
Expliquer l’erreur représentée par chacune des deux autres.
Calculer le coût de $8$ séances.

Indication

Un coût fixe apparaît une seule fois ; le coût par séance est multiplié par le nombre de séances.

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La formule correcte est $3s+12$ . Dans $12s+3$ , les rôles sont inversés : les frais fixes seraient facturés à chaque séance. Dans $15s$ , on additionne les deux tarifs puis on les répète, ce qui rend aussi les frais fixes variables. Pour $s=8$ , le coût exact est $3\times8+12=24+12=36$ €. L’unité et le sens des coefficients valident la formule choisie.