Une équation en 4ème traduit deux expressions qui doivent avoir la même valeur. Résoudre , c'est chercher tous les nombres qui peuvent remplacer sans rompre l'égalité. La solution n'est correcte que parce que .
Plutôt que de « passer un terme de l'autre côté », ce cours s'appuie sur l'image d'une balance : toute opération effectuée sur un membre doit être effectuée sur l'autre. Cette règle traite de la même façon additions, produits, parenthèses et fractions.
Vocabulaire d’une équation et sens de la solution
Équation et solution
Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, souvent noté . Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend les deux membres égaux.
Dans , est le membre de gauche et le membre de droite. Résoudre signifie produire un ensemble de solutions, pas seulement effectuer une transformation symbolique.
Les transformations qui conservent l’égalité
Principe d’équivalence
On obtient une équation équivalente en :
- ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres ;
- multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul.
Deux équations sont équivalentes lorsqu'elles ont exactement les mêmes solutions. Chaque ligne de résolution doit donc pouvoir se justifier par une opération identique des deux côtés.
Erreur fréquente : diviser par zéro est impossible. Avant de diviser par une expression contenant une lettre, il faudrait savoir qu'elle n'est pas nulle ; ce cas dépasse les équations élémentaires de cette leçon.
Résoudre une équation de la forme ax+b=c
On défait les opérations dans l'ordre inverse de leur application : on retire d'abord le en ajoutant 9, puis on défait la multiplication par 7 en divisant par 7.
Inconnue dans les deux membres
Lorsque apparaît des deux côtés, on regroupe les termes en dans un membre et les constantes dans l'autre. Le choix du côté est libre ; choisir celui qui garde un coefficient positif rend souvent la suite plus lisible.
La première transformation soustrait aux deux membres. La suivante soustrait 8. Les règles sur les nombres relatifs contrôlent le signe de la dernière division.
Équation avec parenthèses : développer seulement si nécessaire
La distributivité en 4ème transforme chaque membre avant l'isolement de l'inconnue. Toutefois, si une parenthèse est déjà isolée, il peut être plus court de diviser d'abord.
Erreur fréquente : dans , le facteur 3 multiplie et . Oublier le second produit change l'équation et sa solution.
Vérifier la solution dans l’équation de départ
La vérification remplace l'inconnue dans les deux membres de l'équation originale, pas dans la dernière ligne déjà simplifiée. Pour l'équation précédente et :
Les deux valeurs coïncident : 8 est bien solution. Cette étape détecte les erreurs de signe ou de développement.
Mettre un problème en équation : du texte au modèle
Un rectangle a une longueur supérieure de cm à sa largeur et un périmètre de cm. On définit comme la largeur en centimètres ; la longueur vaut alors .
La largeur vaut 7 cm et la longueur 10 cm. Vérifier donne une interprétation concrète de la solution.
Une rédaction complète en cinq étapes
- Définir l'inconnue et son unité.
- Traduire toutes les grandeurs en fonction de cette inconnue.
- Écrire l'équation issue de la relation donnée.
- Résoudre avec des équivalences justifiées.
- Vérifier puis répondre par une phrase dans le contexte.
Les équations simples de 5ème traitaient surtout et . Le niveau 4ème ajoute l'inconnue dans les deux membres, les parenthèses et la modélisation.
Astuce : si la solution paraît étrange, relire d'abord la définition de l'inconnue. Une équation exacte peut répondre à une mauvaise traduction du problème.
Traiter les parenthèses et les fractions dans une équation
Avant d'isoler l'inconnue, on simplifie chaque membre. Pour , développer donne , puis . On peut aussi conserver une forme factorisée si elle conduit plus directement à l'opération inverse.
Dans une équation comportant des fractions numériques, multiplier les deux membres par un dénominateur commun élimine les divisions sans changer les solutions. Cette multiplication doit porter sur chaque terme des deux membres.
Diagnostiquer une équation impossible ou toujours vraie
Après simplification, l'inconnue peut disparaître. Si l'on obtient , aucune valeur ne convient : l'équation n'a pas de solution. Si l'on obtient , toutes les valeurs autorisées vérifient l'égalité.
| Équation | Après réduction | Conclusion |
|---|---|---|
| aucune solution | ||
| tous les nombres | ||
Ces cas ne sont pas des échecs de calcul. Ils décrivent précisément l'ensemble des solutions et doivent être annoncés par une phrase.
Mettre en équation un problème d’âge
Lina a 7 ans de plus que Sami. Dans cinq ans, la somme de leurs âges sera 45 ans. Si est l'âge actuel de Sami, Lina a ans. Dans cinq ans, ils auront et ans.
On réduit : , puis et . Sami a 14 ans et Lina 21 ans. La vérification porte sur l'énoncé futur : dans cinq ans, 19+26=45. Choisir clairement ce que représente empêche d'ajouter les cinq années à un seul personnage.
Une autre inconnue aurait produit une équation différente mais la même solution concrète. Si désigne l'âge actuel de Lina, Sami a ans et l'équation devient , d'où . Comparer ces deux modélisations montre que le choix de l'inconnue est libre à condition d'être défini et respecté.
Équations du premier degré 4ème : l’essentiel à retenir
Résoudre des équations en 4ème, c'est produire des équations équivalentes en conservant l'équilibre. On isole l'inconnue, on vérifie dans l'équation initiale et, dans un problème, on interprète la valeur avec son unité.
Cette démarche du programme officiel de mathématiques du cycle 4 transforme le calcul littéral en outil de modélisation plutôt qu'en suite de déplacements mécaniques.