Les fractions en 4ème deviennent de véritables nombres sur lesquels on multiplie et on divise. Le nombre \(\frac{-6}{8}\) représente le quotient de \(-6\) par \(8\), donc un nombre négatif égal à \(-\frac34\). La barre de fraction est à la fois un signe de division et un regroupement.
Ce cours relie simplification, signes, produit et inverse. L’objectif n’est pas d’accumuler quatre recettes, mais de savoir pourquoi une transformation conserve la valeur et à quel moment elle rend le calcul plus simple.
Nombre rationnel et écriture fractionnaire
Nombre rationnel
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire \(\frac{a}{b}\), où \(a\) et \(b\) sont des entiers et \(b\neq0\). L’entier \(a\) est le numérateur ; l’entier \(b\) est le dénominateur.
Un même nombre rationnel possède plusieurs écritures : \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{-8}{-12}\). Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas le quotient.
Erreur fréquente : le dénominateur ne peut pas être nul. L’écriture \(\frac{4}{0}\) ne désigne aucun nombre.
Gérer le signe d’une fraction
Trois écritures d’un même nombre négatif
Pour \(b\neq0\), on a \(\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}\). Deux signes négatifs s’annulent : \(\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}\).
Écrire le signe devant la fraction rend souvent les calculs plus lisibles. La règle vient directement du quotient de deux nombres relatifs.
Simplifier jusqu’à une fraction irréductible
Fraction irréductible
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun supérieur à 1.
On peut simplifier en plusieurs étapes ou utiliser directement un grand diviseur commun. Le contrôle final consiste à vérifier que \(2\) et \(3\) n’ont plus de facteur commun. Les critères du cours sur les multiples et diviseurs accélèrent cette recherche.
Multiplier des fractions sans fabriquer de grands nombres
Produit de deux fractions
Pour \(b\neq0\) et \(d\neq0\), \(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\). On peut simplifier des facteurs communs avant d’effectuer les produits.
Ici, \(14\) et \(21\) sont divisés par \(7\), tandis que \(25\) et \(15\) sont divisés par \(5\). Cette simplification en croix est légitime parce que tous ces nombres sont des facteurs d’un même produit.
Erreur fréquente : on ne simplifie jamais à travers une addition. Dans \(\frac{2+6}{2}\), le 2 du numérateur n’est pas un facteur de toute la somme ; il faut d’abord calculer ou factoriser.
Inverse d’un nombre rationnel et division de fractions
Inverse
L’inverse d’un nombre non nul \(x\) est le nombre qui, multiplié par \(x\), donne \(1\). L’inverse de \(\frac{a}{b}\), avec \(a\neq0\), est \(\frac{b}{a}\).
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse. Cette règle transforme une opération moins familière en multiplication.
Erreur fréquente : l’opposé de \(\frac56\) est \(-\frac56\), tandis que son inverse est \(\frac65\). Opposé et inverse répondent à deux produits différents : somme nulle ou produit égal à 1.
Choisir l’opération dans un problème de fractions
| Ce que raconte l’énoncé | Opération probable | Question de contrôle |
|---|---|---|
| une fraction d’une quantité | multiplication | quelle part du tout ? |
| combien de portions entrent dans une quantité | division | combien de fois ? |
| réunir ou comparer des parts | addition ou soustraction | les parts ont-elles la même unité ? |
Une bouteille contient \(\frac34\) L. Des verres de \(\frac18\) L représentent un nombre de portions : \(\frac34\div\frac18=\frac34\times8=6\). L’unité finale est un nombre de verres, ce qui confirme le choix de la division.
Contrôler un résultat sans refaire tout le calcul
- Le signe est-il cohérent avec les signes des facteurs ou du quotient ?
- Si l’on multiplie deux nombres compris entre 0 et 1, le résultat doit être plus petit que chacun.
- Si l’on divise par un nombre positif inférieur à 1, le résultat augmente.
- La fraction finale est-elle irréductible ?
Astuce : avant de diviser, annoncer l’inverse à voix haute : « je garde la première fraction, je multiplie par l’inverse de la seconde ». Cela évite d’inverser les deux fractions.
Comparer des nombres rationnels sans approximation trompeuse
Pour comparer deux fractions, on peut les écrire avec un dénominateur commun positif. Comparons \(-\frac7{12}\) et \(-\frac5{8}\). Le dénominateur commun 24 donne \(-\frac{14}{24}\) et \(-\frac{15}{24}\). Comme \(-14>-15\), on obtient \(-\frac7{12}>-\frac58\). Avec des nombres négatifs, la fraction dont la distance à zéro est la plus faible est la plus grande.
Une écriture décimale peut aider lorsque le quotient est exact ou suffisamment simple, mais un arrondi ne prouve pas une comparaison serrée. Les produits en croix permettent aussi de comparer deux fractions positives ; avec des signes, il est préférable de traiter d’abord le signe puis les valeurs absolues.
Astuce : un dénominateur commun doit rester positif pour comparer directement les numérateurs sans inverser le sens de l’inégalité.
Résoudre un problème avec une fraction d’une fraction
Dans une classe, \(\frac35\) des élèves pratiquent un sport et \(\frac23\) de ces sportifs participent à une compétition. La fraction de toute la classe concernée est un produit, car on prend les deux tiers d’un groupe qui représente déjà trois cinquièmes :
La phrase « de ces » signale souvent une fraction d’une fraction. En revanche, partager \(\frac35\) de litre entre quatre personnes conduit à une division : \(\frac35\div4=\frac3{20}\) litre par personne. Identifier l’action avant de calculer évite de choisir multiplication ou division au hasard.
Partager une recette en conservant les proportions
Une recette prévue pour 6 personnes utilise \(\frac34\) de litre de bouillon. Pour 10 personnes, le coefficient est \(10/6=5/3\). La nouvelle quantité vaut \(\frac34\times\frac53=\frac54\) litre, soit 1,25 L.
Si le bouillon est versé dans des récipients de \(\frac18\) de litre, leur nombre est \(\frac54\div\frac18=\frac54\times8=10\). La première opération adapte une quantité proportionnellement ; la seconde compte combien de petites capacités sont contenues dans le volume total. Le choix multiplication ou division vient du sens de la question.
La valeur décimale finale, 1,25 L, sert de contrôle mais ne remplace pas la fraction exacte. Le résultat \(\frac54\) montre immédiatement que la quantité dépasse un litre d’un quart. Selon la question, on conserve donc l’écriture fractionnaire pour les calculs et on utilise l’écriture décimale pour interpréter une mesure ou choisir un récipient réel.
Fractions et nombres rationnels 4ème : l’essentiel à retenir
Les fractions en 4ème deviennent faciles à contrôler lorsqu’on distingue valeur, signe et écriture. Simplifier conserve le quotient, multiplier revient à multiplier les facteurs, et diviser revient à multiplier par l’inverse du diviseur.
Ces compétences figurent dans le programme officiel de mathématiques du cycle 4 et servent ensuite dans les équations, la proportionnalité et les probabilités.