Les nombres relatifs en 4ème ne changent pas les tables de multiplication : ils ajoutent une décision sur le signe. Pour calculer \((-7)\times(+4)\), on détermine d’abord si le résultat est positif ou négatif, puis on multiplie les distances à zéro \(7\times4\). Cette séparation évite de mélanger signe et valeur.
Le véritable enjeu apparaît lorsque produits, quotients, additions et parenthèses se rencontrent. Ce cours construit la règle des signes, l’étend à plusieurs facteurs et donne une méthode de lecture pour les priorités opératoires, sans transformer chaque expression en recette à apprendre par cœur.
Multiplier deux nombres relatifs : décider du signe puis calculer
Produit de deux nombres relatifs
Le produit de deux nombres relatifs a pour distance à zéro le produit de leurs distances à zéro. Il est positif si les deux facteurs ont le même signe, négatif s’ils ont des signes différents.
| Signes des facteurs | Signe du produit | Exemple |
|---|---|---|
| (+) et (+) | positif | \((+6)\times(+5)=+30\) |
| (-) et (-) | positif | \((-6)\times(-5)=+30\) |
| (+) et (-) | négatif | \((+6)\times(-5)=-30\) |
| (-) et (+) | négatif | \((-6)\times(+5)=-30\) |
Pourquoi « moins par moins » donne-t-il plus ? Multiplier par \(-1\) prend l’opposé. Le faire deux fois ramène au nombre initial : \((-1)\times((-1)\times5)=5\). Ce raisonnement donne du sens à la règle au lieu de la réduire à un slogan.
Division de nombres relatifs : la même règle des signes
La division cherche le facteur manquant d’un produit. Puisque \((-4)\times(-7)=28\), on obtient \(28\div(-7)=-4\). Le signe d’un quotient suit donc exactement la même règle que celui d’un produit.
Signe d’un quotient
Le quotient de deux nombres de même signe est positif. Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif. Le diviseur ne peut jamais être nul.
Erreur fréquente : le quotient \(\frac{5}{0}\) n’existe pas. En revanche, \(0\div(-5)=0\), car \((-5)\times0=0\).
Produit de plusieurs nombres relatifs : compter les facteurs négatifs
Avec plusieurs facteurs, calculer les signes deux par deux fonctionne, mais compter les facteurs négatifs est plus rapide. Chaque paire de signes négatifs produit un signe positif.
Parité du nombre de facteurs négatifs
- un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif ;
- un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif ;
- si un facteur vaut zéro, tout le produit vaut zéro.
Il y a trois facteurs négatifs : le signe final est donc négatif. On calcule ensuite \(2\times5\times3\times4=120\). Cette méthode évite de perdre un signe au milieu d’une longue chaîne.
Priorités opératoires avec des nombres négatifs
Les nombres deviennent relatifs, mais l’ordre des opérations reste celui du calcul numérique et des priorités opératoires : parenthèses, puissances lorsqu’il y en a, multiplications et divisions, puis additions et soustractions. Entre opérations de même priorité, on avance de gauche à droite.
À chaque ligne, une seule opération prioritaire est remplacée par sa valeur. La dernière soustraction devient l’addition de l’opposé : \(-8-(-6)=-8+6\).
Erreur fréquente : dans \(-3^2\), la puissance porte seulement sur \(3\), donc \(-3^2=-(3^2)=-9\). Pour mettre le nombre négatif au carré, il faut écrire \((-3)^2=9\).
Parenthèses et signes successifs : lire avant de supprimer
Un signe « moins » devant une parenthèse ne disparaît pas. Soustraire une somme revient à ajouter son opposé ; chaque terme intérieur change alors de signe. Au niveau 4ème, mieux vaut effectuer d’abord le calcul intérieur lorsque c’est possible.
Les deux chemins sont corrects. Le premier calcule la parenthèse ; le second distribue l’opposé. Choisir le chemin le plus lisible réduit le risque d’erreur.
Une procédure de contrôle en trois questions
Avant de valider un résultat, trois contrôles courts suffisent souvent :
- Quelle opération devait être faite en premier ? Cela contrôle les priorités.
- Quel devait être le signe du résultat intermédiaire ? Cela contrôle la règle des signes.
- L’ordre de grandeur est-il plausible ? Par exemple, \((-19,8) imes5,1\) doit être proche de \(-100\).
Astuce : dans un produit long, écrire d’abord le signe seul, puis calculer les distances à zéro. Les deux décisions deviennent vérifiables séparément.
Relier multiplication, opposé et droite graduée
Multiplier par un nombre positif conserve le sens ; multiplier par un nombre négatif prend l’opposé puis change l’échelle. Par exemple, passer de \(3\) à \(-6\) revient à multiplier par \(-2\) : la distance à zéro double et le côté de la droite graduée s’inverse.
Cette interprétation prolonge le cours sur les nombres relatifs en 5ème, où signe, opposé et distance à zéro ont été distingués. Elle permet de comprendre les règles plutôt que de les mémoriser isolément.
Étudier le signe d’un quotient ou d’une fraction complexe
Une écriture fractionnaire peut contenir plusieurs signes moins. Avant de calculer, on compte les facteurs négatifs au numérateur et au dénominateur. Le quotient est positif lorsque leur nombre total est pair et négatif lorsqu’il est impair. Ainsi, \(\frac{(-3)\times(-5)}{(-2)\times7}\) est négatif : deux signes moins au numérateur donnent un produit positif, puis la division par un produit négatif change le signe.
Cette analyse s’applique aussi lorsqu’une expression entière occupe le numérateur. Dans \(\frac{8-3\times5}{-7}\), la priorité donne d’abord \(8-15=-7\), puis le quotient vaut 1. Décider du signe à partir du seul « moins » visible devant 7 aurait été prématuré.
| Expression | Signe avant calcul | Valeur |
|---|---|---|
| \((-4)\times(-2)\times(-3)\) | trois facteurs négatifs : négatif | -24 |
| \(\frac{-36}{-9}\) | deux signes négatifs : positif | 4 |
| \(-18\div3\times(-2)\) | calcul de gauche à droite | 12 |
Comparer deux stratégies de calcul
Une expression peut souvent être calculée de plusieurs façons. Pour \(A=(-25)\times17+(-25)\times3\), effectuer les deux produits fonctionne, mais repérer le facteur commun \((-25)\) donne \(A=(-25)\times(17+3)=-500\). À l’inverse, dans une chaîne mêlant division et soustraction, respecter l’ordre initial est généralement plus sûr.
Choisir une stratégie ne signifie donc pas changer arbitrairement l’ordre. On utilise seulement des propriétés autorisées : associativité et commutativité pour une suite de multiplications, distributivité pour transformer une somme de produits, priorités pour tout le reste. Un calcul mental élégant reste un calcul justifié.
Astuce : estimer d’abord la valeur absolue. Si \((-19,8)\times5,1\) donne 10 ou 1 000, l’ordre de grandeur révèle immédiatement une erreur.
Analyser un bilan financier avec des nombres relatifs
Un compte enregistre successivement quatre opérations : trois prélèvements de 18 €, un remboursement de 25 € et deux versements de 12 €. La variation totale s’écrit \((-3)\times18+25+2\times12\). Les multiplications sont effectuées avant les additions : \(-54+25+24=-5\). Le solde a donc diminué de 5 €.
Cette écriture compacte distingue le nombre d’opérations de leur montant. Si le compte partait de \(-32\) €, son solde final serait \(-32+(-5)=-37\) €. Le résultat négatif décrit une position par rapport à zéro ; il ne faut pas transformer automatiquement toute baisse en valeur négative sans tenir compte du solde initial.
Astuce : traduire chaque mouvement par un signe avant de regrouper les opérations identiques. Le contexte décide du signe, puis les priorités décident de l’ordre.
Un contrôle supplémentaire consiste à recalculer le bilan en regroupant d’abord les entrées, puis les sorties : \(25+24=49\) et \(3\times18=54\), d’où \(49-54=-5\). Obtenir la même variation par deux organisations autorisées renforce la fiabilité du résultat. Cette vérification est particulièrement utile lorsque l’expression contient plusieurs produits et que les signes rendent une lecture directe difficile.
Nombres relatifs 4ème : l’essentiel à retenir
Pour réussir les nombres relatifs en 4ème, on sépare toujours trois décisions : l’ordre des opérations, le signe, puis la valeur numérique. Même signe donne un produit ou un quotient positif ; signes différents donnent un résultat négatif ; plusieurs facteurs se traitent en comptant les signes moins.
Cette progression respecte le programme officiel de mathématiques du cycle 4 et prépare les fractions signées, les puissances et le calcul littéral.