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PediaMathLes maths, un pas de plus pour tous

Quatrième

Série d’exercices

Équations 4e : exercices corrigés PDF

Quatrième Équations du premier degré

Le cours sur les équations en 4e explique pourquoi on effectue la même opération sur les deux membres. Cette fiche propose dix exercices originaux pour tester, résoudre, diagnostiquer et mettre en équation, avec tous les corrigés dans le même PDF. Des exercices corrigés complémentaires permettent ensuite de varier les données.

Sommaire
  1. 1.Comprendre l’égalité avant de résoudre
    1. 1.1.Une balance reste en équilibre
    2. 1.2.Tester avant de calculer
  2. 2.Choisir les transformations utiles
    1. 2.1.Quatre structures, quatre décisions
    2. 2.2.La distributivité a changé de signe
    3. 2.3.Des équations différentes, une même solution
  3. 3.Reconnaître ce que dit le calcul
    1. 3.1.Une, aucune ou toutes ?
    2. 3.2.Un triangle isocèle à retrouver
  4. 4.Mettre un problème en équation
    1. 4.1.Deux tarifs se rencontrent
    2. 4.2.Retrouver la somme de départ
    3. 4.3.Trois nombres impairs consécutifs
  5. 5.Corrigés détaillés

    Comprendre l’égalité avant de résoudre

    Balance en équilibre : le plateau gauche porte x + 3 et le plateau droit porte 11.
    Schéma de l’exercice 1 : l’égalité x + 3 = 11 représentée par une balance.

    Exercice 1Une balance reste en équilibre

    Corrigé

    La balance ci-dessus traduit l’égalité x + 3 = 11.

    1. Quelle opération permet de retirer les trois unités à gauche sans rompre l’équilibre ?

    2. Écrire la nouvelle égalité x+3−3=11−3x+3-3=11-3, puis résoudre.

    3. Vérifier la valeur trouvée dans l’égalité initiale : 8+3=118+3=11.

    Exercice 2Tester avant de calculer

    Corrigé

    On considère 2(3x - 1) = 4x + 10 et les valeurs -2, 0, 4 et 6.

    1. Calculer séparément les deux membres pour chacune des quatre valeurs.

    2. Laquelle est solution ?

    3. Résoudre ensuite l’équation pour confirmer.

    4. Expliquer pourquoi un seul calcul différent suffit à écarter une valeur.

    Choisir les transformations utiles

    Exercice 3Quatre structures, quatre décisions

    Corrigé

    Résoudre puis vérifier les équations suivantes en écrivant les étapes utiles.

    1. Résoudre 7−3x=227-3x=22.

    2. Résoudre 2x−53=7\frac{2x-5}{3}=7.

    3. Résoudre 5(x−2)=3x+85(x-2)=3x+8.

    4. Résoudre 4(2x+1)−3=5x+104(2x+1)-3=5x+10.

    Exercice 4La distributivité a changé de signe

    Corrigé

    Pour résoudre -4(x - 2) = 12, Lina écrit -4x - 8 = 12, puis x = -5.

    1. Repérer la première ligne fausse et expliquer l’erreur.

    2. Reprendre la résolution correctement.

    3. La substitution confirme-t-elle la réponse de Lina ou la nouvelle réponse ?

    Exercice 5Des équations différentes, une même solution

    Corrigé

    On veut construire des équations dont la solution est x = 4.

    1. Compléter 3x+5=…3x+5=\ldots.

    2. Trouver a tel que 5x−a=75x-a=7 ait pour solution 4.

    3. Écrire une équation avec x dans les deux membres et de solution 4.

    4. Vérifier les trois équations par substitution.

    Reconnaître ce que dit le calcul

    Exercice 6Une, aucune ou toutes ?

    Corrigé

    Étudier chaque équation sans annoncer trop vite une valeur de x.

    1. Étudier 5x−7=2x+85x-7=2x+8.

    2. Étudier 3(x+2)=3x+63(x+2)=3x+6.

    3. Étudier 4(x−1)=4x+14(x-1)=4x+1.

    4. Pour chaque cas, préciser l’ensemble des solutions par une phrase.

    Exercice 7Un triangle isocèle à retrouver

    Corrigé

    Un triangle isocèle a deux côtés égaux de longueur x + 4 cm et une base de longueur 2x - 3 cm. Son périmètre vaut 57 cm.

    1. Traduire le périmètre par une équation.

    2. Résoudre cette équation.

    3. Donner les trois longueurs.

    4. Vérifier le périmètre et l’existence du triangle.

    Mettre un problème en équation

    Exercice 8Deux tarifs se rencontrent

    Corrigé

    Pour n impressions, l’atelier A facture 12 + 0,08n euros et l’atelier B facture 6 + 0,11n euros.

    1. Écrire l’équation correspondant à des factures égales.

    2. Déterminer le nombre d’impressions concerné.

    3. Calculer alors le montant commun.

    4. Comparer les deux tarifs pour 150, puis pour 300 impressions.

    Exercice 9Retrouver la somme de départ

    Corrigé

    Noor dépense le tiers de la somme qu’elle possédait. Il lui reste ensuite 18 euros.

    1. En notant x la somme initiale, écrire une équation.

    2. Résoudre et répondre par une phrase.

    3. Contrôler le partage entre somme dépensée et somme restante.

    Exercice 10Trois nombres impairs consécutifs

    Corrigé

    La somme de trois nombres impairs consécutifs vaut 87.

    1. Si le plus petit vaut x, exprimer les deux suivants.

    2. Écrire puis résoudre l’équation de la somme.

    3. Donner les trois nombres.

    4. Vérifier à la fois leur somme et leur caractère impair consécutif.

    Corrigés détaillés

    Corrigé 1Une balance reste en équilibre

    Revoir l’exercice

    1. On soustrait 3 aux deux membres : la même opération conserve l’égalité.

    2. On obtient x+3−3=11−3x+3-3=11-3, donc x = 8.

    3. La vérification est 8+3=118+3=11 : 8 est bien solution.

    Corrigé 2Tester avant de calculer

    Revoir l’exercice

    1. Pour -2, les membres valent -14 et 2 ; pour 0, -2 et 10 ; pour 4, 22 et 26 ; pour 6, 34 et 34.

    2. Seule la valeur 6 rend les deux membres égaux.

    3. La résolution donne 6x−2=4x+10⇒2x=126x-2=4x+10\Rightarrow2x=12, puis x = 6.

    4. Une solution doit rendre les deux membres égaux. Une inégalité suffit donc à l’écarter.

    Corrigé 3Quatre structures, quatre décisions

    Revoir l’exercice

    1. −3x=15⇒x=−5-3x=15\Rightarrow x=-5 ; la substitution donne 22 = 22.

    2. 2x−5=21⇒x=132x-5=21\Rightarrow x=13 ; on retrouve 7 = 7.

    3. 2x=18⇒x=92x=18\Rightarrow x=9 ; les deux membres valent 35.

    4. 3x=9⇒x=33x=9\Rightarrow x=3 ; les deux membres valent 25.

    Corrigé 4La distributivité a changé de signe

    Revoir l’exercice

    1. Le produit correct est −4(x−2)=−4x+8-4(x-2)=-4x+8 : le second signe devient positif.

    2. −4x+8=12⇒−4x=4-4x+8=12\Rightarrow-4x=4, donc x = -1.

    3. Pour -1, le membre gauche vaut 12. Pour -5, il vaut 28 : seule la nouvelle réponse est vérifiée.

    Corrigé 5Des équations différentes, une même solution

    Revoir l’exercice

    1. On peut écrire 3x+5=173x+5=17.

    2. 20−a=720-a=7, donc a = 13.

    3. Par exemple 3x+2=x+103x+2=x+10, qui donne x = 4.

    4. Avec x = 4, les égalités deviennent 17 = 17, 7 = 7 et 14 = 14.

    Corrigé 6Une, aucune ou toutes ?

    Revoir l’exercice

    1. 3x=15⇒x=53x=15\Rightarrow x=5 : il y a une solution.

    2. On obtient 3x+6=3x+63x+6=3x+6, vraie pour toute valeur de x.

    3. On obtient −4=1-4=1, impossible : aucune solution.

    4. Les ensembles de solutions sont respectivement {5}, tous les nombres, puis l’ensemble vide.

    Corrigé 7Un triangle isocèle à retrouver

    Revoir l’exercice

    1. L’équation est 2(x+4)+(2x−3)=572(x+4)+(2x-3)=57.

    2. 4x+5=57⇒4x=524x+5=57\Rightarrow4x=52, donc x = 13.

    3. Les côtés égaux mesurent 17 cm ; la base mesure 23 cm.

    4. 17+17+23=57et17+17>2317+17+23=57\quad\text{et}\quad17+17>23 : le périmètre et l’existence sont vérifiés.

    Corrigé 8Deux tarifs se rencontrent

    Revoir l’exercice

    1. L’égalité des factures s’écrit 12+0,08n=6+0,11n12+0{,}08n=6+0{,}11n.

    2. 6=0,03n6=0{,}03n, donc n = 200 impressions.

    3. Chaque facture vaut alors 28 euros.

    4. Pour 150 impressions, A coûte 24 euros et B 22,50 euros. Pour 300, A coûte 36 euros et B 39 euros.

    Corrigé 9Retrouver la somme de départ

    Revoir l’exercice

    1. Il reste x−x3x-\frac{x}{3}, donc cette expression vaut 18.

    2. 2x3=18⇒x=27\frac{2x}{3}=18\Rightarrow x=27 : Noor possédait 27 euros.

    3. Le tiers de 27 vaut 9 ; il reste bien 27 - 9 = 18 euros.

    Corrigé 10Trois nombres impairs consécutifs

    Revoir l’exercice

    1. Les deux suivants sont x+2etx+4x+2\quad\text{et}\quad x+4.

    2. x+(x+2)+(x+4)=87⇒3x=81x+(x+2)+(x+4)=87\Rightarrow3x=81, donc x = 27.

    3. Les nombres sont 27, 29 et 31.

    4. Ils sont impairs, espacés de 2, et 27+29+31=8727+29+31=87.

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