La distributivité simple en 5ème permet d'écrire le même calcul sous deux formes. met en évidence un produit ; montre une somme. Développer passe de la première à la seconde, factoriser effectue le chemin inverse.
Cette leçon part d'une aire découpée pour justifier la propriété. Elle donne ensuite une méthode de contrôle des signes et explique pourquoi une forme peut être plus utile qu'une autre selon le problème.
Une même aire calculée de deux façons
Le grand rectangle a une hauteur et une largeur totale . Son aire vaut donc . En le découpant, on obtient deux rectangles d'aires et , soit une aire totale .
Distributivité de la multiplication
Développer : supprimer une parenthèse sans changer la valeur
Développement
Développer un produit signifie le transformer en une somme ou une différence équivalente. Le facteur extérieur multiplie chacun des termes de la parenthèse.
Écrire l'étape intermédiaire avec les deux multiplications réduit les oublis. Pour , on distribue à puis à en conservant la soustraction : .
Erreur fréquente : dans , le facteur multiplie aussi . L'écriture ne conserve pas l'aire ni la valeur.
Le cas d’un facteur négatif
Quand le facteur est négatif, chaque produit doit être calculé avec son signe. Il est prudent de garder les multiplications visibles avant de simplifier.
Le second terme devient positif parce qu'il est le produit de deux nombres négatifs. Cette situation illustre l'intérêt de distinguer le signe de l'opération et le signe du nombre.
Factoriser : repérer ce qui est répété
Factorisation
Factoriser une somme ou une différence consiste à l'écrire comme un produit. On met en évidence un facteur commun présent dans chaque terme.
Le facteur commun est écrit devant la parenthèse. Dans la parenthèse restent les facteurs qui lui étaient associés : et . Redévelopper permet de vérifier immédiatement la factorisation.
Choisir un facteur commun pertinent
Plusieurs facteurs peuvent être communs. Dans , , et divisent les deux coefficients. Factoriser par donne la forme la plus réduite : .
| Expression | Facteur commun | Forme factorisée |
|---|---|---|
Le dernier exemple demande d'identifier une partie littérale commune. Comme et , le facteur est présent dans les deux termes.
Développer ou factoriser : la question décide
La forme développée facilite le regroupement de termes semblables et le calcul d'une somme. La forme factorisée rend visible un facteur commun, une aire ou un nombre de groupes identiques.
| Objectif | Forme souvent utile |
|---|---|
| Réduire | Développer puis regrouper |
| Calculer | Factoriser par |
| Lire les dimensions d'un rectangle | Forme produit |
| Comparer des coefficients de | Forme développée |
Enchaîner développement et réduction
Développer n'est parfois qu'une étape. Dans , on commence par la parenthèse, puis on réduit les termes semblables.
L'ordre des opérations impose de traiter le produit avant la soustraction de . Les conventions et la réduction sont reprises du cours de calcul littéral en 5ème.
Vérifier une transformation algébrique
La preuve vient de la distributivité. Un test numérique peut cependant repérer une faute. Si l'on propose , choisir donne à gauche et à droite : l'égalité est fausse.
Astuce : après une factorisation, redévelopper mentalement. Après un développement, vérifier que chaque terme de la parenthèse a reçu le facteur.
La maîtrise des priorités opératoires reste nécessaire lorsque plusieurs parenthèses et opérations coexistent ; elle est détaillée dans Calcul numérique 5ème.
Trois erreurs à départager par un test numérique
On propose trois développements de : , et . Choisissons . L'expression initiale vaut .
Les expressions proposées valent respectivement , et . Une seule conserve la valeur : . Le test détecte les erreurs « facteur oublié sur le second terme » et « facteur oublié sur le premier terme ».
Pour prouver la formule, on revient à la distributivité : . Le test numérique est un diagnostic, la propriété est la justification générale.
Factoriser pour comparer deux coûts
Deux clubs commandent chacun maillots et shorts. Le maillot coûte euros et le short euros. Le coût total peut s'écrire , puis se factoriser en .
La forme factorisée indique immédiatement qu'il y a tenues complètes, chacune composée d'un maillot et d'un short. La forme développée sépare au contraire le coût des maillots et celui des shorts.
Choisir une forme n'est donc pas seulement simplifier une écriture : c'est choisir l'organisation la plus parlante pour la question.
Distributivité simple 5ème : l’essentiel à retenir
La distributivité simple en 5ème exprime une égalité entre un produit et une somme. Développer distribue le facteur ; factoriser repère un facteur commun. Le choix de la forme dépend de l'information recherchée, et non d'une préférence arbitraire.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 introduit ces transformations comme outils de raisonnement, de calcul mental et de modélisation.