Triangles 6ème : propriétés et constructions

Définition et vocabulaire du triangle

Dans le triangle $ABC$, les sommets sont $A$, $B$ et $C$, les côtés sont les segments $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$, et les angles sont $\widehat{ABC}$, $\widehat{BCA}$ et $\widehat{CAB}$.

Le côté opposé au sommet $A$ est $[BC]$. Inversement, l’angle opposé au côté $[BC]$ est l’angle de sommet $A$. Cette relation entre sommet et côté opposé devient importante pour décrire les triangles particuliers.

Erreur fréquente : le nom d’un triangle indique l’ordre dans lequel on parcourt ses sommets. On ne peut pas remplacer une lettre par une autre, mais les noms $ABC$, $BCA$ ou $CAB$ désignent le même triangle.

Lire les codages d’un triangle

Une figure géométrique n’est pas nécessairement dessinée à l’échelle. Les codages constituent les informations fiables.

Une même marque doit toujours garder la même signification sur une figure. Si une troisième longueur n’est pas codée comme les deux premières, rien ne permet d’affirmer qu’elle leur est égale.

Reconnaître les triangles particuliers

Triangle isocèle

Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur. Si $AB=AC$, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Le sommet $A$ est le sommet principal et le côté $[BC]$ est la base.

Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur. Ses trois angles ont aussi la même mesure. Comme leur somme vaut $180^\circ$, chacun mesure $60^\circ$.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle possède un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est le seul côté qui ne touche pas le sommet de l’angle droit, et c’est aussi le plus long côté du triangle.

Combiner deux natures

Un triangle peut être rectangle et isocèle. Il possède alors un angle droit et deux côtés égaux. Ses deux autres angles sont égaux et leur somme vaut $90^\circ$, donc chacun mesure $45^\circ$.

Somme des angles d’un triangle

Si deux angles mesurent $52^\circ$ et $71^\circ$, le troisième vaut :

Le résultat est inférieur à $90^\circ$, comme les deux autres angles : le triangle est aigu, c’est-à-dire qu’il possède trois angles aigus. La méthode de mesure et les types d’angles sont détaillés dans le cours sur les angles en 6ème.

Cas d’un triangle isocèle

Un triangle isocèle en $A$ possède un angle principal de $38^\circ$. Les deux angles à la base sont égaux. Leur somme vaut $180^\circ-38^\circ=142^\circ$, puis chacun vaut $142^\circ\div2=71^\circ$.

Peut-on construire un triangle avec trois longueurs ?

Avant de prendre le compas, on vérifie que la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres. Cette condition garantit que les deux arcs utilisés pour placer le troisième sommet se coupent.

Pour $4\ \text{cm}$, $6\ \text{cm}$ et $8\ \text{cm}$, il suffit de vérifier la plus grande longueur :

Le triangle est constructible. En revanche, avec $3\ \text{cm}$, $4\ \text{cm}$ et $8\ \text{cm}$, on a $8>3+4$ : les deux plus petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

Si la plus grande longueur est exactement égale à la somme des deux autres, les trois sommets sont alignés. On obtient un triangle aplati, pas un véritable triangle.

Construire un triangle connaissant ses trois côtés

On souhaite construire $ABC$ avec $AB=7\ \text{cm}$, $AC=5\ \text{cm}$ et $BC=4\ \text{cm}$.

1. Tracer le segment $[AB]$ de $7\ \text{cm}$.
2. Tracer un arc de cercle de centre $A$ et de rayon $5\ \text{cm}$.
3. Tracer un arc de cercle de centre $B$ et de rayon $4\ \text{cm}$.
4. Nommer $C$ l’un des points d’intersection des deux arcs.
5. Tracer les segments $[AC]$ et $[BC]$.
6. Coder ou noter les longueurs et laisser les arcs de construction visibles.

Les deux arcs peuvent se couper en deux points, situés de part et d’autre de $(AB)$. On obtient alors deux triangles symétriques par rapport à la droite $(AB)$, mais leurs longueurs sont identiques.

Précision : l’ouverture du compas doit être prise sur la règle sans la modifier pendant le tracé de l’arc correspondant. Un arc trop court peut masquer le véritable point d’intersection.

Construire un triangle avec deux côtés et un angle

Pour construire $ABC$ avec $AB=6\ \text{cm}$, $AC=4,5\ \text{cm}$ et $\widehat{BAC}=70^\circ$, les deux longueurs connues se rencontrent au sommet de l’angle connu.

1. Tracer $[AB]$ de $6\ \text{cm}$.
2. Construire en $A$ une demi-droite formant un angle de $70^\circ$ avec $[AB)$.
3. Sur cette demi-droite, placer $C$ à $4,5\ \text{cm}$ de $A$.
4. Relier $C$ à $B$.

Le rapporteur fixe l’ouverture et la règle graduée fixe la longueur. Il est conseillé de construire l’angle avant de placer le point $C$, car un point choisi au hasard pourrait ne pas respecter la mesure demandée.

Construire un triangle avec un côté et deux angles

On connaît $AB=8\ \text{cm}$, $\widehat{BAC}=45^\circ$ et $\widehat{ABC}=65^\circ$. On trace d’abord le côté $[AB]$, puis une demi-droite de $45^\circ$ issue de $A$ et une demi-droite de $65^\circ$ issue de $B$. Leur intersection est le point $C$.

Avant de construire, on peut calculer le troisième angle :

Si les deux angles donnés ont une somme supérieure ou égale à $180^\circ$, la construction est impossible. Il ne resterait aucune mesure strictement positive pour le troisième angle.

Construire les triangles particuliers

Triangle isocèle

Pour construire un triangle isocèle $ABC$ en $A$ avec $AB=AC=5\ \text{cm}$ et $BC=6\ \text{cm}$, on trace la base $[BC]$, puis deux arcs de rayon $5\ \text{cm}$, l’un centré en $B$, l’autre en $C$. Leur intersection donne $A$.

Triangle équilatéral

Pour construire un triangle équilatéral de côté $4\ \text{cm}$, on trace $[AB]$ de $4\ \text{cm}$, puis deux arcs de rayon $4\ \text{cm}$ centrés en $A$ et en $B$. Leur intersection $C$ vérifie $AB=AC=BC$.

Triangle rectangle

Pour construire un triangle rectangle en $A$, on trace une demi-droite $[AB)$, puis une demi-droite perpendiculaire en $A$ avec l’équerre. On place ensuite $B$ et $C$ aux distances demandées et on relie $B$ à $C$.

Périmètre d’un triangle

Le périmètre est la somme des longueurs des trois côtés. Pour le triangle $ABC$ :

Un triangle isocèle possède une base de $7,4\ \text{cm}$ et deux côtés égaux de $5,2\ \text{cm}$. Son périmètre vaut $7,4+2\times5,2=17,8\ \text{cm}$. On ne multiplie par deux que la longueur des côtés codés égaux.

Les unités et les calculs de contour sont approfondis dans le cours sur les périmètres et aires en 6ème.

Utiliser la médiatrice dans un triangle

Tout point de la médiatrice d’un segment est à égale distance de ses extrémités. Par conséquent, si $A$ appartient à la médiatrice de $[BC]$, alors $AB=AC$ et le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.

Cette propriété permet de construire un triangle isocèle sans mesurer séparément les deux côtés égaux. La définition, la propriété réciproque et les constructions sont présentées dans le cours sur la médiatrice d’un segment en 6ème.

Rédiger une justification sur un triangle

Une justification géométrique suit généralement trois étapes : citer les données, nommer la propriété, puis conclure.

Reconnaître un triangle isocèle

« Les segments $[AB]$ et $[AC]$ portent le même codage, donc $AB=AC$. Un triangle qui possède deux côtés de même longueur est isocèle. Ainsi, $ABC$ est isocèle en $A$. »

Calculer un angle

« La somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$. Donc $\widehat{ACB}=180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ$. » Une phrase-réponse indique ensuite clairement le sommet de l’angle obtenu.

Le dessin peut suggérer une réponse, mais il ne constitue jamais une preuve. Une mesure inscrite, un codage ou une propriété donnée dans l’énoncé doit soutenir la conclusion.

Choisir la bonne méthode de construction

Avant de tracer, on classe les données. Trois longueurs conduisent à une construction avec deux arcs de compas. Deux côtés et l’angle qu’ils forment demandent un rapporteur puis une mesure de longueur. Un côté et deux angles conduisent à l’intersection de deux demi-droites. Cette lecture préalable évite de commencer avec un instrument inutile.

On réalise généralement le côté connu le plus long en premier. La figure est alors plus grande et les intersections sont plus faciles à repérer. Le choix n’est pas obligatoire, mais il améliore souvent la précision. On place ensuite les informations autour de ce côté en respectant leur sommet ou leur centre.

Faire une figure à main levée

Une petite figure à main levée précède utilement la construction. Elle ne sert pas de preuve et n’a pas besoin d’être à l’échelle. Elle permet cependant de placer les noms, de reporter les codages et de vérifier que chaque donnée est associée au bon côté ou au bon angle.

Contrôler l’unicité de la construction

Avec trois longueurs données, deux positions du troisième sommet peuvent apparaître de part et d’autre du premier côté. Elles correspondent à des triangles superposables après retournement. Avec deux côtés et un angle qui n’est pas compris entre eux, plusieurs constructions peuvent parfois convenir ; il faut donc suivre précisément la position indiquée par l’énoncé.

À la fin, on mesure les trois côtés et les trois angles. La somme des angles doit être proche de $180^\circ$, avec une petite tolérance due au tracé. On vérifie aussi les codages : des côtés annoncés égaux doivent avoir des longueurs mesurées très proches.

Erreurs à éviter dans les constructions

Contrôle : remesurez les côtés et les angles après la construction. Les écarts doivent rester compatibles avec l’épaisseur du trait et la précision des instruments.

Ce qu’il faut maîtriser sur les triangles en 6ème

• Nommer les sommets, les côtés et les angles d’un triangle.
• Lire les codages de longueurs et d’angles.
• Reconnaître et justifier un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle.
• Utiliser la somme des angles d’un triangle.
• Vérifier si trois longueurs permettent une construction.
• Construire un triangle à partir de longueurs ou d’angles donnés.
• Rédiger une conclusion en citant la propriété utilisée.

Ces connaissances s’inscrivent dans le programme officiel de mathématiques du cycle 3, qui met l’accent sur les propriétés, les constructions instrumentées et le raisonnement géométrique.