Triangles 6ème : 12 exercices corrigés et constructions

Ces exercices corrigés sur les triangles en 6ème font identifier sommets et côtés, reconnaître les triangles isocèles, équilatéraux et rectangles, vérifier si une construction est possible et rédiger des programmes au compas. Les propriétés et méthodes sont rassemblées dans le cours sur les triangles. La série s’inscrit dans les mathématiques de 6ème.

Vocabulaire et triangles particuliers

Les codages de longueurs et d’angles permettent de reconnaître une figure sans se fier à son apparence.

Exercice 1 : Nommer côtés et sommets

Facile

On considère le triangle RST.

  1. Quel côté est opposé au sommet R ?
  2. Quels côtés ont le sommet S en commun ?
  3. Donner trois noms possibles du triangle.
Indication

Un côté opposé à un sommet ne contient pas ce sommet.

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  1. Question 1. Le côté opposé à R est [ST][ST].
  2. Question 2. Les côtés sont [SR][SR] et [ST][ST].
  3. Question 3. RST, STR et TRS, par exemple.

Exercice 2 : Reconnaître un triangle à partir des codages

Facile

Dans le triangle ABC, on sait que AB=ACAB=AC et BAC^=90∘\widehat{BAC}=90^\circ.

  1. Quelle propriété donne AB=ACAB=AC ?
  2. a. Quelle propriété donne l’angle de 90∘90^\circ ? b. Nommer complètement le triangle.
Indication

Deux qualificatifs peuvent s’appliquer simultanément.

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  1. Question 1. Le triangle est isocèle en A.
  2. Question 2. a. Il est rectangle en A. b. ABC est rectangle isocèle en A.

Exercice 3 : Propriétés du triangle équilatéral

Facile

Le triangle MNP est équilatéral et MN=5,4MN=5,4 cm.

  1. Donner les longueurs MP et NP.
  2. Donner la mesure de chacun de ses angles.
  3. Calculer son périmètre.
Indication

Dans un triangle équilatéral, les trois côtés et les trois angles sont égaux.

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  1. Question 1. MP=NP=5,4MP=NP=5,4 cm.
  2. Question 2. Chaque angle mesure 60∘60^\circ.
  3. Question 3. 3×5,4=16,23\times5,4=16,2 cm.

Vérifier et réaliser une construction de triangle

La somme de deux longueurs doit être strictement supérieure à la troisième pour former un triangle non aplati.

Exercice 4 : Tester l’existence d’un triangle

Moyen

On propose trois séries de longueurs.

  1. Peut-on construire 33 cm, 44 cm, 66 cm ?
  2. Peut-on construire 22 cm, 55 cm, 88 cm ?
  3. Peut-on construire 33 cm, 44 cm, 77 cm comme triangle non aplati ?
Indication

Comparez la plus grande longueur à la somme des deux autres.

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  1. Question 1. Oui, car 3+4>63+4>6.
  2. Question 2. Non, car 2+5<82+5<8.
  3. Question 3. Non comme triangle non aplati, car 3+4=73+4=7.

Exercice 5 : Construction avec trois longueurs

Moyen

Construire ABC avec AB=7AB=7 cm, AC=5AC=5 cm et BC=4BC=4 cm.

  1. Quel segment tracer d’abord ?
  2. a. Quels cercles ou arcs tracer ? b. Pourquoi leur intersection donne-t-elle C ?
Indication

Le point C doit être à la fois à 55 cm de A et à 44 cm de B.

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  1. Question 1. Tracer [AB][AB] de 77 cm.
  2. Question 2. a. Tracer un arc de centre A, rayon 55 cm, et un arc de centre B, rayon 44 cm. b. Leur intersection vérifie simultanément AC=5AC=5 cm et BC=4BC=4 cm.

Exercice 6 : Construction d’un triangle isocèle

Moyen

Construire DEF isocèle en D avec EF=6EF=6 cm et DE=5DE=5 cm.

  1. Quelle autre longueur connaît-on ?
  2. Décrire les deux arcs à tracer.
  3. Combien de positions de D sont possibles si aucun demi-plan n’est imposé ?
Indication

Isocèle en D signifie que les deux côtés issus de D sont égaux.

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  1. Question 1. DF=DE=5DF=DE=5 cm.
  2. Question 2. Tracer des arcs de centres E et F, tous deux de rayon 55 cm.
  3. Question 3. Deux positions, symétriques par rapport à la droite (EF)(EF).

Programmes de construction et problèmes

Les exercices de synthèse combinent longueurs, angles et justification de l’unicité de la figure.

Exercice 7 : Triangle défini par deux côtés et un angle

Difficile

Construire GHI tel que GH=6GH=6 cm, GI=4GI=4 cm et HGI^=70∘\widehat{HGI}=70^\circ.

  1. Rédiger les trois étapes principales.
  2. Quel instrument fixe l’angle ?
  3. Quel instrument fixe la longueur GI ?
Indication

Tracez d’abord le côté GH, puis une demi-droite d’origine G.

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  1. Question 1. Tracer GH, construire en G un angle de 70∘70^\circ, puis placer I à 44 cm de G sur la demi-droite.
  2. Question 2. Le rapporteur fixe l’angle.
  3. Question 3. Le compas ou la règle graduée fixe GI.

Exercice 8 : Corriger un programme incomplet

Difficile

Programme proposé : « Tracer [JK][JK] de 88 cm. Tracer un cercle de centre J et rayon 55 cm. Choisir L sur ce cercle. » On souhaite JL=5JL=5 cm et KL=6KL=6 cm.

  1. Quelle condition est déjà garantie ?
  2. a. Quelle étape manque ? b. Donner le programme corrigé.
Indication

Le point L doit vérifier deux distances en même temps.

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  1. Question 1. Le cercle de centre J garantit JL=5JL=5 cm.
  2. Question 2. a. Il manque le cercle de centre K et de rayon 66 cm. b. Tracer JK, les deux cercles, puis choisir L à l’une de leurs intersections.

Propriétés, longueurs manquantes et constructions possibles

Cette dernière partie demande de justifier les propriétés utilisées avant de réaliser ou d’écarter une construction.

Exercice 9 : Retrouver un côté avec le périmètre

Facile

Un triangle a un périmètre de 23,523,5 cm. Deux côtés mesurent 8,28,2 cm et 6,76,7 cm.

  1. Écrire le calcul donnant le troisième côté.
  2. Calculer sa longueur.
  3. Vérifier que cette longueur permet de construire le triangle.
Indication

Le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.

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  1. Question 1. 23,5−8,2−6,723,5-8,2-6,7.
  2. Question 2. Le troisième côté mesure 8,68,6 cm.
  3. Question 3. 8,6<8,2+6,7=14,98,6<8,2+6,7=14,9, donc la construction est possible.

Exercice 10 : Déduire des longueurs dans un triangle particulier

Moyen

Le triangle MNPMNP est isocèle en MM, avec MN=5,4MN=5,4 cm et NP=7NP=7 cm.

  1. Quelle autre longueur connaît-on immédiatement ?
  2. Calculer le périmètre.
  3. Le triangle est-il équilatéral ?
Indication

Dans un triangle isocèle en MM, les côtés issus de MM sont égaux.

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  1. Question 1. MP=MN=5,4MP=MN=5,4 cm.
  2. Question 2. 5,4+5,4+7=17,85,4+5,4+7=17,8 cm.
  3. Question 3. Non, car NP=7NP=7 cm est différent de 5,45,4 cm.

Exercice 11 : Construire à partir de trois longueurs

Moyen

Construire un triangle RSTRST tel que RS=6RS=6 cm, RT=4,5RT=4,5 cm et ST=7ST=7 cm.

  1. Quel segment tracer en premier ?
  2. a. Quels cercles ou arcs tracer ensuite ? b. Pourquoi obtient-on deux positions possibles pour TT ?
Indication

Le point recherché doit être à deux distances fixées de RR et de SS.

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  1. Question 1. On peut commencer par [RS][RS] de 66 cm.
  2. Question 2. a. Tracer un arc de centre RR et de rayon 4,54,5 cm, puis un arc de centre SS et de rayon 77 cm. b. Les arcs ont deux intersections symétriques par rapport à (RS)(RS).

Exercice 12 : Refuser une construction impossible

Difficile

On demande un triangle dont les côtés mesurent 33 cm, 44 cm et 7,57,5 cm.

  1. Comparer le plus grand côté à la somme des deux autres.
  2. Conclure sur la construction.
  3. Quelle valeur maximale strictement inférieure pourrait remplacer 7,57,5 cm ?
Indication

Pour former un triangle non aplati, le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres.

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  1. Question 1. 7,5>3+4=77,5>3+4=7.
  2. Question 2. La construction est impossible.
  3. Question 3. Il faut choisir une longueur strictement inférieure à 77 cm.
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