Ces exercices corrigés sur le triangle rectangle et le cercle circonscrit en 4ème font relier hypoténuse, diamètre et milieu. Le cours sur les propriétés du cercle circonscrit distingue clairement propriété et réciproque.
Les calculs de longueurs peuvent compléter le théorème de Pythagore, mais plusieurs preuves n'exigent aucun calcul numérique.
Utiliser l’hypoténuse comme diamètre
Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse et pour centre son milieu.
Exercice 1 : Rayon du cercle circonscrit
ABC est rectangle en A et cm.
- Identifier l'hypoténuse.
- Donner le diamètre du cercle circonscrit.
- Calculer son rayon.
- Localiser le centre.
Indication
Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse et devient le diamètre.
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- L'hypoténuse est [BC].
- Le diamètre vaut cm.
- Le rayon vaut cm.
- Le centre est le milieu de [BC].
Exercice 2 : Médiane issue de l’angle droit
DEF est rectangle en D. M est le milieu de [EF] et cm.
- Calculer ME et MF.
- Calculer MD.
- Justifier l'égalité .
Indication
M est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle.
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- cm.
- cm.
- Le milieu de l'hypoténuse est équidistant des trois sommets d'un triangle rectangle ; il est le centre du cercle circonscrit.
Prouver qu’un triangle est rectangle
Si un triangle est inscrit dans un cercle avec un côté pour diamètre, alors l'angle opposé à ce diamètre est droit.
Exercice 3 : Point sur un cercle de diamètre
[AB] est un diamètre d'un cercle et C est un point du cercle distinct de A et B.
- Prouver que ABC est rectangle.
- Donner le sommet de l'angle droit.
- Expliquer pourquoi AB est l'hypoténuse.
Indication
Utilisez la réciproque de la propriété du cercle circonscrit au triangle rectangle.
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- Comme C appartient au cercle de diamètre [AB], le triangle ABC est rectangle en C.
- Le sommet de l'angle droit est C, opposé au diamètre.
- Dans ce triangle rectangle, le côté opposé à C est [AB], donc c'est l'hypoténuse.
Exercice 4 : Équidistance et milieu
Dans le triangle GHI, M est le milieu de [GI] et .
- Interpréter l'équidistance.
- Identifier un cercle contenant G, H, I.
- Prouver que GHI est rectangle.
- Donner le sommet de l'angle droit.
Indication
M est centre d'un cercle passant par les trois sommets, et [GI] en est un diamètre.
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- M est équidistant de G, H et I.
- Le cercle de centre M et de rayon MG passe par les trois points.
- Comme M est le milieu de [GI], [GI] est un diamètre ; H appartient au cercle de diamètre [GI], donc GHI est rectangle en H.
- L'angle droit est en H.
Exercice 5 : Une conclusion sans diamètre
A, B, C sont sur un même cercle. Un élève affirme que ABC est forcément rectangle.
- Dire si l'affirmation est vraie.
- Identifier l'information manquante.
- Construire verbalement un contre-exemple.
- Énoncer la propriété correcte.
Indication
Tout triangle possède un cercle circonscrit ; cela ne le rend pas rectangle.
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- L'affirmation est fausse.
- Il faut qu'un côté du triangle soit un diamètre du cercle.
- Trois points proches sur un même arc forment un triangle aigu sans diamètre parmi ses côtés.
- Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l'un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle au sommet opposé.
Construire et contrôler une figure
La construction d'un triangle rectangle de diagonale imposée se ramène au choix d'un point sur un cercle de diamètre donné.
Exercice 6 : Construire avec une hypoténuse donnée
Construire un triangle ABC rectangle en C avec cm et cm.
- Décrire la construction du cercle utile.
- Placer les positions possibles de C.
- Expliquer pourquoi l'angle ACB est droit.
- Dire combien de solutions symétriques existent.
Indication
Le point C doit appartenir à la fois au cercle de diamètre [AB] et au cercle de centre A et de rayon cm.
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- Tracer [AB] de cm puis le cercle de diamètre [AB].
- Tracer le cercle de centre A et de rayon cm ; ses intersections avec le premier cercle donnent C.
- C appartient au cercle de diamètre [AB], donc ABC est rectangle en C.
- Deux solutions symétriques par rapport à (AB) existent si les cercles se coupent en deux points.
Exercice 7 : Cercle d’un rectangle
ABCD est un rectangle de diagonale cm. O est l'intersection des diagonales.
- Calculer OA, OB, OC et OD.
- Prouver que les quatre sommets appartiennent à un même cercle.
- Donner le diamètre de ce cercle.
- Expliquer pourquoi les triangles ABC et ADC sont rectangles.
Indication
Les diagonales d'un rectangle sont égales et se coupent en leur milieu.
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- Chaque distance vaut cm.
- O est équidistant des quatre sommets, donc le cercle de centre O et rayon cm les contient.
- Les diagonales AC et BD sont des diamètres de cm.
- Dans le cercle, B et D voient le diamètre [AC], donc ABC et ADC sont rectangles en B et D.
Résoudre un problème composé
Le cercle fournit une structure géométrique, puis une autre propriété peut donner une mesure ou valider la construction.
Exercice 8 : Panneau semi-circulaire
Un panneau a la forme d'un demi-cercle de diamètre [AB] mesurant m. Un câble relie A à un point C de l'arc puis C à B. On sait m.
- Prouver que ACB est rectangle.
- Calculer le rayon du panneau.
- Calculer BC avec Pythagore.
- Calculer la longueur totale du câble.
- Contrôler que BC est inférieur au diamètre.
Indication
C est sur le cercle de diamètre [AB], puis utilisez .
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- C appartient au cercle de diamètre [AB], donc ACB est rectangle en C.
- Le rayon vaut m.
- , donc m.
- Le câble mesure m.
- , ce qui est cohérent pour un côté de l'angle droit.