Le théorème de Pythagore en 4ème relie les trois longueurs d'un triangle rectangle. Il sert à calculer un côté lorsque l'angle droit est connu. Sa réciproque répond à une autre question : trois longueurs données forment-elles un triangle rectangle ?
Ces usages ne se mélangent pas. Avant toute formule, il faut identifier les données et la conclusion recherchée. Le plus grand côté joue un rôle central : il est l'hypoténuse dans un triangle rectangle et le côté à tester dans la réciproque ou la contraposée.
Identifier l’hypoténuse avant d’écrire une égalité
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le plus long côté du triangle.
Erreur fréquente : le côté le plus long n'est appelé hypoténuse que lorsque le triangle est déjà connu rectangle. Dans un test réciproque, on dit d'abord « le plus grand côté ».
Théorème direct : calculer une longueur
Théorème de Pythagore
Si le triangle est rectangle en , alors .
L'égalité commence par le carré de l'hypoténuse . Elle traduit une égalité d'aires, ce qui explique les carrés.
Calculer l’hypoténuse
La longueur est positive, donc on retient la racine carrée positive. Le résultat 10 est supérieur à chacun des deux autres côtés, ce qui fournit un contrôle.
Calculer un côté de l’angle droit
On soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse. La racine carrée en 4ème transforme ensuite l'aire carrée en longueur.
Erreur fréquente : on ne calcule jamais directement ni . L'égalité porte sur les carrés des longueurs.
Réciproque : prouver qu’un triangle est rectangle
Réciproque du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle ; le plus grand côté est son hypoténuse.
Les deux résultats sont égaux. Par la réciproque, le triangle est rectangle en face du côté de longueur 25.
Contraposée : prouver qu’un triangle n’est pas rectangle
Contraposée de Pythagore
Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
Comme , le triangle n'est pas rectangle. Une valeur approchée ou un dessin ressemblant à un angle droit ne suffit pas.
Choisir entre théorème, réciproque et contraposée
| Ce que l'on sait | Ce que l'on cherche | Outil |
|---|---|---|
| triangle rectangle + deux longueurs | une troisième longueur | théorème direct |
| trois longueurs | triangle rectangle | réciproque |
| trois longueurs | triangle non rectangle | contraposée |
Une démonstration complète cite le triangle, l'angle droit connu ou le plus grand côté, les calculs séparés puis le théorème utilisé. Les constructions de triangles en 5ème restent utiles pour vérifier que les trois longueurs forment bien un triangle.
Astuce : dans un test, calculer d'un côté le carré du plus grand côté et de l'autre la somme des deux autres carrés. Ne pas écrire d'égalité avant d'avoir comparé.
Identifier l’hypoténuse avant toute égalité
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et le plus long côté du triangle. Dans un triangle ABC rectangle en B, l'hypoténuse est AC ; l'égalité correcte est . Le nom du triangle ne détermine jamais l'hypoténuse.
| Objectif | Statut du triangle rectangle |
|---|---|
| calculer une longueur | angle droit connu : théorème direct |
| prouver qu'il est rectangle | angle droit inconnu : réciproque |
| prouver qu'il ne l'est pas | comparaison inégale : contraposée |
Calculer une longueur manquante avec des unités
Un triangle rectangle a pour hypoténuse 13 cm et un côté de l'angle droit de 5 cm. Si est l'autre côté, alors . Comme une longueur est positive, cm.
Erreur fréquente : on soustrait les carrés, puis on prend la racine. L'écriture ne représente pas le théorème.
Reconnaître un triplet pythagoricien et contrôler
Les longueurs 3, 4 et 5 forment un triangle rectangle car . Tout multiple commun, comme 6, 8 et 10, conserve cette propriété. D'autres triplets usuels sont 5-12-13 et 8-15-17.
Les mémoriser peut accélérer un contrôle, mais la rédaction exige l'égalité des carrés. Si le carré du plus grand côté est supérieur à la somme des deux autres, le triangle n'est pas rectangle et l'angle opposé est obtus ; s'il est inférieur, cet angle est aigu.
Choisir la longueur possible d’une échelle
Une échelle doit atteindre une fenêtre située à 4,8 m du sol, son pied étant placé à 2 m du mur. Le mur et le sol sont perpendiculaires ; l'échelle est l'hypoténuse du triangle rectangle. Sa longueur minimale est :
Une échelle de 5 m est trop courte, même si le dessin semble l'autoriser. Une échelle plus longue pourrait convenir en éloignant davantage son pied, mais la configuration et les règles de sécurité changeraient. Le calcul répond exactement aux deux distances imposées.
On peut contrôler le calcul par le triplet 5-12-13 multiplié par 0,4 : il donne 2-4,8-5,2. Reconnaître cette proportion confirme immédiatement la valeur. Ce raccourci ne remplace pas la rédaction de Pythagore, mais offre une vérification indépendante de la racine carrée et des unités.
Théorème de Pythagore 4ème : l’essentiel à retenir
Le théorème de Pythagore en 4ème calcule une longueur dans un triangle rectangle. Sa réciproque prouve qu'un triangle est rectangle ; sa contraposée prouve qu'il ne l'est pas. Le choix dépend toujours de ce qui est connu avant le calcul.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 attend autant une rédaction logique qu'un résultat numérique correctement arrondi.