Cosinus 4ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur le cosinus en 4ème commencent par nommer l'hypoténuse et le côté adjacent à l'angle étudié. Le cours sur le cosinus dans le triangle rectangle explique le choix du rapport et le réglage en degrés.

Les longueurs manquantes peuvent parfois être contrôlées avec le théorème de Pythagore. Chaque arrondi est effectué seulement après le calcul complet.

Identifier le bon rapport

Le côté adjacent dépend de l'angle choisi, tandis que l'hypoténuse reste toujours opposée à l'angle droit.

Exercice 1 : Nommer les côtés

Facile

ABC est rectangle en C.

  1. Nommer l'hypoténuse.
  2. Pour l'angle A, nommer le côté adjacent et le côté opposé.
  3. Pour l'angle B, nommer le côté adjacent.
  4. Écrire cos⁡A\cos A et cos⁡B\cos B.
Indication

L'hypoténuse est [AB]. Le côté adjacent à un angle aigu touche cet angle sans être l'hypoténuse.

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  1. L'hypoténuse est [AB].
  2. Pour A, l'adjacent est [AC] et l'opposé [BC].
  3. Pour B, l'adjacent est [BC].
  4. cos⁡A=AC/AB\cos A=AC/AB et cos⁡B=BC/AB\cos B=BC/AB.

Exercice 2 : Rapport impossible

Moyen

Dans un triangle rectangle, un élève obtient cos⁡A=12/9\cos A=12/9.

  1. Expliquer pourquoi la valeur est impossible.
  2. Identifier l'erreur probable sur les côtés.
  3. Donner le rapport possible si 1212 est l'hypoténuse et 99 l'adjacent.
  4. Encadrer tout cosinus d'un angle aigu.
Indication

L'hypoténuse est le plus grand côté, donc le numérateur adjacent ne peut la dépasser.

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  1. 12/9>112/9\gt 1, impossible pour le cosinus d'un angle aigu.
  2. L'élève a probablement inversé adjacent et hypoténuse.
  3. Le rapport correct est 9/12=0,759/12=0{,}75.
  4. Pour un angle aigu, 0<cos⁡A<10\lt \cos A\lt 1.

Calculer une longueur

Selon la longueur cherchée, on multiplie l'hypoténuse par le cosinus ou on divise le côté adjacent par le cosinus.

Exercice 3 : Côté adjacent

Facile

DEF est rectangle en E, DF=10DF=10 cm et D^=37∘\widehat D=37^\circ.

  1. Écrire le rapport du cosinus.
  2. Calculer DE au dixième avec cos⁡37∘≈0,799\cos37^\circ\approx0{,}799.
  3. Vérifier que DE est inférieur à DF.
Indication

DF est l'hypoténuse et DE le côté adjacent à l'angle D.

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  1. cos⁡37∘=DE/DF\cos37^\circ=DE/DF.
  2. DE=10×0,799≈8,0DE=10\times0{,}799\approx8{,}0 cm.
  3. 8,0<108{,}0\lt 10, cohérent avec un côté de l'angle droit.

Exercice 4 : Hypoténuse à retrouver

Moyen

GHI est rectangle en H, GH=7,2GH=7{,}2 cm et G^=52∘\widehat G=52^\circ. On donne cos⁡52∘≈0,616\cos52^\circ\approx0{,}616.

  1. Identifier l'hypoténuse.
  2. Écrire l'égalité.
  3. Calculer GI au dixième.
  4. Expliquer pourquoi il faut diviser.
Indication

cos⁡G=GH/GI\cos G=GH/GI, donc l'inconnue est au dénominateur.

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  1. L'hypoténuse est [GI].
  2. 0,616≈7,2/GI0{,}616\approx7{,}2/GI.
  3. GI≈7,2/0,616≈11,7GI\approx7{,}2/0{,}616\approx11{,}7 cm.
  4. Le côté adjacent est une fraction de l'hypoténuse ; pour retrouver la quantité totale, on divise par cette fraction.

Exercice 5 : Deux méthodes de contrôle

Moyen

JKL est rectangle en K, JL=13JL=13 cm et J^≈22,62∘\widehat J\approx22{,}62^\circ. On sait aussi KL=5KL=5 cm.

  1. Calculer JK avec Pythagore.
  2. Calculer cos⁡J\cos J avec les longueurs.
  3. Comparer à cos⁡22,62∘≈0,9231\cos22{,}62^\circ\approx0{,}9231.
  4. Expliquer la concordance.
Indication

Avec l'hypoténuse 1313 et un côté 55, le troisième côté forme le triplet 5,12,135,12,13.

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  1. JK2=132−52=144JK^2=13^2-5^2=144, donc JK=12JK=12 cm.
  2. cos⁡J=JK/JL=12/13≈0,9231\cos J=JK/JL=12/13\approx0{,}9231.
  3. Cette valeur coïncide avec le cosinus donné.
  4. Les deux méthodes décrivent le même triangle rectangle, l'une par ses côtés, l'autre par son angle.

Calculer un angle

Pour retrouver l'angle à partir d'un rapport, on utilise la fonction inverse du cosinus avec la calculatrice réglée en degrés.

Exercice 6 : Angle à partir de deux côtés

Facile

MNP est rectangle en N, MN=6MN=6 cm et MP=10MP=10 cm.

  1. Écrire cos⁡M\cos M.
  2. Calculer le rapport.
  3. Donner M^\widehat M au degré près.
  4. Donner l'autre angle aigu.
Indication

cos⁡M=6/10=0,6\cos M=6/10=0{,}6, puis utilisez arccos⁡\arccos.

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  1. cos⁡M=MN/MP\cos M=MN/MP.
  2. cos⁡M=0,6\cos M=0{,}6.
  3. M^=arccos⁡(0,6)≈53∘\widehat M=\arccos(0{,}6)\approx53^\circ.
  4. L'autre angle aigu vaut environ 90−53=37∘90-53=37^\circ.

Exercice 7 : Choisir le bon angle

Moyen

RST est rectangle en S, RS=8RS=8 cm, ST=15ST=15 cm et RT=17RT=17 cm.

  1. Calculer cos⁡R\cos R.
  2. Calculer R^\widehat R au dixième.
  3. Calculer cos⁡T\cos T.
  4. Calculer T^\widehat T.
  5. Vérifier que les angles sont complémentaires.
Indication

Pour R, l'adjacent est RS ; pour T, l'adjacent est ST.

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  1. cos⁡R=8/17≈0,4706\cos R=8/17\approx0{,}4706.
  2. R^≈61,9∘\widehat R\approx61{,}9^\circ.
  3. cos⁡T=15/17≈0,8824\cos T=15/17\approx0{,}8824.
  4. T^≈28,1∘\widehat T\approx28{,}1^\circ.
  5. 61,9+28,1=90,0∘61{,}9+28{,}1=90{,}0^\circ.

Exercice 8 : Mode radians détecté

Moyen

Pour arccos⁡(0,5)\arccos(0{,}5), une calculatrice affiche 1,0471{,}047 alors que l'élève attend un angle usuel.

  1. Identifier le mode probable.
  2. Donner l'angle en degrés.
  3. Convertir 1,0471{,}047 radian approximativement en degrés.
  4. Proposer un test rapide du réglage.
Indication

cos⁡60∘=0,5\cos60^\circ=0{,}5 et 60∘=π/3≈1,04760^\circ=\pi/3\approx1{,}047 radian.

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  1. La calculatrice est probablement en radians.
  2. L'angle vaut 60∘60^\circ.
  3. 1,047×180/π≈60∘1{,}047\times180/\pi\approx60^\circ.
  4. Calculer cos⁡60\cos60 : en mode degrés on obtient 0,50{,}5, ce qui valide le réglage.

Résoudre des problèmes avec le cosinus

Le dessin doit faire apparaître un triangle rectangle et l'angle donné avant de choisir le rapport.

Exercice 9 : Rampe d’accès

Moyen

Une rampe de 5,25{,}2 m forme un angle de 12∘12^\circ avec le sol.

  1. Identifier l'hypoténuse.
  2. Calculer la longueur horizontale avec cos⁡12∘≈0,9781\cos12^\circ\approx0{,}9781.
  3. Donner un arrondi au centimètre.
  4. Expliquer pourquoi le cosinus ne donne pas directement la hauteur.
Indication

La longueur horizontale est adjacente à l'angle entre la rampe et le sol.

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  1. La rampe est l'hypoténuse.
  2. La projection horizontale vaut 5,2×0,9781≈5,0865{,}2\times0{,}9781\approx5{,}086 m.
  3. Elle mesure environ 5,095{,}09 m.
  4. La hauteur est le côté opposé à l'angle de 12∘12^\circ, alors que le cosinus utilise l'adjacent.

Exercice 10 : Angle d’une échelle

Moyen

Une échelle de 4,54{,}5 m est posée contre un mur. Son pied est à 1,81{,}8 m du mur.

  1. Écrire le cosinus de l'angle entre l'échelle et le sol.
  2. Calculer cet angle au degré près.
  3. Calculer la hauteur atteinte avec Pythagore.
  4. Contrôler les longueurs.
Indication

Le sol est adjacent à l'angle et l'échelle est l'hypoténuse.

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  1. cos⁡θ=1,8/4,5=0,4\cos\theta=1{,}8/4{,}5=0{,}4.
  2. θ=arccos⁡(0,4)≈66∘\theta=\arccos(0{,}4)\approx66^\circ.
  3. h2=4,52−1,82=17,01h^2=4{,}5^2-1{,}8^2=17{,}01, donc h≈4,12h\approx4{,}12 m.
  4. Les deux côtés 1,81{,}8 et 4,124{,}12 sont inférieurs à l'hypoténuse 4,54{,}5.

Exercice 11 : Largeur d’une rivière par visée

Difficile

Depuis un point A, on vise un arbre C sur l'autre rive. Le segment AB de 3535 m est tracé le long de la rive et l'angle BAC^\widehat{BAC} vaut 38∘38^\circ. Le triangle ABC est rectangle en B.

  1. Identifier le côté adjacent et l'hypoténuse pour l'angle A.
  2. Calculer AC avec cos⁡38∘≈0,7880\cos38^\circ\approx0{,}7880.
  3. Calculer la largeur BC avec Pythagore.
  4. Donner les résultats au dixième.
  5. Expliquer ce que représente BC.
Indication

cos⁡A=AB/AC\cos A=AB/AC, puis utilisez BC2=AC2−AB2BC^2=AC^2-AB^2.

Voir le corrigé
  1. AB est adjacent et AC l'hypoténuse.
  2. AC≈35/0,7880≈44,4AC\approx35/0{,}7880\approx44{,}4 m.
  3. BC≈44,42−352≈27,3BC\approx\sqrt{44{,}4^2-35^2}\approx27{,}3 m.
  4. Les valeurs au dixième sont 44,444{,}4 m et 27,327{,}3 m.
  5. BC est la distance perpendiculaire entre les deux rives dans ce modèle.
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