Théorème de Thalès 4ème : 14 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur le théorème de Thalès en 4ème commencent par reconnaître les deux triangles et écrire les côtés correspondants dans le même ordre. Le cours sur les configurations et les rapports de Thalès fournit une méthode de rédaction.

Les premiers cas prolongent les théorèmes des milieux, puis les coefficients ne sont plus limités à 1/21/2. Les figures décrites suffisent pour contrôler chaque hypothèse.

Reconnaître la configuration et les correspondances

Avant tout calcul, on vérifie alignements et parallélisme, puis on associe les sommets des deux triangles.

Exercice 1 : Hypothèses à cocher

Facile

Dans le triangle ABC, M appartient à [AB], N appartient à [AC] et (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC).

  1. Nommer les deux triangles comparés.
  2. Écrire les trois rapports de Thalès.
  3. Associer MN au côté correspondant.
  4. Expliquer pourquoi l'ordre A, M, B et A, N, C est utile.
Indication

Les triangles ont le sommet A en commun ; M correspond à B et N à C.

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  1. Les triangles sont AMN et ABC.
  2. AMAB=ANAC=MNBC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.
  3. MN correspond à BC.
  4. L'ordre conserve les mêmes directions issues de A et évite de mélanger numérateur petit triangle et dénominateur grand triangle.

Exercice 2 : Configuration non valable

Moyen

Dans ABC, M est sur [AB] et N sur [AC], mais aucune information n'est donnée sur (MN) et (BC). Un élève écrit les rapports de Thalès.

  1. Dire si l'application est justifiée.
  2. Identifier l'hypothèse manquante.
  3. Proposer une donnée suffisante.
  4. Expliquer pourquoi une figure qui semble parallèle ne suffit pas.
Indication

Le théorème exige un parallélisme démontré ou codé.

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  1. Non, l'application n'est pas justifiée.
  2. Il manque (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC).
  3. On peut donner explicitement le parallélisme ou le démontrer auparavant.
  4. Un dessin n'est qu'une représentation et peut être volontairement non à l'échelle.

Exercice 3 : Configuration papillon

Moyen

Les droites (AC) et (BD) se coupent en O. A, O, C sont alignés ; B, O, D sont alignés ; (AB)∥(CD)(AB)\parallel(CD).

  1. Nommer les triangles comparés.
  2. Associer A à C et B à D.
  3. Écrire les rapports.
  4. Indiquer le côté correspondant à AB.
Indication

Le sommet commun est O ; les branches opposées forment les côtés correspondants.

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  1. Les triangles sont OAB et OCD.
  2. A correspond à C, B à D.
  3. OAOC=OBOD=ABCD\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}.
  4. AB correspond à CD.

Calculer une longueur dans un triangle

Une égalité de deux rapports contenant une seule inconnue suffit ; le troisième rapport sert de contrôle ou à un second calcul.

Exercice 4 : Réduction dans un triangle

Facile

Dans ABC, M∈[AB]M\in[AB], N∈[AC]N\in[AC], (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC). On sait AM=3AM=3 cm, AB=7,5AB=7{,}5 cm et AC=10AC=10 cm.

  1. Calculer le coefficient de réduction.
  2. Calculer AN.
  3. Donner NCNC.
Indication

AM/AB=AN/ACAM/AB=AN/AC.

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  1. Le coefficient vaut 3/7,5=0,43/7{,}5=0{,}4.
  2. AN=0,4×10=4AN=0{,}4\times10=4 cm.
  3. NC=AC−AN=10−4=6NC=AC-AN=10-4=6 cm.

Exercice 5 : Longueur parallèle

Facile

Dans la même configuration, AM=4AM=4 cm, AB=10AB=10 cm et BC=15BC=15 cm.

  1. Écrire le rapport utile.
  2. Calculer MN.
  3. Vérifier que MN est plus petit que BC.
Indication

Utilisez MNBC=AMAB\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}.

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  1. MN15=410\frac{MN}{15}=\frac4{10}.
  2. MN=15×0,4=6MN=15\times0{,}4=6 cm.
  3. 6<156\lt 15, cohérent avec un triangle AMN intérieur et un coefficient 0,40{,}4.

Exercice 6 : Calcul avec décimales

Moyen

Dans RST, U∈[RS]U\in[RS], V∈[RT]V\in[RT], (UV)∥(ST)(UV)\parallel(ST). RU=5,4RU=5{,}4 cm, RS=8,1RS=8{,}1 cm, RV=6,2RV=6{,}2 cm et ST=12ST=12 cm.

  1. Calculer le coefficient exact.
  2. Calculer RT.
  3. Calculer UV.
  4. Donner les résultats au dixième si nécessaire.
  5. Contrôler les rapports.
Indication

5,4/8,1=2/35{,}4/8{,}1=2/3.

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  1. Le coefficient vaut 2/32/3.
  2. RV/RT=2/3RV/RT=2/3, donc RT=6,2×3/2=9,3RT=6{,}2\times3/2=9{,}3 cm.
  3. UV=12×2/3=8UV=12\times2/3=8 cm.
  4. Les résultats sont déjà au dixième ou exacts.
  5. 5,4/8,1=6,2/9,3=8/12=2/35{,}4/8{,}1=6{,}2/9{,}3=8/12=2/3.

Exercice 7 : Choisir deux rapports seulement

Moyen

On sait AM=5AM=5, AB=8AB=8, AN=7AN=7, AC=xAC=x, MN=yMN=y, BC=12BC=12, avec la configuration de Thalès.

  1. Choisir les rapports pour calculer xx.
  2. Calculer xx.
  3. Choisir les rapports pour calculer yy.
  4. Calculer yy.
Indication

Pour chaque inconnue, utilisez le rapport AM/AB=5/8AM/AB=5/8 comme référence.

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  1. 58=7x\frac58=\frac7x.
  2. 5x=565x=56, donc x=11,2x=11{,}2.
  3. 58=y12\frac58=\frac{y}{12}.
  4. 8y=608y=60, donc y=7,5y=7{,}5.

Calculer dans une configuration papillon et utiliser la réciproque

Les longueurs peuvent se trouver de part et d'autre du sommet commun ; la correspondance reste déterminée par les alignements.

Exercice 8 : Papillon numérique

Moyen

Dans la configuration papillon OAB et OCD avec AB∥CDAB\parallel CD, OA=3OA=3 cm, OC=7,5OC=7{,}5 cm, OB=4,2OB=4{,}2 cm et CD=10CD=10 cm.

  1. Calculer le rapport petit sur grand.
  2. Calculer OD.
  3. Calculer AB.
  4. Vérifier les deux résultats.
Indication

OAOC=OBOD=ABCD\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}.

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  1. OA/OC=3/7,5=0,4OA/OC=3/7{,}5=0{,}4.
  2. OB/OD=0,4OB/OD=0{,}4, donc OD=4,2/0,4=10,5OD=4{,}2/0{,}4=10{,}5 cm.
  3. AB=0,4×10=4AB=0{,}4\times10=4 cm.
  4. 4,2/10,5=4/10=0,44{,}2/10{,}5=4/10=0{,}4.

Exercice 9 : Prouver un parallélisme

Moyen

Dans ABC, M appartient à [AB] et N à [AC]. AM=4AM=4, AB=10AB=10, AN=5,2AN=5{,}2, AC=13AC=13.

  1. Calculer AM/ABAM/AB.
  2. Calculer AN/ACAN/AC.
  3. Vérifier l'ordre des points.
  4. Conclure avec la réciproque.
Indication

Les points doivent être alignés dans le même ordre depuis A, et les deux rapports doivent être égaux.

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  1. AM/AB=4/10=0,4AM/AB=4/10=0{,}4.
  2. AN/AC=5,2/13=0,4AN/AC=5{,}2/13=0{,}4.
  3. M et B sont sur la même demi-droite issue de A, comme N et C.
  4. D'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC).

Exercice 10 : Rapports proches mais différents

Difficile

Dans DEF, G est sur [DE] et H sur [DF]. DG=6DG=6, DE=15DE=15, DH=8,1DH=8{,}1, DF=20DF=20.

  1. Calculer les deux rapports.
  2. Dire si la réciproque s'applique.
  3. Conclure sur le parallélisme.
  4. Calculer la valeur de DH qui aurait convenu.
  5. Expliquer pourquoi un dessin ne tranche pas.
Indication

Comparez exactement 6/156/15 et 8,1/208{,}1/20.

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  1. DG/DE=0,4DG/DE=0{,}4, tandis que DH/DF=0,405DH/DF=0{,}405.
  2. Les rapports ne sont pas égaux, donc la réciproque ne s'applique pas.
  3. On ne peut pas conclure que (GH)∥(EF)(GH)\parallel(EF) ; avec ces alignements, ils ne le sont pas.
  4. Il aurait fallu DH=20×0,4=8DH=20\times0{,}4=8.
  5. Une différence de 0,10{,}1 peut être invisible sur un dessin non à l'échelle.

Résoudre des problèmes de mesure indirecte

Le parallélisme transforme une mesure difficile en rapport de longueurs accessibles, mais les unités doivent être harmonisées.

Exercice 11 : Hauteur d’un arbre par son ombre

Moyen

Au même instant, un bâton vertical de 1,51{,}5 m projette une ombre de 22 m. Un arbre projette une ombre de 1212 m.

  1. Justifier la configuration de triangles semblables.
  2. Écrire le rapport des hauteurs et des ombres.
  3. Calculer la hauteur de l'arbre.
  4. Donner l'hypothèse physique utilisée.
Indication

Les rayons du Soleil sont considérés parallèles et le sol horizontal.

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  1. Les objets sont verticaux et les rayons solaires parallèles, donc les deux triangles ont des côtés correspondants parallèles.
  2. 1,52=h12\frac{1{,}5}{2}=\frac{h}{12}.
  3. h=12×1,5/2=9h=12\times1{,}5/2=9 m.
  4. On suppose que les mesures sont simultanées et que le terrain ne change pas de pente.

Exercice 12 : Largeur d’une rivière

Difficile

Sur une rive droite, A, B, C sont alignés avec AB=18AB=18 m et BC=12BC=12 m. On place D hors de la rive et E de sorte que B, D, E soient alignés et (AD)∥(CE)(AD)\parallel(CE). On mesure BD=15BD=15 m.

  1. Identifier les triangles comparés.
  2. Écrire un rapport cohérent.
  3. Calculer BE.
  4. En déduire DE.
  5. Expliquer pourquoi le schéma d'alignement est indispensable.
Indication

Dans une configuration papillon centrée en B, AB correspond à BC et BD à BE.

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  1. Les triangles BAD et BCE sont comparés.
  2. BABC=BDBE\frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BE}.
  3. 1812=15BE\frac{18}{12}=\frac{15}{BE}, donc 18BE=18018BE=180 et BE=10BE=10 m.
  4. Si D et E sont de part et d'autre de B, DE=DB+BE=25DE=DB+BE=25 m.
  5. Sans l'ordre et la position des points, on ne saurait pas s'il faut additionner ou soustraire les segments.

Exercice 13 : Pente d’un toit

Difficile

Dans une coupe triangulaire ABC, une barre [MN] parallèle à la base [BC] relie les côtés [AB] et [AC]. AB=7,2AB=7{,}2 m, AM=4,5AM=4{,}5 m, AC=6,4AC=6{,}4 m et BC=9,6BC=9{,}6 m.

  1. Calculer le coefficient de réduction.
  2. Calculer AN.
  3. Calculer MN.
  4. Calculer les longueurs MB et NC.
  5. Contrôler les trois rapports.
Indication

Le coefficient vaut AM/ABAM/AB, puis s'applique aux côtés correspondants.

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  1. k=4,5/7,2=0,625k=4{,}5/7{,}2=0{,}625.
  2. AN=6,4×0,625=4AN=6{,}4\times0{,}625=4 m.
  3. MN=9,6×0,625=6MN=9{,}6\times0{,}625=6 m.
  4. MB=7,2−4,5=2,7MB=7{,}2-4{,}5=2{,}7 m et NC=6,4−4=2,4NC=6{,}4-4=2{,}4 m.
  5. 4,5/7,2=4/6,4=6/9,6=0,6254{,}5/7{,}2=4/6{,}4=6/9{,}6=0{,}625.

Exercice 14 : Données contradictoires

Difficile

Dans ABC, M∈[AB]M\in[AB], N∈[AC]N\in[AC], (MN)∥(BC)(MN)\parallel(BC). On annonce AM=6AM=6, AB=9AB=9, AN=8AN=8, AC=12AC=12, MN=11MN=11, BC=15BC=15.

  1. Calculer les trois rapports.
  2. Identifier la donnée contradictoire.
  3. Calculer la valeur correcte correspondante.
  4. Expliquer comment l'audit protège un calcul ultérieur.
Indication

Les deux premiers rapports valent 2/32/3. Comparez le troisième.

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  1. AM/AB=6/9=2/3AM/AB=6/9=2/3, AN/AC=8/12=2/3AN/AC=8/12=2/3, mais MN/BC=11/15≠2/3MN/BC=11/15\neq2/3.
  2. MN ou BC est incohérent avec les autres données et le parallélisme.
  3. Si BC=15BC=15 est conservé, MN=15×2/3=10MN=15\times2/3=10.
  4. Vérifier les rapports avant de poursuivre évite de produire une réponse numériquement soignée à partir d'un énoncé impossible.
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