Repérage dans l’espace 4ème : 8 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de repérage dans l'espace en 4ème apprennent à lire un triplet dans l'ordre imposé par les trois axes. Le cours sur les coordonnées et les représentations distingue l'objet réel de sa perspective.

Les premiers réflexes prolongent le repérage dans le plan, mais une troisième coordonnée doit désormais être suivie sans permuter les axes.

Lire un triplet de coordonnées

Un point de l'espace est repéré par trois nombres ordonnés, chacun mesuré sur l'axe convenu.

Exercice 1 : Coordonnées et plans

Facile

On donne A(2;3;4)A(2;3;4), B(0;−1;5)B(0;-1;5), C(6;0;0)C(6;0;0) et D(−2;4;0)D(-2;4;0).

  1. Donner les trois coordonnées de A.
  2. Identifier les points dont la troisième coordonnée est nulle.
  3. Identifier le point situé sur le premier axe.
  4. Décrire ce que signifie la première coordonnée nulle de B.
Indication

Une coordonnée nulle place le point dans un plan coordonné ; deux coordonnées nulles le placent sur un axe.

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  1. A a pour coordonnées 22, 33, 44.
  2. C et D ont une troisième coordonnée nulle.
  3. C est sur le premier axe, car ses deuxième et troisième coordonnées sont nulles.
  4. B appartient au plan engendré par les deuxième et troisième axes.

Exercice 2 : Triplet permuté

Moyen

Un point P doit être placé en (1;4;2)(1;4;2), mais un élève utilise (4;1;2)(4;1;2).

  1. Dire quelles coordonnées ont été permutées.
  2. Comparer les déplacements depuis l'origine.
  3. Expliquer pourquoi les deux points peuvent paraître proches en perspective.
  4. Donner une procédure de lecture fiable.
Indication

Les deux premières composantes sont échangées, même si la troisième reste correcte.

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  1. Les première et deuxième coordonnées sont permutées.
  2. P suit 11, puis 44, puis 22 unités ; le point erroné suit 44, puis 11, puis 22.
  3. La perspective déforme les directions et les longueurs, donc l'apparence seule peut tromper.
  4. Nommer les axes, suivre leur ordre et cocher chaque déplacement avant de placer le point.

Repérer les sommets d’un pavé droit

Dans un pavé aligné sur les axes, chaque sommet combine une valeur minimale ou maximale sur chacun des trois axes.

Exercice 3 : Les huit sommets

Moyen

Un pavé a pour sommets opposés O(0;0;0)O(0;0;0) et G(5;3;2)G(5;3;2), ses arêtes étant parallèles aux axes.

  1. Lister les huit triplets possibles.
  2. Identifier les trois sommets voisins de O.
  3. Donner les longueurs des trois arêtes issues de O.
  4. Vérifier qu'il y a bien huit combinaisons.
Indication

Chaque coordonnée vaut soit 00, soit sa valeur maximale 55, 33 ou 22.

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  1. Les sommets sont (0;0;0)(0;0;0), (5;0;0)(5;0;0), (0;3;0)(0;3;0), (0;0;2)(0;0;2), (5;3;0)(5;3;0), (5;0;2)(5;0;2), (0;3;2)(0;3;2), (5;3;2)(5;3;2).
  2. Les voisins de O sont (5;0;0)(5;0;0), (0;3;0)(0;3;0), (0;0;2)(0;0;2).
  3. Les arêtes mesurent 55, 33 et 22.
  4. Deux choix sur chacun de trois axes donnent 23=82^3=8 combinaisons.

Exercice 4 : Milieu d’une arête

Facile

Dans le pavé précédent, A vaut (5;0;0)(5;0;0) et E vaut (5;0;2)(5;0;2). M est le milieu de [AE].

  1. Déterminer M.
  2. Identifier la coordonnée qui varie sur l'arête.
  3. Donner le milieu de O et G.
  4. Vérifier les déplacements de part et d'autre.
Indication

Le milieu prend la moyenne de chaque paire de coordonnées.

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  1. M(5;0;1)M(5;0;1).
  2. Seule la troisième coordonnée varie.
  3. Le milieu de O et G vaut (2,5;1,5;1)(2{,}5;1{,}5;1).
  4. De A à M puis de M à E, le déplacement est (0;0;+1)(0;0;+1).

Déplacer et construire dans l’espace

Une variation de triplet décrit un déplacement parallèle aux axes, indépendamment de la déformation visuelle de la perspective.

Exercice 5 : Déplacement spatial

Facile

À partir de A(−1;2;3)A(-1;2;3), on effectue le déplacement (+4;−2;+5)(+4;-2;+5).

  1. Donner le point image.
  2. Décrire les trois mouvements.
  3. Donner le déplacement inverse.
Indication

Additionnez les composantes une à une.

Voir le corrigé
  1. L'image est A′(3;0;8)A'(3;0;8).
  2. On avance de 44 sur le premier axe, recule de 22 sur le deuxième et avance de 55 sur le troisième.
  3. L'inverse vaut (−4;+2;−5)(-4;+2;-5).

Exercice 6 : Point manquant d’une face

Moyen

Trois sommets d'une face rectangulaire sont A(1;2;0)A(1;2;0), B(6;2;0)B(6;2;0), C(6;5;0)C(6;5;0). On cherche D dans l'ordre ABCD.

  1. Déterminer D.
  2. Expliquer pourquoi les quatre points sont dans le même plan coordonné.
  3. Calculer les dimensions de la face.
  4. Calculer son aire.
Indication

D partage la première coordonnée de A et la deuxième de C ; la troisième reste nulle.

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  1. D(1;5;0)D(1;5;0).
  2. Les quatre troisièmes coordonnées valent 00.
  3. Les côtés mesurent 6−1=56-1=5 et 5−2=35-2=3.
  4. L'aire vaut 5×3=155\times3=15 unités carrées.

Interpréter une situation réelle

Le repère doit annoncer son origine, ses directions et l'unité portée par chaque axe.

Exercice 7 : Stockage dans un entrepôt

Moyen

Dans un entrepôt, un emplacement (x;y;z)(x;y;z) indique l'allée, la colonne et le niveau. Un colis est en (4;7;2)(4;7;2).

  1. Interpréter les trois coordonnées.
  2. Donner le triplet après un déplacement d'une allée en arrière, deux colonnes à droite et trois niveaux plus haut.
  3. Dire quelle contrainte peut limiter la dernière coordonnée.
  4. Expliquer pourquoi l'ordre du triplet doit être affiché.
Indication

Appliquez les variations (−1;+2;+3)(-1;+2;+3) en gardant le sens défini par l'entrepôt.

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  1. Le colis est dans l'allée 44, la colonne 77, au niveau 22.
  2. Il arrive en (3;9;5)(3;9;5).
  3. Le nombre de niveaux disponibles ou la hauteur du bâtiment limite zz.
  4. Sans convention, (4;7;2)(4;7;2) pourrait être interprété dans un autre ordre et désigner un emplacement différent.

Exercice 8 : Drone et zone autorisée

Difficile

Un drone part de S(2;1;3)S(2;1;3). Il se déplace de (+5;+4;+2)(+5;+4;+2), puis (−3;+1;−4)(-3;+1;-4). La zone autorisée vérifie 0≤x≤80\leq x\leq8, 0≤y≤80\leq y\leq8, 0≤z≤60\leq z\leq6.

  1. Donner la position après chaque déplacement.
  2. Vérifier l'appartenance à la zone à chaque étape.
  3. Calculer le déplacement global.
  4. Trouver la translation inverse du trajet global.
  5. Proposer une correction minimale si une étape sortait de la zone.
Indication

Contrôlez séparément les trois inégalités après chaque addition.

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  1. La première position est (7;5;5)(7;5;5), la seconde (4;6;1)(4;6;1).
  2. Les deux positions respectent toutes les bornes.
  3. Le déplacement global vaut (+2;+5;−2)(+2;+5;-2).
  4. Son inverse vaut (−2;−5;+2)(-2;-5;+2).
  5. Aucune correction n'est nécessaire ici ; si une coordonnée dépassait une borne, on pourrait réduire uniquement la composante responsable.
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