Théorème de convergence dominée en intégration de Lebesgue

Le théorème de convergence dominée représente l'un des piliers fondamentaux de l'analyse moderne et de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Ce résultat puissant permet de résoudre un problème crucial en mathématiques : quand peut-on échanger l'ordre d'une limite et d'une intégrale ? Dans ce cours, nous explorerons en profondeur ce théorème essentiel, ses applications pratiques et les techniques pour le maîtriser.

Pourquoi le théorème de convergence dominée est-il fondamental ?

Imaginez que vous étudiez une suite de fonctions qui converge vers une fonction limite. Vous souhaitez calculer l'intégrale de cette limite. La question naturelle est : peut-on calculer la limite des intégrales au lieu de l'intégrale de la limite ? Sans conditions appropriées, ces deux opérations ne donnent pas toujours le même résultat. C'est précisément ce problème que le théorème de convergence dominée résout de manière élégante.

Ce théorème trouve des applications dans de nombreux domaines : probabilités, équations aux dérivées partielles, analyse fonctionnelle, physique mathématique et traitement du signal. Sa compréhension est indispensable pour tout étudiant en mathématiques avancées.

Table des Matières

Définition et énoncé du théorème de convergence dominée

Théorème de convergence dominée de Lebesgue

Soit $(E, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré. Considérons une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ mesurables définies sur $E$ , à valeurs réelles ou complexes. Si les conditions suivantes sont satisfaites :

Convergence simple : La suite $(f_n)$ converge simplement (ou presque partout) vers une fonction $f$ , c'est-à-dire : $\forall x \in E, \quad \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$
Hypothèse de domination : Il existe une fonction intégrable $g : E \to \mathbb{R}_+$ telle que : $\forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in E, \quad |f_n(x)| \leq g(x)$ avec $\displaystyle \int_E g \, \mathrm{d}\mu < \infty$

Alors la fonction limite $f$ est intégrable, et on a :

\lim_{n \to \infty} \int_E f_n \, \mathrm{d}\mu = \int_E \lim_{n \to \infty} f_n \, \mathrm{d}\mu = \int_E f \, \mathrm{d}\mu

De plus, on a également la convergence dans $L^1$ :

\lim_{n \to \infty} \int_E |f_n - f| \, \mathrm{d}\mu = 0

Interprétation intuitive des hypothèses

La première hypothèse de convergence simple signifie que pour chaque point $x$ de l'espace, la suite numérique $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$ . Cette condition assure l'existence d'une fonction limite ponctuelle.

La seconde hypothèse, dite hypothèse de domination, est cruciale. Elle impose que toutes les fonctions de la suite soient uniformément bornées en module par une même fonction intégrable $g$ . Cette condition empêche les fonctions $f_n$ de concentrer leur masse à l'infini ou de développer des pics de plus en plus hauts. C'est cette hypothèse qui garantit la validité de l'échange limite-intégrale.

Contexte historique et lien avec l’intégration de Lebesgue

Le théorème de convergence dominée a été établi par le mathématicien français Henri Lebesgue dans le cadre de sa théorie révolutionnaire de l'intégration au début du XXe siècle. Cette théorie a profondément transformé l'analyse mathématique en permettant d'intégrer une classe de fonctions beaucoup plus large que celle accessible par l'intégrale de Riemann.

Dans le cadre de l'intégration de Lebesgue, le théorème de convergence dominée s'inscrit dans une hiérarchie de trois résultats fondamentaux :

Le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo-Levi)
Le lemme de Fatou
Le théorème de convergence dominée

Ces trois théorèmes répondent à la question centrale : dans quelles conditions peut-on échanger limite et intégrale ? Chacun offre des garanties différentes selon les hypothèses disponibles.

Lien avec le théorème de convergence monotone

Le théorème de convergence monotone constitue un résultat préalable au théorème de convergence dominée. Il s'applique à des suites de fonctions mesurables positives et croissantes.

Théorème de convergence monotone (Beppo-Levi)

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables de $E$ dans $[0, +\infty]$ . Si la suite est croissante, c'est-à-dire :

\forall x \in E, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad f_n(x) \leq f_{n+1}(x)

Alors la fonction limite $f = \lim_{n \to \infty} f_n$ est mesurable et on a :

\lim_{n \to \infty} \int_E f_n \, \mathrm{d}\mu = \int_E \left( \lim_{n \to \infty} f_n \right) \mathrm{d}\mu

Ce théorème ne nécessite pas d'hypothèse de domination, mais impose la croissance de la suite et la positivité des fonctions. Il sert notamment à démontrer le lemme de Fatou.

Le lemme de Fatou : un résultat intermédiaire essentiel

Le lemme de Fatou, établi par le mathématicien français Pierre Fatou, constitue un pont entre le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée.

Lemme de Fatou

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables de $E$ dans $[0, +\infty]$ . Alors :

\int_E \liminf_{n \to \infty} f_n \, \mathrm{d}\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_E f_n \, \mathrm{d}\mu

Ce lemme affirme que l'intégrale de la limite inférieure est au plus égale à la limite inférieure des intégrales. Il s'agit d'une inégalité qui peut être stricte, contrairement au théorème de convergence dominée qui garantit une égalité.

Le lemme de Fatou est utilisé dans la démonstration du théorème de convergence dominée et trouve des applications dans l'étude des espaces $L^p$ et en théorie des probabilités.

Démonstration du théorème de convergence dominée

Nous présentons ici une démonstration classique utilisant le lemme de Fatou. Cette approche met en lumière la structure logique qui relie les trois grands théorèmes de convergence.

Démonstration

Étape 1 : Intégrabilité de la fonction limite

Puisque $f_n \to f$ simplement et que $|f_n| \leq g$ pour tout $n$ , par passage à la limite on obtient :

|f(x)| = \lim_{n \to \infty} |f_n(x)| \leq g(x)

Comme $g$ est intégrable, $f$ l'est également.

Étape 2 : Application du lemme de Fatou

Considérons les fonctions positives $\varphi_n = 2g - |f_n - f|$ . Ces fonctions vérifient :

0 \leq \varphi_n \leq 2g

et convergent simplement vers $2g$ . Par le lemme de Fatou appliqué à la suite $(\varphi_n)$ :

\int_E 2g \, \mathrm{d}\mu = \int_E \liminf_{n \to \infty} \varphi_n \, \mathrm{d}\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_E \varphi_n \, \mathrm{d}\mu

Étape 3 : Développement et simplification

En développant :

\begin{align*} \int_E 2g \, \mathrm{d}\mu &\leq \liminf_{n \to \infty} \int_E (2g - |f_n - f|) \, \mathrm{d}\mu \\ &= \int_E 2g \, \mathrm{d}\mu + \liminf_{n \to \infty} \left( -\int_E |f_n - f| \, \mathrm{d}\mu \right) \\ &= \int_E 2g \, \mathrm{d}\mu - \limsup_{n \to \infty} \int_E |f_n - f| \, \mathrm{d}\mu \end{align*}

On en déduit :

\limsup_{n \to \infty} \int_E |f_n - f| \, \mathrm{d}\mu \leq 0

Comme l'intégrale de $|f_n - f|$ est toujours positive, on obtient :

\lim_{n \to \infty} \int_E |f_n - f| \, \mathrm{d}\mu = 0

Étape 4 : Conclusion

L'inégalité triangulaire donne :

\left| \int_E f_n \, \mathrm{d}\mu - \int_E f \, \mathrm{d}\mu \right| = \left| \int_E (f_n - f) \, \mathrm{d}\mu \right| \leq \int_E |f_n - f| \, \mathrm{d}\mu \to 0

D'où le résultat annoncé.

Exemples d’application du théorème de convergence dominée

Exemple 1 : Calcul de limite d’intégrale classique

Calculons la limite suivante :

\lim_{n \to \infty} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x/n}}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x

Solution :

Posons $f_n(x) = \dfrac{e^{-x/n}}{1 + x^2}$ pour $x \in [0, +\infty[$ .

Vérification des hypothèses :

Convergence simple : Pour tout $x \geq 0$ , on a $e^{-x/n} \to 1$ quand $n \to \infty$ . Donc : $f_n(x) \to f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$
Domination : Pour tout $n \geq 1$ et $x \geq 0$ , on a $e^{-x/n} \leq 1$ , donc : $|f_n(x)| \leq \frac{1}{1 + x^2} = g(x)$ La fonction $g(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ car : $\int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x = \left[ \arctan(x) \right]_0^{+\infty} = \frac{\pi}{2} < \infty$

Conclusion : Par le théorème de convergence dominée :

\lim_{n \to \infty} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x/n}}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}

Exemple 2 : Suite de fonctions sur un intervalle borné

Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Calculons :

\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(t^n) \, \mathrm{d}t

Solution :

Posons $f_n(t) = f(t^n)$ pour $t \in [0,1]$ .

Convergence simple : Pour $t \in [0,1[$ , on a $t^n \to 0$ , donc $f_n(t) = f(t^n) \to f(0)$ par continuité de $f$ . Pour $t = 1$ , $f_n(1) = f(1)$ .
Domination : Puisque $f$ est continue sur le compact $[0,1]$ , elle est bornée. Il existe $M \geq 0$ tel que $|f(x)| \leq M$ pour tout $x \in [0,1]$ . Ainsi : $|f_n(t)| = |f(t^n)| \leq M$ La fonction constante $g(t) = M$ est intégrable sur $[0,1]$ .

Conclusion : Par convergence dominée :

\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(t^n) \, \mathrm{d}t = \int_0^1 f(0) \, \mathrm{d}t = f(0)

Exemple 3 : Application en analyse de Fourier

Montrons que pour $f \in L^1(\mathbb{R})$ , la transformée de Fourier :

\hat{f}(y) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-ixy} \, \mathrm{d}x

est une fonction continue.

Solution :

Soit $y_n \to y$ . Posons $g_n(x) = f(x) e^{-ixy_n}$ . Alors :

$g_n(x) \to g(x) = f(x) e^{-ixy}$ pour tout $x$
$|g_n(x)| = |f(x)| |e^{-ixy_n}| = |f(x)|$ qui est intégrable

Par convergence dominée :

\hat{f}(y_n) = \int_{\mathbb{R}} g_n(x) \, \mathrm{d}x \to \int_{\mathbb{R}} g(x) \, \mathrm{d}x = \hat{f}(y)

Donc $\hat{f}$ est continue.

Corollaires pratiques : continuité et dérivation sous le signe intégral

Le théorème de convergence dominée permet d'établir deux résultats fondamentaux pour l'étude des fonctions définies par une intégrale.

Théorème de continuité sous le signe intégral

Soit $f : I \times E \to \mathbb{C}$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ . On suppose :

Pour tout $t \in I$ , la fonction $x \mapsto f(t,x)$ est mesurable
Pour presque tout $x \in E$ , la fonction $t \mapsto f(t,x)$ est continue en $t_0 \in I$
Il existe $g \in L^1(E)$ telle que $|f(t,x)| \leq g(x)$ pour tout $t \in I$ et presque tout $x \in E$

Alors la fonction $F : I \to \mathbb{C}$ définie par :

F(t) = \int_E f(t,x) \, \mathrm{d}\mu(x)

est continue en $t_0$ .

Démonstration : Soit $(t_n)$ une suite de $I$ convergeant vers $t_0$ . Posons $f_n(x) = f(t_n, x)$ . Par hypothèse, $f_n(x) \to f(t_0, x)$ pour presque tout $x$ , et $|f_n(x)| \leq g(x)$ . Le théorème de convergence dominée donne alors $F(t_n) \to F(t_0)$ , d'où la continuité.

Théorème de dérivation sous le signe intégral

Soit $f : I \times E \to \mathbb{C}$ où $I$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ . On suppose :

Pour tout $t \in I$ , la fonction $x \mapsto f(t,x)$ est intégrable
Pour presque tout $x \in E$ , la fonction $t \mapsto f(t,x)$ est dérivable sur $I$
Il existe $g \in L^1(E)$ telle que pour tout $t \in I$ et presque tout $x \in E$ : $\left| \frac{\partial f}{\partial t}(t,x) \right| \leq g(x)$

Alors la fonction $F(t) = \displaystyle \int_E f(t,x) \, \mathrm{d}\mu(x)$ est dérivable sur $I$ et :

F'(t) = \int_E \frac{\partial f}{\partial t}(t,x) \, \mathrm{d}\mu(x)

Idée de démonstration : On utilise le taux d'accroissement $\dfrac{f(t+h, x) - f(t,x)}{h}$ qui converge vers $\dfrac{\partial f}{\partial t}(t,x)$ . Le théorème des accroissements finis permet de majorer ce taux par $g(x)$ , autorisant l'application du théorème de convergence dominée.

Contre-exemples et nécessité de l’hypothèse de domination

L'hypothèse de domination n'est pas une simple commodité technique : elle est absolument nécessaire pour la validité du théorème. Examinons des contre-exemples montrant ce qui peut se produire en son absence.

Contre-exemple 1 : Pic mobile

Sur $[0, +\infty[$ , considérons la suite :

f_n(x) = n \cdot \mathbf{1}_{[n, n+1]}(x)

Cette suite converge simplement vers $f = 0$ car pour tout $x \geq 0$ , il existe $N$ tel que pour $n > N$ , on a $x < n$ , donc $f_n(x) = 0$ .

Cependant :

\int_0^{+\infty} f_n(x) \, \mathrm{d}x = n \cdot 1 = n \to +\infty \neq 0 = \int_0^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x

Analyse : Il n'existe pas de fonction intégrable $g$ qui majore tous les $|f_n|$ , car $\sup_n f_n(x) = +\infty$ pour tout $x$ . La masse se déplace vers l'infini.

Contre-exemple 2 : Pic de plus en plus étroit et haut

Sur $[0,1]$ , posons :

f_n(x) = n^2 x (1-x)^n

On a $f_n(x) \to 0$ simplement. Pourtant :

\int_0^1 f_n(x) \, \mathrm{d}x = n^2 \int_0^1 x(1-x)^n \, \mathrm{d}x = n^2 \cdot \frac{1}{(n+1)(n+2)} \sim \frac{1}{1} = 1

Donc la limite des intégrales vaut 1, alors que l'intégrale de la limite vaut 0.

Analyse : Bien que l'intervalle soit borné, la suite $(f_n)$ n'est pas dominée par une fonction intégrable. Les pics deviennent de plus en plus hauts.

Applications pratiques en mathématiques et sciences

En théorie des probabilités

Le théorème de convergence dominée joue un rôle central en théorie des probabilités. Il permet notamment de démontrer le théorème de convergence dominée pour l'espérance conditionnelle et d'établir des propriétés de continuité des lois de probabilité.

Par exemple, si une suite de variables aléatoires $(X_n)$ converge presque sûrement vers $X$ et si $|X_n| \leq Y$ où $Y$ est intégrable, alors $\mathbb{E}[X_n] \to \mathbb{E}[X]$ .

En équations aux dérivées partielles

Dans l'étude des équations aux dérivées partielles, le théorème permet de justifier le passage à la limite dans des équations faibles. Par exemple, pour montrer qu'une limite de solutions approchées est effectivement solution de l'équation.

En analyse harmonique

Nous avons vu que le théorème garantit la continuité de la transformée de Fourier. Il permet également d'établir des formules d'inversion et de démontrer le théorème de Plancherel dans $L^2$ .

En physique mathématique

En mécanique quantique, le théorème justifie des calculs d'observables et le passage de descriptions discrètes à des descriptions continues. En thermodynamique statistique, il intervient dans l'étude des limites thermodynamiques.

Méthodologie : comment appliquer le théorème efficacement

Voici une démarche systématique pour appliquer avec succès le théorème de convergence dominée :

Étape 1 : Identifier la suite de fonctions

Définissez clairement la suite $(f_n)$ et l'espace de mesure $(E, \mathcal{A}, \mu)$ considéré.

Étape 2 : Vérifier la convergence simple

Pour chaque $x \in E$ , étudiez la suite numérique $(f_n(x))$ et déterminez sa limite $f(x)$ . Utilisez les outils classiques d'étude de suites numériques.

Étape 3 : Trouver une fonction dominante

C'est souvent l'étape la plus délicate. Cherchez une fonction $g$ intégrable telle que $|f_n(x)| \leq g(x)$ pour tout $n$ et tout $x$ . Stratégies utiles :

Si les fonctions sont bornées uniformément en $n$ et $x$ , utilisez cette borne
Exploitez les inégalités classiques : $e^{-x} \leq 1$ , $|\sin(x)| \leq 1$ , etc.
Sur un intervalle borné, une fonction continue est bornée
Utilisez des majorations asymptotiques pour les grandes valeurs

Étape 4 : Vérifier l’intégrabilité de g

Calculez ou majorez $\displaystyle \int_E g \, \mathrm{d}\mu$ et vérifiez qu'elle est finie.

Étape 5 : Conclure

Appliquez le théorème : on peut échanger limite et intégrale, et calculer l'intégrale de $f$ au lieu des $f_n$ .

Exercices corrigés pour s’entraîner

Exercice 1

Énoncé : Calculer $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{nx}{1 + n^2x^2} \, \mathrm{d}x$ .

Solution :

Posons $f_n(x) = \dfrac{nx}{1 + n^2x^2}$ sur $[0,1]$ .

Convergence simple : Pour $x \in ]0,1]$ , on a : $f_n(x) = \frac{nx}{1 + n^2x^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\frac{1}{n^2x} + x} \to 0$ Pour $x = 0$ , $f_n(0) = 0$ . Donc $f_n \to 0$ .

Domination : Étudions le maximum de $f_n$ . En dérivant : $f_n'(x) = \frac{n(1 + n^2x^2) - nx \cdot 2n^2x}{(1 + n^2x^2)^2} = \frac{n(1 - n^2x^2)}{(1 + n^2x^2)^2}$ Le maximum est atteint en $x = 1/n$ , donnant $f_n(1/n) = 1/2$ . Mais cette majoration dépend de $n$ ...

En fait, on peut montrer que $f_n(x) \leq \dfrac{1}{2x}$ pour tout $n$ et $x \in ]0,1]$ , mais cette fonction n'est pas intégrable sur $[0,1]$ .

Alternative : Calculons directement l'intégrale : $\int_0^1 \frac{nx}{1 + n^2x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2n} \left[ \ln(1 + n^2x^2) \right]_0^1 = \frac{\ln(1 + n^2)}{2n} \to 0$

Donc la limite vaut 0, en accord avec la convergence simple (même sans domination stricte).

Exercice 2

Énoncé : Soit $f \in L^1(\mathbb{R})$ . Montrer que : $\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f(x) \cos^n(\pi x) \, \mathrm{d}x = 0$

Solution :

Posons $g_n(x) = f(x) \cos^n(\pi x)$ .

Convergence simple : Pour $x \notin \mathbb{Z}$ , on a $|\cos(\pi x)| < 1$ , donc $\cos^n(\pi x) \to 0$ . Pour $x \in \mathbb{Z}$ , $\cos^n(\pi x) = (\pm 1)^n$ . Ainsi $g_n(x) \to 0$ presque partout (car $\mathbb{Z}$ est négligeable pour la mesure de Lebesgue).

Domination : On a $|\cos(\pi x)| \leq 1$ , donc : $|g_n(x)| = |f(x)| |\cos^n(\pi x)| \leq |f(x)|$ Comme $f \in L^1(\mathbb{R})$ , la fonction $g(x) = |f(x)|$ est intégrable.

Conclusion : Par convergence dominée, la limite cherchée vaut 0.

Variantes et extensions du théorème

Version pour les séries de fonctions

Le théorème s'étend naturellement aux séries :

Soit $(u_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle $I$ . Si :

La série $\sum u_n$ converge simplement vers $S$ sur $I$
Il existe $g$ intégrable telle que $\displaystyle \sum_{k=0}^n |u_k(x)| \leq g(x)$ pour tout $n$ et $x \in I$

Alors $S$ est intégrable et : $\int_I S = \sum_{n=0}^{\infty} \int_I u_n$

Convergence dominée pour les mesures finies

Lorsque $\mu(E) < \infty$ , on peut assouplir l'hypothèse de domination : il suffit que les $f_n$ soient uniformément bornés.

Comparaison avec l’intégrale de Riemann

Pour l'intégrale de Riemann, on dispose du théorème de convergence uniforme qui est beaucoup plus restrictif :

Critère	Riemann	Lebesgue
Type de convergence	Uniforme	Simple (ou presque partout)
Hypothèse supplémentaire	Continuité des fonctions	Existence d'une dominante intégrable
Puissance	Limitée	Très générale

Le théorème de convergence dominée est donc beaucoup plus puissant car il autorise la convergence simple (plus faible) au lieu de la convergence uniforme.

Conclusion et synthèse

Le théorème de convergence dominée constitue l'un des outils les plus puissants de l'analyse moderne. Il autorise l'échange entre limite et intégrale sous des conditions remarquablement générales : convergence simple et existence d'une fonction dominante intégrable.

Les points essentiels à retenir sont :

La convergence simple suffit (pas besoin de convergence uniforme)
L'hypothèse de domination est absolument nécessaire
Le théorème garantit à la fois l'égalité des limites et la convergence en norme $L^1$
Il s'inscrit dans une hiérarchie : convergence monotone → Fatou → convergence dominée
Ses applications sont innombrables : probabilités, EDP, analyse harmonique, physique mathématique

La maîtrise de ce théorème est indispensable pour tout étudiant poursuivant des études avancées en mathématiques. Il représente un exemple parfait de la puissance et de l'élégance de la théorie de Lebesgue.

Pour aller plus loin, nous recommandons d'étudier les espaces $L^p$ , la théorie de la mesure abstraite, et les applications à l'analyse fonctionnelle. Ces domaines reposent massivement sur les théorèmes de convergence.