Convergence simple, uniforme et normale : cours clair

La convergence simple, normale et uniforme est un pilier de l'analyse moderne, étudié en première et deuxième année de classes préparatoires et de licence de mathématiques. Dès que l'on cherche à définir des fonctions complexes comme l'exponentielle, les séries de Fourier ou les solutions d'équations différentielles à partir de suites de fonctions plus simples, la question se pose immédiatement : dans quel sens ces fonctions « convergent-elles » ? Et surtout, les bonnes propriétés : continuité, intégrabilité, dérivabilité se transmettent-elles à la limite ?

Ce cours répond à toutes ces questions en progressant naturellement de la notion la plus faible (convergence simple) vers la plus forte (convergence normale), en passant par la convergence uniforme. Chaque définition est accompagnée d'une intuition géométrique, d'une démonstration rigoureuse et d'exemples concrets, y compris des contre-exemples qui montrent pourquoi les hypothèses ne sont jamais superflues.

Convergence simple d’une suite de fonctions

Définition

Soit II un intervalle de R\mathbb{R} et (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions définies sur II à valeurs dans R\mathbb{R} (ou C\mathbb{C}). On dit que (fn)(f_n) converge simplement vers une fonction f:I→Rf : I \to \mathbb{R} si, pour tout x∈Ix \in I, la suite numérique (fn(x))n∈N\bigl(f_n(x)\bigr)_{n \in \mathbb{N}} converge vers f(x)f(x).

En termes de quantificateurs, cela s'écrit :

∀x∈I,∀ε>0,∃N∈N,∀n≥N,∣fn(x)−f(x)∣<ε.\forall x \in I,\quad \forall \varepsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon.

L'ordre des quantificateurs est crucial : le rang NN peut dépendre à la fois de ε\varepsilon et de xx. C'est précisément ce point qui distingue la convergence simple de la convergence uniforme.

Exemple fondamental : fn(x)=xnf_n(x) = x^n sur [0, 1]

Définissons fn:[0,1]→Rf_n : [0,1] \to \mathbb{R} par fn(x)=xnf_n(x) = x^n.

  • Si x∈[0,1[x \in [0, 1[, alors xn→0x^n \to 0 quand n→+∞n \to +\infty.
  • Si x=1x = 1, alors xn=1x^n = 1 pour tout nn, donc fn(1)→1f_n(1) \to 1.

La suite (fn)(f_n) converge donc simplement vers la fonction :

f(x)={0si x∈[0,1[,1si x=1.f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1[, \\ 1 & \text{si } x = 1. \end{cases}

Remarquons que chaque fnf_n est continue sur [0,1][0,1], mais la limite ff est discontinue en x=1x = 1. Cela illustre une lacune majeure de la convergence simple : elle ne préserve pas la continuité. La convergence uniforme sera l'outil adapté pour pallier ce défaut.

Intuition géométrique

En convergence simple, chaque point xx « fait son propre travail » : pour chaque abscisse fixée, la suite des valeurs fn(x)f_n(x) finit par se rapprocher de f(x)f(x). Mais la vitesse de rapprochement peut varier énormément d'un point à l'autre. Dans l'exemple xnx^n, les points proches de 1 convergent vers 0 beaucoup plus lentement que les points proches de 0 : il faut un rang NN très grand pour que xnx^n soit petit quand xx est proche de 1. On ne peut donc pas trouver un rang NN qui « fonctionne pour tous les xx à la fois ».

Convergence uniforme d’une suite de fonctions

Définition

La suite (fn)(f_n) converge uniformément vers ff sur II si :

∀ε>0,∃N∈N,∀n≥N,∀x∈I,∣fn(x)−f(x)∣<ε.\forall \varepsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad \forall x \in I,\quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon.

La différence avec la convergence simple réside dans l'ordre des quantificateurs : ici, NN est choisi avant xx, donc le même NN fonctionne simultanément pour tous les points de II.

Reformulation via la norme infinie

Si l'on note la norme infinie (ou norme sup) de fn−ff_n - f sur II :

∥fn−f∥∞=sup⁡x∈I∣fn(x)−f(x)∣,\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|,

alors :

(fn)(f_n) converge uniformément vers ff sur II si et seulement si ∥fn−f∥∞→n→+∞0.\|f_n - f\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.

C'est la reformulation la plus pratique en exercice. Elle ramène la convergence uniforme à une simple limite numérique.

Méthode pratique pour étudier la convergence uniforme

  1. Calculer d'abord la limite simple ff (si elle existe).
  2. Former gn(x)=∣fn(x)−f(x)∣g_n(x) = |f_n(x) - f(x)| et chercher son supremum sur II.
  3. Si sup⁡x∈Ign(x)→0\sup_{x \in I} g_n(x) \to 0, la convergence est uniforme. Sinon, elle ne l'est pas.

Retour sur l'exemple fn(x)=xnf_n(x) = x^n

On sait que fn→ff_n \to f simplement avec f=0f = 0 sur [0,1[[0,1[. Sur [0,1[[0,1[ :

∥fn−f∥∞=sup⁡x∈[0,1[xn=lim⁡x→1−xn=1↛0.\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1[} x^n = \lim_{x \to 1^-} x^n = 1 \not\to 0.

La convergence n'est pas uniforme sur [0,1[[0, 1[. En revanche, sur tout segment [0,r][0, r] avec r<1r < 1, on a sup⁡[0,r]xn=rn→0\sup_{[0,r]} x^n = r^n \to 0, donc la convergence est uniforme sur [0,r][0, r].

Continuité de la limite uniforme

Théorème. Si chaque fnf_n est continue sur II et si (fn)(f_n) converge uniformément vers ff sur II, alors ff est continue sur II.

Démonstration

Fixons a∈Ia \in I et ε>0\varepsilon > 0. Par convergence uniforme, il existe NN tel que pour tout n≥Nn \geq N et tout x∈Ix \in I :

∣fn(x)−f(x)∣<ε3.|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3}.

La fonction fNf_N est continue en aa, donc il existe δ>0\delta > 0 tel que ∣x−a∣<δ⇒∣fN(x)−fN(a)∣<ε3|x - a| < \delta \Rightarrow |f_N(x) - f_N(a)| < \frac{\varepsilon}{3}. Pour ∣x−a∣<δ|x - a| < \delta, on écrit :

∣f(x)−f(a)∣≤∣f(x)−fN(x)∣+∣fN(x)−fN(a)∣+∣fN(a)−f(a)∣<ε3+ε3+ε3=ε.|f(x) - f(a)| \leq |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x) - f_N(a)| + |f_N(a) - f(a)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.

Donc ff est continue en aa.

Permutation limite et intégrale

Théorème (interversion limite-intégrale). Soit (fn)(f_n) une suite de fonctions continues sur un segment [a,b][a, b], convergeant uniformément vers ff. Alors :

lim⁡n→+∞∫abfn(x) dx=∫abf(x) dx.\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx.

Démonstration

∣∫abfn(x) dx−∫abf(x) dx∣≤∫ab∣fn(x)−f(x)∣ dx≤(b−a) ∥fn−f∥∞→n→+∞0.\left|\int_a^b f_n(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f_n(x) - f(x)|\,dx \leq (b-a)\,\|f_n - f\|_\infty \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.

Théorème de dérivation terme à terme

Théorème. Soit (fn)(f_n) une suite de fonctions de classe C1\mathcal{C}^1 sur II. On suppose :

  1. Il existe x0∈Ix_0 \in I tel que (fn(x0))\bigl(f_n(x_0)\bigr) converge.
  2. La suite (fn′)(f_n') converge uniformément vers une fonction gg sur II.

Alors (fn)(f_n) converge uniformément vers une fonction ff de classe C1\mathcal{C}^1 sur II, et f′=gf' = g.

Idée de la démonstration

On utilise la relation fondamentale fn(x)=fn(x0)+∫x0xfn′(t) dtf_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x f_n'(t)\,dt, puis on passe à la limite en appliquant le théorème de permutation limite-intégrale à la suite (fn′)(f_n') uniformément convergente.

Critère de Cauchy uniforme

Propriété. La suite (fn)(f_n) converge uniformément sur II si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme :

∀ε>0,∃N∈N,∀p,q≥N,sup⁡x∈I∣fp(x)−fq(x)∣<ε.\forall \varepsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall p, q \geq N,\quad \sup_{x \in I}|f_p(x) - f_q(x)| < \varepsilon.

Ce critère est utile lorsque l'on ne connaît pas explicitement la limite ff. Il permet aussi de montrer qu'une suite n'est pas uniformément convergente.

Convergence simple et uniforme des séries de fonctions

On s'intéresse maintenant à des séries de fonctions ∑n≥0fn\displaystyle\sum_{n \geq 0} f_n, où (fn)(f_n) est une suite de fonctions définies sur II. La somme partielle d'indice NN est SN(x)=∑n=0Nfn(x)S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} f_n(x).

Convergence simple d’une série de fonctions

La série ∑fn\sum f_n converge simplement sur II si, pour tout x∈Ix \in I, la série numérique ∑fn(x)\sum f_n(x) converge. On note alors S(x)=∑n=0+∞fn(x)S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x).

Convergence uniforme d’une série de fonctions

La série ∑fn\sum f_n converge uniformément sur II si la suite (SN)(S_N) des sommes partielles converge uniformément sur II. Cela revient à dire que le reste RN(x)=S(x)−SN(x)R_N(x) = S(x) - S_N(x) vérifie ∥RN∥∞→0\|R_N\|_\infty \to 0.

Convergence normale : définition et implications

La convergence normale est le critère le plus puissant et le plus pratique pour établir la convergence uniforme d'une série de fonctions. Elle repose sur une idée simple : majorer chaque terme ∣fn(x)∣|f_n(x)| par une constante ana_n (indépendante de xx) telle que la série ∑an\sum a_n converge.

On dit que la série ∑n≥0fn\displaystyle\sum_{n \geq 0} f_n converge normalement sur II s'il existe une suite de réels positifs (an)(a_n) telle que :

  • ∀n∈N,∀x∈I,∣fn(x)∣≤an\forall n \in \mathbb{N},\quad \forall x \in I,\quad |f_n(x)| \leq a_n ;
  • la série numérique ∑n≥0an\displaystyle\sum_{n \geq 0} a_n est convergente.

En pratique, on choisit an=∥fn∥∞=sup⁡x∈I∣fn(x)∣a_n = \|f_n\|_\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x)| et l'on vérifie que ∑∥fn∥∞<+∞\sum \|f_n\|_\infty < +\infty.

Théorème fondamental : convergence normale implique convergence uniforme

Théorème. Si la série ∑fn\sum f_n converge normalement sur II, alors elle converge uniformément (et donc simplement et absolument) sur II.

Démonstration complète

Supposons que ∑an\sum a_n converge, avec ∣fn(x)∣≤an|f_n(x)| \leq a_n pour tout x∈Ix \in I. Fixons ε>0\varepsilon > 0. Puisque ∑an\sum a_n est convergente, elle satisfait le critère de Cauchy numérique : il existe N∈NN \in \mathbb{N} tel que, pour tous p>q≥Np > q \geq N :

aq+1+aq+2+⋯+ap<ε.a_{q+1} + a_{q+2} + \cdots + a_p < \varepsilon.

Pour ces mêmes p>q≥Np > q \geq N et pour tout x∈Ix \in I, on a :

∣Sp(x)−Sq(x)∣=∣∑n=q+1pfn(x)∣≤∑n=q+1p∣fn(x)∣≤∑n=q+1pan<ε.|S_p(x) - S_q(x)| = \left|\sum_{n=q+1}^{p} f_n(x)\right| \leq \sum_{n=q+1}^{p} |f_n(x)| \leq \sum_{n=q+1}^{p} a_n < \varepsilon.

Cette inégalité est valable pour tout x∈Ix \in I, donc :

sup⁡x∈I∣Sp(x)−Sq(x)∣<ε.\sup_{x \in I} |S_p(x) - S_q(x)| < \varepsilon.

La suite (SN)(S_N) vérifie le critère de Cauchy uniforme, donc elle converge uniformément.

Résumé des implications

Hiérarchie des modes de convergence
ModeImpliqueLa réciproque est-elle vraie ?
Convergence normaleConvergence uniformeNon (contre-exemple : ∑(−1)nx+n\sum \frac{(-1)^n}{x+n} sur [0,1][0,1])
Convergence uniformeConvergence simpleNon (exemple de xnx^n sur [0,1[[0,1[)
Convergence normaleConvergence absolueNon en général
Convergence simpleConvergence uniformeNon (implication strictement fausse)

En résumé : convergence normale ⇒\Rightarrow convergence uniforme ⇒\Rightarrow convergence simple. Aucune des réciproques n'est vraie en général.

Conséquences de la convergence normale

Grâce au théorème ci-dessus, tous les résultats valables sous hypothèse de convergence uniforme s'appliquent en cas de convergence normale. En particulier :

  • La somme d'une série normalement convergente de fonctions continues est une fonction continue.
  • On peut intégrer terme à terme sur tout segment [a,b]⊂I[a,b] \subset I :
    ∫ab∑n=0+∞fn(x) dx=∑n=0+∞∫abfn(x) dx.\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\,dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx.
  • On peut dériver terme à terme sous des hypothèses supplémentaires de convergence des dérivées.

6. Erreurs fréquentes à éviter

Erreur 1 – Confondre CVS et CVU. Beaucoup d'étudiants croient que si fn(x)→f(x)f_n(x) \to f(x) pour tout xx, la convergence est uniforme. C'est faux : l'exemple xnx^n sur [0,1[[0,1[ montre que la convergence peut être simple sans être uniforme. Vérifiez toujours que ∥fn−f∥∞→0\|f_n - f\|_\infty \to 0.

Erreur 2 – Oublier que ana_n doit être indépendant de xx. En convergence normale, la majoration ∣fn(x)∣≤an|f_n(x)| \leq a_n est valable seulement si ana_n ne dépend pas de xx. Écrire an(x)a_n(x) n'a aucun sens et invalide l'argument.

Erreur 3 – Permuter limite et intégrale sans CVU. Sans convergence uniforme (ou convergence dominée, cf. théorème de Lebesgue), on ne peut pas écrire lim⁡∫fn=∫lim⁡fn\lim \int f_n = \int \lim f_n. Des contre-exemples classiques existent (suites de bosses qui s'amincissent).

Erreur 4 – Croire que CVN ⇐\Leftarrow CVU. La réciproque est strictement fausse. La série ∑(−1)nx+n\sum \frac{(-1)^n}{x+n} est un contre-exemple canonique.

Conclusion

La maîtrise de la convergence simple, normale et uniforme est indispensable pour travailler rigoureusement avec les suites et séries de fonctions. Retenons les points essentiels : la convergence simple est la plus faible et ne préserve ni la continuité ni la permutation limite-intégrale ; la convergence uniforme caractérisée par la convergence de la norme infinie vers zéro garantit ces propriétés et se vérifie efficacement via le critère de Cauchy uniforme ; la convergence normaleconvergence normale, la plus puissante, s'obtient en majorant ∣fn(x)∣|f_n(x)| uniformément en xx par le terme général d'une série convergente, et implique automatiquement la convergence uniforme.

La hiérarchie CVN ⇒\Rightarrow CVU ⇒\Rightarrow CVS, sans réciproques, est le fil directeur de tout ce chapitre.

Questions fréquentes sur la convergence simple, normale et uniforme

Quelle est la différence entre convergence simple et convergence uniforme ?

En convergence simple, pour chaque point xx fixé, la suite fn(x)f_n(x) converge vers f(x)f(x), mais le rang NN à partir duquel ∣fn(x)−f(x)∣<ε|f_n(x)-f(x)| < \varepsilon peut dépendre de xx. En convergence uniforme, un même rang NN fonctionne simultanément pour tous les points de l'intervalle : la convergence se fait « à la même vitesse » en tout point. La convergence uniforme implique la convergence simple, mais la réciproque est fausse (fn(x)=xnf_n(x)=x^n sur [0,1[[0,1[ en est le contre-exemple classique).

Comment montrer qu’une série de fonctions converge normalement ?

Il faut trouver une suite de réels positifs (an)(a_n), indépendante de xx, telle que ∣fn(x)∣≤an|f_n(x)| \leq a_n pour tout xx dans l'intervalle d'étude, et telle que la série numérique ∑an\sum a_n converge. En pratique, on calcule ou on majore ∥fn∥∞=sup⁡x∣fn(x)∣\|f_n\|_\infty = \sup_x |f_n(x)| et l'on vérifie que ∑∥fn∥∞<+∞\sum \|f_n\|_\infty < +\infty.

La convergence normale implique-t-elle la convergence absolue ?

Oui. Si ∑fn\sum f_n converge normalement sur II, alors pour tout x∈Ix \in I, la série numérique ∑∣fn(x)∣\sum |f_n(x)| est convergente (car ∣fn(x)∣≤an|f_n(x)| \leq a_n et ∑an\sum a_n converge), ce qui signifie exactement que la série converge absolument en tout point. La convergence normale implique donc la convergence absolue (et uniforme, et simple). Aucune des réciproques n'est vraie.

Partager