La convergence simple, normale et uniforme est un pilier de l’analyse moderne,
étudié en première et deuxième année de classes préparatoires et de licence de mathématiques.
Dès que l’on cherche à définir des fonctions complexes comme l’exponentielle, les séries de Fourier ou les solutions d’équations différentielles à partir de suites de fonctions plus simples, la question se pose immédiatement : dans quel sens ces fonctions « convergent-elles » ? Et surtout, les bonnes propriétés : continuité, intégrabilité, dérivabilité se transmettent-elles à la limite ?
Ce cours répond à toutes ces questions en progressant naturellement de la notion la plus faible
(convergence simple) vers la plus forte (convergence normale), en passant par la convergence uniforme.
Chaque définition est accompagnée d’une intuition géométrique, d’une démonstration rigoureuse et
d’exemples concrets, y compris des contre-exemples qui montrent pourquoi les hypothèses ne sont
jamais superflues.
Convergence simple d’une suite de fonctions
Définition
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \((f_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de fonctions
définies sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{C}\)).
On dit que \((f_n)\) converge simplement vers une fonction \(f : I \to \mathbb{R}\) si, pour tout \(x \in I\), la suite numérique \(\bigl(f_n(x)\bigr)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers \(f(x)\).
En termes de quantificateurs, cela s’écrit :
\forall x \in I,\quad \forall \varepsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad
\forall n \geq N,\quad |f_n(x) – f(x)| < \varepsilon. \]
L’ordre des quantificateurs est crucial : le rang \(N\) peut dépendre à la fois de
\(\varepsilon\) et de \(x\). C’est précisément ce point qui distingue la convergence simple
de la convergence uniforme.
Exemple fondamental : \(f_n(x) = x^n\) sur [0, 1]
Définissons \(f_n : [0,1] \to \mathbb{R}\) par \(f_n(x) = x^n\).
- Si \(x \in [0, 1[\), alors \(x^n \to 0\) quand \(n \to +\infty\).
- Si \(x = 1\), alors \(x^n = 1\) pour tout \(n\), donc \(f_n(1) \to 1\).
La suite \((f_n)\) converge donc simplement vers la fonction :
f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1[, \\ 1 & \text{si } x = 1. \end{cases}
\]
Remarquons que chaque \(f_n\) est continue sur \([0,1]\), mais la limite \(f\) est discontinue
en \(x = 1\). Cela illustre une lacune majeure de la convergence simple : elle ne préserve pas
la continuité. La convergence uniforme sera l’outil adapté pour pallier ce défaut.
Intuition géométrique
En convergence simple, chaque point \(x\) « fait son propre travail » : pour chaque abscisse
fixée, la suite des valeurs \(f_n(x)\) finit par se rapprocher de \(f(x)\). Mais la vitesse de
rapprochement peut varier énormément d’un point à l’autre. Dans l’exemple \(x^n\), les points
proches de 1 convergent vers 0 beaucoup plus lentement que les points proches de 0 : il faut
un rang \(N\) très grand pour que \(x^n\) soit petit quand \(x\) est proche de 1. On ne peut
donc pas trouver un rang \(N\) qui « fonctionne pour tous les \(x\) à la fois ».
Convergence uniforme d’une suite de fonctions
Définition
La suite \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\) si :
\forall \varepsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad
\forall n \geq N,\quad \forall x \in I,\quad |f_n(x) – f(x)| < \varepsilon. \]
La différence avec la convergence simple réside dans l’ordre des quantificateurs : ici,
\(N\) est choisi avant \(x\), donc le même \(N\) fonctionne simultanément pour
tous les points de \(I\).
Reformulation via la norme infinie
Si l’on note la norme infinie (ou norme sup) de \(f_n – f\) sur \(I\) :
\|f_n – f\|_\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x) – f(x)|,
\]
alors :
\((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\) si et seulement si
\(\|f_n – f\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.\)
C’est la reformulation la plus pratique en exercice. Elle ramène la convergence uniforme
à une simple limite numérique.
Méthode pratique pour étudier la convergence uniforme
- Calculer d’abord la limite simple \(f\) (si elle existe).
- Former \(g_n(x) = |f_n(x) – f(x)|\) et chercher son supremum sur \(I\).
- Si \(\sup_{x \in I} g_n(x) \to 0\), la convergence est uniforme. Sinon, elle ne l’est pas.
Retour sur l’exemple \(f_n(x) = x^n\)
On sait que \(f_n \to f\) simplement avec \(f = 0\) sur \([0,1[\). Sur \([0,1[\) :
\|f_n – f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1[} x^n = \lim_{x \to 1^-} x^n = 1 \not\to 0.
\]
La convergence n’est pas uniforme sur \([0, 1[\). En revanche, sur tout segment \([0, r]\)
avec \(r < 1\), on a \(\sup_{[0,r]} x^n = r^n \to 0\), donc la convergence est uniforme
sur \([0, r]\).
Continuité de la limite uniforme
Théorème. Si chaque \(f_n\) est continue sur \(I\) et si \((f_n)\) converge
uniformément vers \(f\) sur \(I\), alors \(f\) est continue sur \(I\).
Démonstration
Fixons \(a \in I\) et \(\varepsilon > 0\). Par convergence uniforme, il existe \(N\) tel que
pour tout \(n \geq N\) et tout \(x \in I\) :
|f_n(x) – f(x)| < \frac{\varepsilon}{3}. \]
La fonction \(f_N\) est continue en \(a\), donc il existe \(\delta > 0\) tel que
\(|x – a| < \delta \Rightarrow |f_N(x) - f_N(a)| < \frac{\varepsilon}{3}\). Pour
\(|x - a| < \delta\), on écrit :
|f(x) – f(a)| \leq |f(x) – f_N(x)| + |f_N(x) – f_N(a)| + |f_N(a) – f(a)|
< \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon. \]
Donc \(f\) est continue en \(a\).
Permutation limite et intégrale
Théorème (interversion limite-intégrale). Soit \((f_n)\) une suite de fonctions
continues sur un segment \([a, b]\), convergeant uniformément vers \(f\). Alors :
\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx.
\]
Démonstration
\left|\int_a^b f_n(x)\,dx – \int_a^b f(x)\,dx\right|
\leq \int_a^b |f_n(x) – f(x)|\,dx
\leq (b-a)\,\|f_n – f\|_\infty \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.
\]
Théorème de dérivation terme à terme
Théorème. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\).
On suppose :
- Il existe \(x_0 \in I\) tel que \(\bigl(f_n(x_0)\bigr)\) converge.
- La suite \((f_n’)\) converge uniformément vers une fonction \(g\) sur \(I\).
Alors \((f_n)\) converge uniformément vers une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\),
et \(f’ = g\).
Idée de la démonstration
On utilise la relation fondamentale \(f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x f_n'(t)\,dt\),
puis on passe à la limite en appliquant le théorème de permutation limite-intégrale à la suite
\((f_n’)\) uniformément convergente.
Critère de Cauchy uniforme
Propriété. La suite \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) si et seulement si
elle vérifie le critère de Cauchy uniforme :
\forall \varepsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall p, q \geq N,\quad
\sup_{x \in I}|f_p(x) – f_q(x)| < \varepsilon. \]
Ce critère est utile lorsque l’on ne connaît pas explicitement la limite \(f\). Il permet aussi
de montrer qu’une suite n’est pas uniformément convergente.
Convergence simple et uniforme des séries de fonctions
On s’intéresse maintenant à des séries de fonctions
\(\displaystyle\sum_{n \geq 0} f_n\), où \((f_n)\) est une suite de fonctions définies sur \(I\).
La somme partielle d’indice \(N\) est \(S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} f_n(x)\).
Convergence simple d’une série de fonctions
La série \(\sum f_n\) converge simplement sur \(I\) si, pour tout \(x \in I\),
la série numérique \(\sum f_n(x)\) converge. On note alors \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\).
Convergence uniforme d’une série de fonctions
La série \(\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\) si la suite \((S_N)\) des
sommes partielles converge uniformément sur \(I\). Cela revient à dire que le reste
\(R_N(x) = S(x) – S_N(x)\) vérifie \(\|R_N\|_\infty \to 0\).
Convergence normale : définition et implications
La convergence normale est le critère le plus puissant et le plus pratique pour
établir la convergence uniforme d’une série de fonctions. Elle repose sur une idée simple :
majorer chaque terme \(|f_n(x)|\) par une constante \(a_n\) (indépendante de \(x\)) telle que
la série \(\sum a_n\) converge.
On dit que la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} f_n\) converge normalement
sur \(I\) s’il existe une suite de réels positifs \((a_n)\) telle que :
- \(\forall n \in \mathbb{N},\quad \forall x \in I,\quad |f_n(x)| \leq a_n\) ;
- la série numérique \(\displaystyle\sum_{n \geq 0} a_n\) est convergente.
En pratique, on choisit \(a_n = \|f_n\|_\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x)|\) et l’on vérifie
que \(\sum \|f_n\|_\infty < +\infty\).
Théorème fondamental : convergence normale implique convergence uniforme
Théorème. Si la série \(\sum f_n\) converge normalement sur \(I\), alors elle
converge uniformément (et donc simplement et absolument) sur \(I\).
Démonstration complète
Supposons que \(\sum a_n\) converge, avec \(|f_n(x)| \leq a_n\) pour tout \(x \in I\).
Fixons \(\varepsilon > 0\). Puisque \(\sum a_n\) est convergente, elle satisfait le critère
de Cauchy numérique : il existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que, pour tous \(p > q \geq N\) :
a_{q+1} + a_{q+2} + \cdots + a_p < \varepsilon. \]
Pour ces mêmes \(p > q \geq N\) et pour tout \(x \in I\), on a :
|S_p(x) – S_q(x)| = \left|\sum_{n=q+1}^{p} f_n(x)\right|
\leq \sum_{n=q+1}^{p} |f_n(x)|
\leq \sum_{n=q+1}^{p} a_n < \varepsilon. \]
Cette inégalité est valable pour tout \(x \in I\), donc :
\sup_{x \in I} |S_p(x) – S_q(x)| < \varepsilon. \]
La suite \((S_N)\) vérifie le critère de Cauchy uniforme, donc elle converge uniformément.
Résumé des implications
| Mode | Implique | La réciproque est-elle vraie ? |
|---|---|---|
| Convergence normale | Convergence uniforme | Non (contre-exemple : \(\sum \frac{(-1)^n}{x+n}\) sur \([0,1]\)) |
| Convergence uniforme | Convergence simple | Non (exemple de \(x^n\) sur \([0,1[\)) |
| Convergence normale | Convergence absolue | Non en général |
| Convergence simple | Convergence uniforme | Non (implication strictement fausse) |
En résumé : convergence normale \(\Rightarrow\) convergence uniforme \(\Rightarrow\) convergence simple.
Aucune des réciproques n’est vraie en général.
Conséquences de la convergence normale
Grâce au théorème ci-dessus, tous les résultats valables sous hypothèse de convergence uniforme
s’appliquent en cas de convergence normale. En particulier :
-
La somme d’une série normalement convergente de fonctions continues est
une fonction continue. -
On peut intégrer terme à terme sur tout segment \([a,b] \subset I\) :\[
\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\,dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx.
\] -
On peut dériver terme à terme sous des hypothèses supplémentaires de
convergence des dérivées.
6. Erreurs fréquentes à éviter
Erreur 1 – Confondre CVS et CVU. Beaucoup d’étudiants croient que si
\(f_n(x) \to f(x)\) pour tout \(x\), la convergence est uniforme. C’est faux : l’exemple
\(x^n\) sur \([0,1[\) montre que la convergence peut être simple sans être uniforme.
Vérifiez toujours que \(\|f_n – f\|_\infty \to 0\).
Erreur 2 – Oublier que \(a_n\) doit être indépendant de \(x\). En convergence
normale, la majoration \(|f_n(x)| \leq a_n\) est valable seulement si \(a_n\) ne dépend
pas de \(x\). Écrire \(a_n(x)\) n’a aucun sens et invalide l’argument.
Erreur 3 – Permuter limite et intégrale sans CVU. Sans convergence uniforme
(ou convergence dominée, cf. théorème de Lebesgue), on ne peut pas écrire
\(\lim \int f_n = \int \lim f_n\). Des contre-exemples classiques existent
(suites de bosses qui s’amincissent).
Erreur 4 – Croire que CVN \(\Leftarrow\) CVU. La réciproque est strictement
fausse. La série \(\sum \frac{(-1)^n}{x+n}\) est un contre-exemple canonique.
Conclusion
La maîtrise de la convergence simple, normale et uniforme est indispensable pour
travailler rigoureusement avec les suites et séries de fonctions. Retenons les points essentiels :
la convergence simple est la plus faible et ne préserve ni la continuité ni la permutation
limite-intégrale ; la convergence uniforme caractérisée par la convergence de la norme infinie
vers zéro garantit ces propriétés et se vérifie efficacement via le critère de Cauchy uniforme ;
la convergence normaleconvergence normale, la plus puissante, s’obtient en majorant \(|f_n(x)|\) uniformément en
\(x\) par le terme général d’une série convergente, et implique automatiquement la convergence
uniforme.
La hiérarchie CVN \(\Rightarrow\) CVU \(\Rightarrow\) CVS, sans réciproques, est le fil directeur
de tout ce chapitre.
Questions fréquentes sur la convergence simple, normale et uniforme
Quelle est la différence entre convergence simple et convergence uniforme ?
En convergence simple, pour chaque point \(x\) fixé, la suite \(f_n(x)\) converge vers
\(f(x)\), mais le rang \(N\) à partir duquel \(|f_n(x)-f(x)| < \varepsilon\) peut
dépendre de \(x\). En convergence uniforme, un même rang \(N\) fonctionne simultanément
pour tous les points de l’intervalle : la convergence se fait « à la même vitesse »
en tout point. La convergence uniforme implique la convergence simple, mais la réciproque
est fausse (\(f_n(x)=x^n\) sur \([0,1[\) en est le contre-exemple classique).
Comment montrer qu’une série de fonctions converge normalement ?
Il faut trouver une suite de réels positifs \((a_n)\), indépendante de \(x\),
telle que \(|f_n(x)| \leq a_n\) pour tout \(x\) dans l’intervalle d’étude, et telle que
la série numérique \(\sum a_n\) converge. En pratique, on calcule ou on majore
\(\|f_n\|_\infty = \sup_x |f_n(x)|\) et l’on vérifie que \(\sum \|f_n\|_\infty < +\infty\).
La convergence normale implique-t-elle la convergence absolue ?
Oui. Si \(\sum f_n\) converge normalement sur \(I\), alors pour tout \(x \in I\),
la série numérique \(\sum |f_n(x)|\) est convergente (car \(|f_n(x)| \leq a_n\) et
\(\sum a_n\) converge), ce qui signifie exactement que la série converge absolument
en tout point. La convergence normale implique donc la convergence absolue (et uniforme,
et simple). Aucune des réciproques n’est vraie.