Suites et Séries de Fonctions (Cours Complet)

Les suites et séries de fonctions constituent un domaine fondamental de l'analyse mathématique, particulièrement crucial dans l'étude des processus de convergence fonctionnelle. Contrairement aux suites numériques classiques où chaque terme est un nombre réel ou complexe, nous considérons ici des suites dont chaque terme est lui-même une fonction. Cette généralisation ouvre la porte à des résultats puissants permettant d'approximer des fonctions complexes par des fonctions plus simples, de résoudre des équations différentielles, et d'établir des développements en séries entières.

L'importance de ce chapitre réside dans la capacité à comprendre comment les propriétés de régularité comme la continuité, la dérivabilité ou l'intégrabilité se transmettent d'une suite de fonctions à sa limite. Les suites et séries de fonctions permettent de construire rigoureusement des objets mathématiques essentiels tels que la fonction exponentielle, les séries de Fourier, ou encore les solutions d'équations aux dérivées partielles.

Suites de Fonctions : Définitions Fondamentales

Qu’est-ce qu’une Suite de Fonctions ?

Définition (Suite de fonctions)

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une famille de fonctions définies sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . On dit que $(f_n)$ est une suite de fonctions sur $I$ .

Intuitivement, une suite de fonctions associe à chaque entier naturel $n$ une fonction $f_n$ . Par exemple, la suite définie par $f_n(x) = x^n$ sur $[0,1]$ ou la suite $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n}$ sur $\mathbb{R}$ .

Convergence Simple d’une Suite de Fonctions

Définition (Convergence simple)

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , et soit $f : I \to \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$ ). On dit que la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si :

\forall x \in I, \quad \forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_0 \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq n_0, \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon

En d'autres termes, pour chaque point $x$ fixé dans $I$ , la suite numérique $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers le réel $f(x)$ . Le rang $n_0$ à partir duquel la convergence est assurée dépend à la fois de $\varepsilon$ et du point $x$ considéré.

Exemple concret : Considérons $f_n(x) = x^n$ sur $[0,1]$ . Pour $x \in [0,1[$ , on a $\lim_{n \to +\infty} x^n = 0$ . Pour $x = 1$ , on a $f_n(1) = 1$ pour tout $n$ . Ainsi, la suite converge simplement vers la fonction définie par morceaux :

f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0,1[ \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}

Remarquons que chaque fonction $f_n$ est continue sur $[0,1]$ , mais la limite $f$ est discontinue en $x = 1$ . Cet exemple montre qu'en convergence simple, la continuité n'est pas nécessairement préservée.

Convergence Uniforme : Un Concept Plus Fort

La convergence simple ne suffit pas toujours pour garantir la transmission des propriétés de régularité. C'est pourquoi on introduit un mode de convergence plus restrictif : la convergence uniforme.

Définition (Convergence uniforme)

\forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_0 \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in I, \quad \forall n \geq n_0, \quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon

La différence essentielle avec la convergence simple réside dans l'ordre des quantificateurs : ici, le rang $n_0$ ne dépend que de $\varepsilon$ et pas du point $x$ . Cela signifie que la convergence se fait "à la même vitesse" pour tous les points de $I$ .

Interprétation géométrique : La convergence uniforme signifie que pour $n$ assez grand, le graphe de $f_n$ reste dans une bande horizontale d'épaisseur $2\varepsilon$ autour du graphe de $f$ , et ce pour tous les points $x \in I$ simultanément.

Caractérisation par la Norme Infinie

Pour des fonctions bornées, on peut reformuler la convergence uniforme de manière équivalente. Posons :

\| f_n - f \|_{\infty, I} = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|

Proposition (Caractérisation de la convergence uniforme)

Si toutes les fonctions $f_n$ et $f$ sont bornées sur $I$ , alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si et seulement si :

\lim_{n \to +\infty} \| f_n - f \|_{\infty, I} = 0

Cette caractérisation est très pratique : pour prouver la convergence uniforme, il suffit d'étudier la suite numérique $(\| f_n - f \|_{\infty, I})_{n \in \mathbb{N}}$ et de montrer qu'elle tend vers zéro.

Relation entre Convergence Simple et Uniforme

Propriété fondamentale

La convergence uniforme implique la convergence simple. Autrement dit : si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ , alors $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ .

Démonstration intuitive : Si le rang $n_0$ fonctionne pour tous les points $x \in I$ simultanément (convergence uniforme), alors en particulier il fonctionne pour chaque point $x$ pris individuellement (convergence simple).

Attention : La réciproque est fausse ! La convergence simple n'implique pas la convergence uniforme. L'exemple $f_n(x) = x^n$ sur $[0,1]$ illustre bien ceci : il y a convergence simple mais pas convergence uniforme (la discontinuité de la limite le prouve).

Théorèmes de Régularité pour les Suites de Fonctions

Conservation de la Continuité

L'un des résultats les plus importants concernant la convergence uniforme est qu'elle préserve la continuité.

Théorème (Continuité de la limite uniforme)

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur un intervalle $I$ qui converge uniformément vers une fonction $f$ sur $I$ . Alors $f$ est continue sur $I$ .

Idée de la démonstration : Pour montrer que $f$ est continue en un point $a \in I$ , on utilise l'inégalité triangulaire :

|f(x) - f(a)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(a)| + |f_n(a) - f(a)|

Soit $\varepsilon > 0$ . Par convergence uniforme, il existe $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$ , on ait $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon/3$ pour tout $x \in I$ . Fixons un tel $n$ . Comme $f_n$ est continue en $a$ , il existe $\delta > 0$ tel que si $|x - a| < \delta$ , alors $|f_n(x) - f_n(a)| < \varepsilon/3$ . On obtient alors $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ , ce qui prouve la continuité de $f$ en $a$ .

Conséquence par Contraposition

Une conséquence pratique de ce théorème est son énoncé par contraposition : si les fonctions $f_n$ sont continues et si la limite simple $f$ est discontinue, alors la convergence n'est pas uniforme. C'est ce qui se produit avec l'exemple $f_n(x) = x^n$ sur $[0,1]$ .

Interversion Limite-Intégrale

Un autre résultat crucial concerne l'interversion limite intégrale, qui permet de calculer l'intégrale d'une limite.

Théorème (Interversion limite-intégrale sur un segment)

Soit $[a,b]$ un segment de $\mathbb{R}$ et soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur $[a,b]$ qui converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$ . Alors $f$ est intégrable sur $[a,b]$ et :

\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx

Autrement dit, on peut échanger la limite et l'intégrale.

Démonstration : Par le théorème précédent, $f$ est continue, donc intégrable. De plus, par l'inégalité triangulaire pour l'intégrale :

\left| \int_a^b f_n(x) \, dx - \int_a^b f(x) \, dx \right| = \left| \int_a^b (f_n(x) - f(x)) \, dx \right| \leq \int_a^b |f_n(x) - f(x)| \, dx

Par convergence uniforme, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$ , on ait $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{b-a}$ pour tout $x \in [a,b]$ . D'où :

\int_a^b |f_n(x) - f(x)| \, dx < \int_a^b \frac{\varepsilon}{b-a} \, dx = \varepsilon

Ceci prouve que $\int_a^b f_n(x) \, dx \to \int_a^b f(x) \, dx$ .

Dérivation des Limites

La question de la dérivabilité est plus délicate. Même si une suite de fonctions dérivables converge uniformément, la limite n'est pas nécessairement dérivable. Cependant, sous des hypothèses supplémentaires sur les dérivées, on peut obtenir un résultat.

Théorème (Dérivation de la limite)

Soit $I$ un intervalle ouvert et soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ . On suppose que :

Il existe un point $x_0 \in I$ tel que la suite numérique $(f_n(x_0))$ converge.
La suite des dérivées $(f_n')$ converge uniformément vers une fonction $g$ sur tout segment inclus dans $I$ .

Alors la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $f' = g$ .

Idée de la démonstration : Par le théorème fondamental du calcul intégral, pour tout $x \in I$ :

f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x f_n'(t) \, dt

Par hypothèse, $f_n(x_0) \to \ell$ et $f_n' \to g$ uniformément sur tout segment. En utilisant l'interversion limite-intégrale, on obtient à la limite :

f(x) = \ell + \int_{x_0}^x g(t) \, dt

Comme $g$ est continue (limite uniforme de fonctions continues), la fonction $x \mapsto \int_{x_0}^x g(t) \, dt$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et sa dérivée vaut $g(x)$ . Donc $f' = g$ .

Piège classique : L'hypothèse de convergence en un point $x_0$ est indispensable. Sans cette hypothèse, la suite $(f_n)$ pourrait ne pas converger du tout, même si les dérivées convergent uniformément !

Séries de Fonctions : Définitions et Convergence

Qu’est-ce qu’une Série de Fonctions ?

Définition (Série de fonctions)

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur un ensemble $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . On appelle série de fonctions de terme général $u_n$ la suite des sommes partielles $(S_n)$ définie par :

S_n(x) = \sum_{k=0}^n u_k(x) = u_0(x) + u_1(x) + \cdots + u_n(x)

On note cette série $\sum_{n \geq 0} u_n$ ou simplement $\sum u_n$ .

Modes de Convergence des Séries de Fonctions

Convergence Simple d'une Série

Définition (Convergence simple d'une série)

On dit que la série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ si la suite des sommes partielles $(S_n)$ converge simplement sur $I$ . Dans ce cas, on note $S$ la fonction somme définie par :

S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x) = \lim_{n \to +\infty} S_n(x)

Pour chaque point $x \in I$ , la série numérique $\sum u_n(x)$ doit converger.

Convergence Uniforme d'une Série

Définition (Convergence uniforme d'une série)

On dit que la série $\sum u_n$ converge uniformément sur $I$ si la suite des sommes partielles $(S_n)$ converge uniformément sur $I$ .

Une caractérisation très utile fait intervenir le reste d'ordre $n$ de la série.

Définition (Reste d'ordre n)

Si la série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ vers $S$ , on définit le reste d'ordre $n$ par :

R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x) = S(x) - S_n(x)

Proposition (Caractérisation par le reste)

Une série de fonctions $\sum u_n$ converge uniformément sur $I$ si et seulement si elle converge simplement sur $I$ et la suite des restes $(R_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $I$ .

Convergence Normale : Un Critère Pratique

En pratique, il est souvent difficile d'étudier directement la convergence uniforme car on ne dispose pas toujours d'une expression explicite du reste. La convergence normale fournit une condition suffisante très utilisée.

Définition (Convergence normale)

On dit que la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $I$ si la série numérique $\sum \| u_n \|_{\infty, I}$ converge, où :

\| u_n \|_{\infty, I} = \sup_{x \in I} |u_n(x)|

Autrement dit, il faut trouver une majoration de la forme $|u_n(x)| \leq a_n$ pour tout $x \in I$ , où $(a_n)$ est une suite telle que la série numérique $\sum a_n$ converge.

Théorème fondamental

Si une série de fonctions converge normalement sur $I$ , alors elle converge uniformément sur $I$ (et donc aussi simplement).

Démonstration : Supposons que $\sum \| u_n \|_{\infty, I}$ converge. Soit $\varepsilon > 0$ . Puisque la série numérique $\sum \| u_n \|_{\infty, I}$ vérifie le critère de Cauchy, il existe $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$ et tout $p \geq 1$ :

\sum_{k=n+1}^{n+p} \| u_k \|_{\infty, I} < \varepsilon

Alors pour tout $x \in I$ , par l'inégalité triangulaire :

\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x) \right| \leq \sum_{k=n+1}^{n+p} |u_k(x)| \leq \sum_{k=n+1}^{n+p} \| u_k \|_{\infty, I} < \varepsilon

Ceci prouve que la suite des sommes partielles $(S_n)$ vérifie le critère de Cauchy uniforme, donc converge uniformément.

Remarque importante : La convergence uniforme n'implique pas la convergence normale ! Il existe des séries qui convergent uniformément sans converger normalement. Par exemple, la série alternée $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{x+n}$ sur $[0,+\infty[$ converge uniformément mais pas normalement.

Implications entre les Modes de Convergence

Résumons les implications :

\text{Convergence normale} \implies \text{Convergence uniforme} \implies \text{Convergence simple}

Les réciproques sont toutes fausses. Chaque mode de convergence est strictement plus fort que le suivant.

Théorèmes de Régularité pour les Séries de Fonctions

Les théorèmes établis pour les suites de fonctions s'appliquent naturellement aux séries de fonctions en les considérant via leur suite de sommes partielles.

Continuité de la Somme d’une Série

Théorème (Continuité)

Soit $\sum u_n$ une série de fonctions continues sur un intervalle $I$ qui converge uniformément vers une somme $S$ sur $I$ . Alors $S$ est continue sur $I$ .

En pratique, on utilise souvent le corollaire suivant :

Corollaire pratique

Si les fonctions $u_n$ sont continues sur $I$ et si la série $\sum u_n$ converge normalement sur $I$ , alors sa somme $S$ est continue sur $I$ .

Intégration Terme à Terme

Théorème (Intégration terme à terme)

Soit $[a,b]$ un segment de $\mathbb{R}$ et soit $\sum u_n$ une série de fonctions continues sur $[a,b]$ qui converge uniformément vers $S$ sur $[a,b]$ . Alors :

\int_a^b S(x) \, dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b u_n(x) \, dx

Autrement dit, on peut intégrer terme à terme une série de fonctions continues qui converge uniformément.

Conséquence pratique : Si de plus la série converge normalement, on peut également intégrer terme à terme.

Dérivation Terme à Terme

Théorème (Dérivation terme à terme)

Soit $I$ un intervalle ouvert et soit $\sum u_n$ une série de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ . On suppose que :

La série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $S$ .
La série des dérivées $\sum u_n'$ converge uniformément sur tout segment de $I$ .

Alors $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et :

S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n'(x)

Ce théorème est extrêmement utile pour calculer la dérivée de fonctions définies par des séries.

Exemple d'application : Pour la série exponentielle $e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$ , on peut montrer que la série des dérivées $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{nx^{n-1}}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$ converge normalement sur tout compact. On retrouve ainsi que $(e^x)' = e^x$ .

Critères de Convergence Uniforme

Critère de Cauchy Uniforme

Critère de Cauchy uniforme pour les séries

Une série $\sum u_n$ converge uniformément sur $I$ si et seulement si :

\forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_0 \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq n_0, \quad \forall p \geq 1, \quad \sup_{x \in I} \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x) \right| < \varepsilon

Critère Spécial des Séries Alternées

Pour les séries alternées, on dispose d'un critère très pratique.

Théorème (Critère des séries alternées pour la convergence uniforme)

Soit $\sum (-1)^n u_n$ une série de fonctions sur $I$ . On suppose que :

Pour tout $x \in I$ , la suite $(u_n(x))$ est décroissante et tend vers 0.
La suite de fonctions $(u_n)$ converge uniformément vers 0 sur $I$ .

Alors la série $\sum (-1)^n u_n$ converge uniformément sur $I$ .

De plus, on dispose d'une majoration du reste : $|R_n(x)| \leq u_{n+1}(x)$ pour tout $x \in I$ .

Exemple : La série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{x+n}$ sur $[0,+\infty[$ vérifie ces conditions. On a $u_n(x) = \frac{1}{x+n}$ qui est décroissante en $n$ pour chaque $x$ , et $u_n(x) \to 0$ uniformément sur $[0,+\infty[$ car $\sup_{x \geq 0} u_n(x) = \frac{1}{n} \to 0$ . Donc la série converge uniformément.

Règle d’Abel Uniforme

Règle d'Abel uniforme

Soit $\sum u_n(x) v_n(x)$ une série de fonctions sur $I$ . On suppose que :

La suite $(u_n)$ est une suite de fonctions positives décroissantes qui converge uniformément vers 0 sur $I$ .
Les sommes partielles $V_n = \sum_{k=0}^n v_k$ sont uniformément bornées sur $I$ , c'est-à-dire qu'il existe $M > 0$ tel que pour tout $n$ et tout $x \in I$ , $|V_n(x)| \leq M$ .

Alors la série $\sum u_n v_n$ converge uniformément sur $I$ .

Ce critère est particulièrement utile pour les séries trigonométriques.

Conclusion et Points Clés

Les suites et séries de fonctions constituent un outil fondamental de l'analyse moderne. Ce chapitre a permis de distinguer trois modes de convergence essentiels : la convergence simple, la convergence uniforme, et la convergence normale. Chacun de ces modes possède ses propres propriétés et implications.

Les théorèmes de régularité montrent que la convergence uniforme est la clé pour préserver les propriétés de continuité, dérivabilité et intégrabilité. La convergence normale, bien que plus restrictive, fournit un critère pratique et facile à vérifier dans de nombreux cas concrets.

La maîtrise de ces concepts est indispensable pour aborder des sujets avancés tels que les séries entières, les séries de Fourier, et l'analyse fonctionnelle. Les suites et séries de fonctions interviennent également dans la résolution numérique d'équations différentielles et dans l'étude des transformées intégrales.

Retenez les implications fondamentales : convergence normale $\implies$ convergence uniforme $\implies$ convergence simple, et les théorèmes de régularité qui permettent d'intervertir limites, intégrales et dérivées sous des hypothèses de convergence uniforme.