Suites numériques Première : cours et méthodes

Les suites numériques en Première modélisent des phénomènes qui évoluent par étapes : capital après chaque année, population après chaque génération ou nombre d'objets dans un motif. L'indice n joue le rôle d'un temps discret.

Une suite peut être donnée directement par une formule, construite terme après terme par récurrence, décrite par un algorithme ou par une figure. Passer entre ces modes de génération est une compétence centrale du nouveau programme.

Table des Matières

Distinguer formule explicite et relation de récurrence

Indice, terme et mode de génération

Une suite $(u_n)$ associe un nombre réel à chaque entier naturel d'un ensemble d'indices. Une formule explicite calcule $u_n$ directement à partir de $n$ . Une relation de récurrence calcule un terme à partir d'un ou plusieurs termes précédents et exige une valeur initiale.

Étudier les variations par la différence ou le quotient

Comparer deux termes consécutifs

Pour comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ , on étudie souvent la différence $u_{n+1}-u_n$ . Si les termes sont strictement positifs, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ peut être plus efficace. Le signe obtenu doit être justifié pour tous les indices concernés.

u_{n+1}-u_n\geq0\quad\text{ou, si }u_n\gt 0,\quad\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1.

Modéliser une population définie par récurrence

Une population compte 800 individus. Chaque année, elle augmente de 6 % puis perd 20 individus. On note $u_n$ l'effectif après $n$ années.

Le terme initial est $u_0=800$ .
Une hausse de 6 % multiplie par 1,06, puis on retire 20.
La relation est $u_{n+1}=1{,}06u_n-20$ .
$u_1=828$ et $u_2=857{,}68$ , si le modèle accepte des valeurs réelles.
L'évolution n'est ni arithmétique ni géométrique, car elle combine multiplication et soustraction.

Passer d’une description à un modèle discret

Choisir l'indice initial et préciser ce que représente $u_n$ .
Identifier si l'évolution dépend de n directement ou du terme précédent.
Écrire la formule puis calculer plusieurs termes pour la contrôler.
Représenter les points $(n;u_n)$ , sans relier automatiquement les points par une courbe continue.
Étudier variations et seuil en revenant à la signification du modèle.

Justifier une formule par récurrence à partir du modèle

Traduire fidèlement une évolution

La relation n'est valide que si chaque étape applique exactement la même transformation. On part de l'effectif $u_n$ , la hausse donne $1{,}06u_n$ , puis la perte fixe donne $1{,}06u_n-20$ . Le rang $n+1$ correspond bien à l'année suivante.

Lire une suite comme un nuage de points

Les points ont des abscisses entières. Les relier peut aider à percevoir une tendance, mais les valeurs intermédiaires n'appartiennent pas nécessairement au modèle. Une limite éventuelle décrit le comportement des termes quand n devient grand, sans créer un temps continu.

Suite numérique représentée par des points isolés — Une suite est définie aux rangs entiers : ses termes se lisent comme un nuage de points et non comme une courbe continue.

Chercher un seuil et conjecturer une limite

Un algorithme peut chercher le premier rang où $u_n$ dépasse une cible. Un tableau ou un graphique permet de conjecturer une stabilisation, une croissance sans borne ou une oscillation. La conjecture guide le raisonnement sans le remplacer.

Les modèles classiques sont développés dans les suites arithmétiques et géométriques. Les croissances discrètes seront comparées à la fonction exponentielle.

Le périmètre de cette leçon suit le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de suites numériques Première. Les prolongements signalés servent directement à chercher un seuil et conjecturer une limite.

Repères symboliques pour suites numériques Première

Écriture	Lecture et usage
$u_n=f(n)$	définition explicite
$u_{n+1}=f(u_n)$	définition par récurrence
$u_{n+1}-u_n$	différence de deux termes consécutifs
$\frac{u_{n+1}}{u_n}$	quotient pour des termes positifs
$n=\min\{k:u_k\gt A\}$	premier rang de franchissement d'un seuil

Contrôler indice initial, récurrence et seuil

Erreur fréquente : une relation de récurrence sans terme initial ne définit pas une suite unique. Plusieurs suites peuvent satisfaire la même relation en partant de valeurs différentes.

Contrôle utile : calculer les trois premiers termes par deux voies, formule et description, puis vérifier que l'indice associé à chaque terme est cohérent.