Suite convergence et limite d'une suite (Cours)

La convergence et limite d'une suite est un chapitre central de l'analyse : au programme de Terminale, en CPGE et à l'université, c'est la notion qui permet de répondre à une question simple - vers quoi tend $u_n$ quand $n$ grandit indéfiniment ? Ce cours présente la définition rigoureuse, les théorèmes essentiels (gendarmes, convergence monotone) et les suites de référence.

Table des Matières

Définitions : suite convergente, suite divergente et limite d’une suite

Avant de poser la définition rigoureuse, revenons sur l'intuition. Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres réels indexés par les entiers naturels. Étudier sa convergence, c'est se demander : que se passe-t-il lorsque $n$ devient arbitrairement grand ? Les termes de la suite s'approchent-ils indéfiniment d'une valeur fixe ?

Définition : Limite finie et suite convergente

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels et $\ell$ un réel. On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$ , ou que $\ell$ est la limite de $(u_n)$ , si :

\forall \varepsilon > 0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad |u_n - \ell| < \varepsilon.

On note alors :

\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \qquad \text{ou} \qquad u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell.

Une telle suite est dite convergente.

Décodons la définition : que signifie vraiment $|u_n - \ell| < \varepsilon$ ?

L'expression $|u_n - \ell| < \varepsilon$ signifie que $u_n$ se trouve dans l'intervalle ouvert $\,]\ell - \varepsilon \, \, \ell + \varepsilon[\,$ . En d'autres termes, $u_n$ est à une distance strictement inférieure à $\varepsilon$ de $\ell$ . La définition dit donc : quelle que soit la précision $\varepsilon$ qu'on exige (aussi petite soit-elle), à partir d'un certain rang $N$ , tous les termes suivants de la suite sont à distance inférieure à $\varepsilon$ de $\ell$ .

Le rang $N$ dépend de $\varepsilon$ : plus $\varepsilon$ est petit, plus il faut généralement attendre longtemps (rang $N$ élevé) pour que les termes soient aussi proches de $\ell$ .

Définition : Suite divergente

Une suite est divergente si elle n'est pas convergente. Il existe deux grandes catégories de suites divergentes :

Divergence vers $+\infty$ : $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si pour tout réel $M$ , il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n \geq N$ , on ait $u_n \geq M$ .
$\forall M \in \mathbb{R},\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad u_n \geq M.$
Divergence sans limite : certaines suites oscillent indéfiniment sans se rapprocher d'aucune valeur. Par exemple, la suite $u_n = (-1)^n$ oscille entre $-1$ et $1$ sans jamais converger.

⚠ Erreur fréquente : « Suite divergente » ne veut pas dire « suite qui tend vers l'infini ». Une suite peut diverger sans avoir de limite infinie ni finie ; c'est le cas de $u_n = (-1)^n$ . Ne confondez pas les deux situations.

Propriétés fondamentales des suites convergentes

Propriété 1 : Unicité de la limite

Si une suite $(u_n)$ converge, sa limite est unique.

Idée de la démonstration : supposons que $u_n \to \ell_1$ et $u_n \to \ell_2$ avec $\ell_1 \neq \ell_2$ . En prenant $\varepsilon = \frac{|\ell_1 - \ell_2|}{2} > 0$ , les intervalles $]\ell_1 - \varepsilon\, \,\ell_1 + \varepsilon[$ et $]\ell_2 - \varepsilon\, \,\ell_2 + \varepsilon[$ sont disjoints. Or, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite doivent appartenir aux deux intervalles simultanément ; ce qui est impossible. Contradiction.

Propriété 2 : Toute suite convergente est bornée

Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ , alors $(u_n)$ est bornée : il existe un réel $M > 0$ tel que $|u_n| \leq M$ pour tout $n$ .

Conséquence immédiate (contraposée) : si une suite n'est pas bornée, alors elle diverge.

⚠ Attention : la réciproque est fausse. Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente. La suite $u_n = (-1)^n$ est bornée (par $1$ ) mais diverge.

Propriété 3 : Passage à la limite et inégalités

Soit $(u_n)$ une suite convergente de limite $\ell$ . Si $u_n \leq M$ pour tout $n$ (ou à partir d'un certain rang), alors $\ell \leq M$ .

⚠ Attention : les inégalités strictes ne se transmettent pas nécessairement à la limite. Si $u_n < M$ pour tout $n$ , on peut seulement conclure que $\ell \leq M$ (et non $\ell < M$ ). Exemple : $u_n = 1 - \tfrac{1}{n} < 1$ pour tout $n \geq 1$ , mais $\lim u_n = 1$ .

Interprétation graphique de la convergence d’une suite

Graphiquement, représenter une suite revient à placer les points de coordonnées $(n,\, u_n)$ dans le plan. La suite converge vers $\ell$ si et seulement si, quel que soit le « couloir » horizontal $]\ell - \varepsilon\, \,\ell + \varepsilon[$ tracé autour de la droite $y = \ell$ , tous les points se trouvent à l'intérieur de ce couloir à partir d'un certain rang $N$ . Plus le couloir est étroit, plus le rang $N$ peut être grand ; mais il existe toujours.

Cette image du couloir est très utile pour comprendre pourquoi une suite oscillante comme $(-1)^n$ ne converge pas : quelle que soit la valeur candidate $\ell$ , on peut toujours choisir un couloir assez étroit pour que des termes en sortent indéfiniment.

Opérations sur les limites de suites et formes indéterminées

Si $(u_n) \to \ell$ et $(v_n) \to m$ (avec $\ell, m \in \mathbb{R}$ ), alors :

Opération	Limite	Condition
$u_n + v_n$	$\ell + m$	Toujours valable
$\lambda \cdot u_n$ ( $\lambda \in \mathbb{R}$ )	$\lambda \cdot \ell$	Toujours valable
$u_n \cdot v_n$	$\ell \cdot m$	Toujours valable
$u_n / v_n$	$\ell / m$	$m \neq 0$
$\|u_n\|$	$\|\ell\|$	Toujours valable

Formes indéterminées à lever

Certaines combinaisons ne permettent pas de conclure directement et nécessitent une étude plus approfondie. Ce sont les formes indéterminées :

$"+\infty - \infty"$
$"0 \times \infty"$
$"\infty / \infty"$ et $"0 / 0"$
$"1^\infty"$

La technique habituelle consiste à factoriser par le terme dominant. Par exemple, pour $u_n = \frac{3n^2 + n}{2n^2 - 5}$ , on factorise numérateur et dénominateur par $n^2$ :

u_n = \frac{3n^2 + n}{2n^2 - 5} = \frac{3 + \tfrac{1}{n}}{2 - \tfrac{5}{n^2}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{3}{2}.

Théorème des gendarmes (théorème d’encadrement) : démonstration et exemples

Théorème des gendarmes

Soient $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites réelles. Si, à partir d'un certain rang :

u_n \leq v_n \leq w_n

et si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le même réel $\ell$ , alors $(v_n)$ est convergente et :

\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell.

Démonstration du théorème des gendarmes

Soit $\varepsilon > 0$ . Puisque $u_n \to \ell$ , il existe $N_1$ tel que $\forall n \geq N_1$ , $|u_n - \ell| < \varepsilon$ , soit $\ell - \varepsilon < u_n$ . Puisque $w_n \to \ell$ , il existe $N_2$ tel que $\forall n \geq N_2$ , $w_n < \ell + \varepsilon$ . Soit $N_3$ le rang à partir duquel l'encadrement $u_n \leq v_n \leq w_n$ est valide. En posant $N = \max(N_1, N_2, N_3)$ , pour tout $n \geq N$ :

\ell - \varepsilon < u_n \leq v_n \leq w_n < \ell + \varepsilon,

ce qui donne $|v_n - \ell| < \varepsilon$ . La suite $(v_n)$ converge donc vers $\ell$ . $\square$

Exemple classique

Montrons que $\displaystyle v_n = \frac{\sin n}{n}$ tend vers $0$ .

On sait que $-1 \leq \sin n \leq 1$ pour tout entier $n$ . En divisant par $n > 0$ :

-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}.

Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ . Par le théorème des gendarmes : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n}{n} = 0$ .

Théorème de convergence monotone pour les suites bornées

Théorème de la limite monotone

Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .
Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$ .

Intuition géométrique

Imaginez une suite croissante comme un alpiniste qui grimpe toujours vers le haut. S'il y a une falaise (le majorant) au-dessus de lui, il ne peut pas la traverser ; il va donc se rapprocher indéfiniment d'une altitude maximale, c'est-à-dire converger. Sans falaise, il grimpe sans limite vers $+\infty$ .

⚠ Piège classique : si $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ , la suite converge, mais sa limite n'est pas nécessairement $2$ . Elle est inférieure ou égale à $2$ . Le théorème garantit l'existence de la limite, pas sa valeur exacte.

Application aux suites définies par récurrence

Ce théorème est particulièrement utile pour les suites définies par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ . La méthode générale est la suivante :

Montrer par récurrence que la suite est monotone (croissante ou décroissante).
Montrer par récurrence qu'elle est bornée.
Conclure par le théorème de convergence monotone qu'elle admet une limite $\ell$ .
Déterminer $\ell$ en passant à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ , ce qui donne $\ell = f(\ell)$ (point fixe), sous réserve que $f$ soit continue en $\ell$ .

Limites de suites usuelles à connaître absolument

Suite $(u_n)$	Limite quand $n \to +\infty$	Condition
$\dfrac{1}{n^k}$	$0$	$k > 0$
$q^n$	$0$	$\|q\| < 1$
$q^n$	$+\infty$	$q > 1$
$q^n$	$1$	$q = 1$
$q^n$	Pas de limite	$q \leq -1$
$n^k$ ( $k > 0$ )	$+\infty$	Non définie
$\sqrt{n}$	$+\infty$	Non définie
$\ln n$	$+\infty$	Non définie
$\dfrac{\ln n}{n}$	$0$	Non définie

Pour les suites géométriques de raison $q$ , la valeur de $|q|$ par rapport à $1$ est donc le critère décisif : $|q| < 1$ implique la convergence vers $0$ , $q = 1$ donne une suite constante, et $q > 1$ ou $q \leq -1$ implique la divergence. Pour en savoir plus, consultez notre cours sur les suites géométriques.

Conclusion : maîtriser la convergence et la limite d’une suite

La convergence et la limite d'une suite reposent sur une idée intuitive simple (les termes de la suite se rapprochent indéfiniment d'une valeur) mais sa traduction formelle (la définition $\varepsilon\text{-}N$ ) requiert un véritable apprentissage. Retenir les grandes lignes du cours :

Une suite converge si ses termes se stabilisent arbitrairement près d'un réel $\ell$ à partir d'un certain rang.
La limite est unique ; toute suite convergente est bornée.
Le théorème des gendarmes est l'outil principal pour les suites difficiles à majorer directement.
Le théorème de convergence monotone est la clé pour les suites définies par récurrence.
La suite bornée n'est pas forcément convergente ; la divergence ne signifie pas nécessairement que la suite tend vers l'infini.

Pour approfondir, consultez la page Limite d'une suite sur Wikipédia (référence académique détaillée), ainsi que nos cours connexes sur les suites arithmétiques et les suites géométriques