Limite d'une fonction en un point : Cours

Comprendre la limite d'une fonction en un point est l'une des clés de voûte de l'analyse mathématique, au lycée comme en première année universitaire. Cette notion répond à une question très naturelle : lorsque la variable $x$ se rapproche d'une valeur $a$ , vers quelle valeur $f(x)$ se dirige-t-elle ? La réponse, rigoureuse mais accessible, structure tout ce qui suit en continuité, en dérivation et en intégration.

Ce cours couvre intégralement les cas de la limite finie en un point, de la limite infinie en un point, des limites à gauche et à droite, des liens avec la continuité et les asymptotes verticales.

Table des Matières

Définition intuitive : qu’est-ce que la limite d’une fonction en un point ?

Avant toute formule, construisons l'intuition. Imaginez que vous marchez sur la courbe représentative d'une fonction $f$ et que vous vous approchez du point d'abscisse $a$ - sans nécessairement y poser le pied. La question est : vers quel point de l'axe des ordonnées votre regard converge-t-il ?

Si, quelle que soit la direction dont vous approchez (par la gauche ou par la droite), votre regard converge toujours vers la même hauteur $L$ , on dit que $f$ admet $L$ pour limite en $a$ .

Idée centrale : la limite ne décrit pas la valeur de $f$ en $a$ , mais le comportement de $f$ au voisinage de $a$ . La fonction peut même ne pas être définie en $a$ , et avoir tout de même une limite parfaitement bien définie.

Définition formelle de la limite finie en un point

Définition : Limite finie en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , sauf éventuellement en $a$ . Soit $L$ un réel. On dit que $f$ admet $L$ pour limite en $a$ , et on note

\lim_{x \to a} f(x) = L

si les valeurs $f(x)$ peuvent être rendues aussi proches que l'on veut de $L$ , dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ (sans lui être égal).

Formulation epsilon-delta (niveau université)

La définition précise dite epsilon-delta, introduite par Cauchy et Weierstrass, traduit rigoureusement « aussi proche que l'on veut » :

\forall \varepsilon > 0,\; \exists \eta > 0,\; \forall x \in I,\; 0 < |x - a| < \eta \implies |f(x) - L| < \varepsilon

En langage courant : le joueur Epsilon choisit une tolérance $\varepsilon$ aussi petite qu'il veut. Le joueur Delta doit alors trouver un voisinage de $a$ (de rayon $\eta$ ) dans lequel $f(x)$ reste à distance inférieure à $\varepsilon$ de $L$ . Si Delta gagne toujours, la limite existe et vaut $L$ .

Unicité de la limite

Théorème d'unicité. Si $f$ admet une limite en $a$ , cette limite est unique.

Ce résultat, démontré par l'absurde, garantit qu'on ne peut pas avoir simultanément $\lim_{x \to a} f(x) = L_1$ et $\lim_{x \to a} f(x) = L_2$ avec $L_1 \neq L_2$ .

Limites à gauche et à droite en un point

Il arrive que la fonction se comporte différemment selon que $x$ approche $a$ par des valeurs inférieures ou supérieures. C'est pourquoi on distingue deux concepts :

Limite à gauche

On note $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$ la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ en restant strictement inférieur à $a$ .

Limite à droite

On note $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$ la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ en restant strictement supérieur à $a$ .

Théorème fondamental

$f$ admet une limite en $a$ si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales :

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

Exemple illustratif : fonction définie par morceaux

Considérons la fonction :

f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 5 - x & \text{si } x \geq 2 \end{cases}

Calculons les limites à gauche et à droite en $a = 2$ :

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 3

Les deux limites sont égales à $3$ . Donc $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ . Ici, $f(2) = 5 - 2 = 3$ également : la fonction est continue en $2$ .

Exemple de non-existence de la limite

Considérons maintenant :

g(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x > 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \end{cases}

En $a = 0$ : $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} g(x) = -1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x) = 1$ . Les limites latérales sont différentes : la limite de $g$ en $0$ n'existe pas.

Limite infinie en un point et asymptote verticale

Parfois, lorsque $x$ se rapproche de $a$ , $f(x)$ ne tend pas vers un réel fini mais « s'envole » vers l'infini. C'est la notion de limite infinie en un point.

Définition

On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $a$ si, pour tout réel $A$ aussi grand que l'on veuille, $f(x) > A$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ . On note :

\lim_{x \to a} f(x) = +\infty

Propriété : Asymptote verticale

Lorsque $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (ou même si seulement l'une des limites latérales est infinie), la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ .

Exemple fondamental : la fonction inverse

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , définie sur $\mathbb{R}^*$ . Étudions les limites en $0$ :

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty

Les limites latérales sont toutes deux infinies mais de signes opposés : la limite en $0$ n'existe pas (au sens d'une limite finie). Cependant, la droite $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est bien une asymptote verticale à la courbe de $f$ .

Lien entre limite et continuité en un point

La notion de limite d'une fonction en un point est intimement liée à celle de continuité. Voici le lien précis :

Théorème : Limite et continuité

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $a$ . Alors $f$ est continue en $a$ si et seulement si :

$f$ est définie en $a$ ,
$f$ admet une limite en $a$ ,
cette limite est égale à $f(a)$ .

f \text{ continue en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Autrement dit, quand une fonction est continue en un point, on peut calculer sa limite en ce point simplement en substituant $a$ à $x$ . C'est la situation la plus simple, valable notamment pour tous les polynômes, les fonctions rationnelles (là où elles sont définies), les fonctions trigonométriques, etc.

⚠ Erreur fréquente : Confondre « limite de $f$ en $a$ » et « valeur de $f(a)$ ». Ces deux quantités sont distinctes en général. Une fonction peut très bien ne pas être définie en $a$ et pourtant admettre une limite finie en ce point (c'est le cas de $\frac{\sin x}{x}$ en $0$ , par exemple).

Opérations sur les limites et formes indéterminées

Lorsqu'on sait calculer les limites de $f$ et $g$ séparément, on dispose de règles pour en déduire la limite de $f + g$ , $f \times g$ , $f/g$ , etc.

Propriétés opératoires

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = M$ avec $L, M \in \mathbb{R}$ , alors :

$\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$
$\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = L \times M$
Si $M \neq 0$ : $\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$

Les formes indéterminées

Ces règles opératoires ont leurs limites. Certaines situations ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées. Les principales à connaître en un point sont :

Forme indéterminée	Exemple typique	Stratégie
$\dfrac{0}{0}$	$\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ en $x \to 1$	Factoriser, simplifier
$\dfrac{\infty}{\infty}$	$\dfrac{x^2 + x}{x}$ en $x \to +\infty$	Factoriser par le terme dominant
$+\infty - \infty$	$\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ en $x \to +\infty$	Expression conjuguée
$0 \times \infty$	$x \ln x$ en $x \to 0^+$	Réécrire en quotient

Le théorème des gendarmes

Quand une fonction est difficile à étudier directement, on peut parfois l'encadrer entre deux fonctions dont les limites sont connues et égales. C'est le puissant théorème des gendarmes (ou théorème du sandwich).

Théorème des gendarmes

Soient $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions définies au voisinage de $a$ . Si, au voisinage de $a$ :

g(x) \leq f(x) \leq h(x) \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L

alors $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ .

Application : limite de $x \sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)$ en $0$

Soit $f(x) = x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ , définie pour $x \neq 0$ . On ne peut pas écrire directement la limite du produit car $\sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$ . Cependant, comme $|\sin(t)| \leq 1$ pour tout $t$ , on a :

-|x| \leq x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \leq |x|

Or $\displaystyle\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} |x| = 0$ . Par le théorème des gendarmes :

\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0

Ce qu’il faut retenir sur la limite d’une fonction en un point

La limite d'une fonction en un point est une notion qui décrit le comportement local d'une fonction : non pas ce qu'elle vaut en ce point, mais vers quelle valeur elle tend lorsqu'on s'en approche. Les points essentiels à maîtriser sont :

La définition intuitive : $f(x)$ peut être rendu aussi proche que l'on veut de $L$ dès que $x$ est assez proche de $a$ .
L'existence d'une limite en $a$ est équivalente à l'égalité des limites à gauche et à droite.
Quand la limite est infinie, la droite $x = a$ est une asymptote verticale.
Une fonction continue en $a$ vérifie exactement $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Les formes indéterminées $\tfrac{0}{0}$ doivent être levées par factorisation ou encadrement (théorème des gendarmes).