Variations et optimisation Première : signe de la dérivée

Exemple 1 : variations d’un trinôme avec la dérivée

Soit $f(x)=2x^2-8x+3$. Alors $f^{\prime}(x)=4x-8=4(x-2)$, qui est négative pour $x\lt 2$, nulle en 2, positive pour $x\gt 2$.

$f(2)=8-16+3=-5$ est le minimum de $f$. On retrouve le sommet donné par la forme canonique $2(x-2)^2-5$ : pour un trinôme, la dérivée et le cours sur le second degré donnent le même résultat, $\alpha=-\frac{b}{2a}$ étant exactement le point où $f^{\prime}$ s'annule.

Exemple 2 : une fonction polynôme de degré 3

Soit $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ sur $\mathbb R$.

Le trinôme $x^2-4x+3$ a pour racine évidente 1 et pour produit des racines 3, donc l'autre racine est 3. Comme son coefficient dominant est positif, $f^{\prime}(x)$ est positive à l'extérieur de $[1\,;3]$ et négative entre 1 et 3. On calcule $f(1)=1-6+9+1=5$ et $f(3)=27-54+27+1=1$.

Contrôle : $f(0)=1\lt f(1)=5$, cohérent avec la croissance sur $\mathopen{]}-\infty\,;1]$.

Exemple 3 : une fonction quotient et le piège de la réunion

Soit $g(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-2\}$. Avec $\left(\frac uv\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}$, $u=2x-1$, $v=x+2$ :

$g^{\prime}(x)\gt 0$ pour tout $x\neq-2$. Donc $g$ est strictement croissante sur $\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}$ et strictement croissante sur $\mathopen{]}-2\,;+\infty\mathclose{[}$.

Elle n'est pas croissante sur $\mathbb R\setminus\{-2\}$ : $g(-3)=\frac{-7}{-1}=7$ alors que $g(0)=-\frac12$, et pourtant $-3\lt 0$. On écrit donc deux intervalles séparés, jamais leur réunion.

Exemple 4 : une fonction avec une racine carrée

Soit $h(x)=x-2\sqrt x$, définie sur $[0\,;+\infty\mathclose{[}$. La racine carrée n'est pas dérivable en 0, donc on dérive sur $\mathopen{]}0\,;+\infty\mathclose{[}$, avec $(\sqrt x)^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt x}$ :

Le dénominateur est strictement positif, donc $h^{\prime}(x)$ a le signe de $\sqrt x-1$ : négatif pour $0\lt x\lt 1$, positif pour $x\gt 1$.

$h$ est décroissante sur $[0\,;1]$ (la continuité en 0 permet d'inclure la borne), croissante sur $[1\,;+\infty\mathclose{[}$, et son minimum vaut $h(1)=1-2=-1$.

Exemple 5 : deux exceptions à connaître

• Dérivée nulle sans extremum. Pour $f(x)=x^3$, $f^{\prime}(0)=0$, mais $f^{\prime}(x)=3x^2\geq0$ ne change pas de signe : $f$ est strictement croissante et n'a pas d'extremum en 0. La réciproque de la condition nécessaire est fausse.
• Extremum sans dérivée nulle. Pour $f(x)=x$ sur $[0\,;1]$, le maximum $1$ est atteint en $x=1$, alors que $f^{\prime}(1)=1$. Le point 1 est une borne de l'intervalle, pas un point intérieur : il faut toujours comparer avec les valeurs aux bornes.

Exemple 6 : la boîte sans couvercle de volume maximal

Dans une feuille carrée de 30 cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle.

Modélisation. La base est un carré de côté $30-2x$ et la hauteur vaut $x$, donc

Il faut $x\gt 0$ et $30-2x\gt 0$, donc $x\in\mathopen{]}0\,;15\mathclose{[}$.

Dérivée. Avec la formule du produit $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$, où $u=x$ et $v=(30-2x)^2$, $v^{\prime}=2\times(-2)(30-2x)$ :

Signe. Sur $\mathopen{]}0\,;15\mathclose{[}$, $30-2x\gt 0$, donc $V^{\prime}(x)$ a le signe de $30-6x$ : positif pour $x\lt 5$, négatif pour $x\gt 5$.

Conclusion. $V(5)=5\times20^2=2000$. Le volume est maximal pour des carrés de 5 cm de côté ; la boîte mesure alors 20 cm sur 20 cm sur 5 cm et contient 2 000 cm³, soit 2 litres. Contrôle : $V(4)=4\times22^2=1936$ et $V(6)=6\times18^2=1944$, tous deux inférieurs à 2 000.

Exemple 7 : minimiser un coût moyen

Le coût de fabrication de $q$ centaines de pièces est $C(q)=q^2+2q+36$ (en centaines d'euros), pour $q\in\mathopen{]}0\,;20]$. Le coût moyen par centaine est

Avec $\left(\frac1q\right)^{\prime}=-\frac1{q^2}$ :

Sur $\mathopen{]}0\,;20]$, $q+6\gt 0$ et $q^2\gt 0$, donc $C_M^{\prime}(q)$ a le signe de $q-6$ : $C_M$ décroît sur $\mathopen{]}0\,;6]$ puis croît sur $[6\,;20]$. Le coût moyen minimal est $C_M(6)=6+2+6=14$, soit 1 400 € par centaine de pièces, pour une production de 600 pièces.

Exemple 8 : la cubique et la première bissectrice

Position de $\mathcal C$ : $y=x^3$ par rapport à la droite $\Delta$ : $y=x$. On pose $d(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$.

$\mathcal C$ est au-dessus de $\Delta$ sur $\mathopen{]}-1\,;0\mathclose{[}$ et sur $\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$, en dessous sur $\mathopen{]}-\infty\,;-1\mathclose{[}$ et sur $\mathopen{]}0\,;1\mathclose{[}$. Elles se coupent aux points d'abscisses $-1$, $0$ et $1$. Contrôle : pour $x=\frac12$, $\frac18\lt\frac12$, la courbe est bien en dessous.

Exemple 9 : une courbe et sa tangente

Soit $f(x)=x^3-3x+1$. On a $f^{\prime}(x)=3x^2-3$, donc $f^{\prime}(1)=0$ et $f(1)=-1$ : la tangente au point d'abscisse 1 est la droite horizontale $T$ : $y=-1$. Différence :

Comme $d(1)=0$ et que la tangente « touche » la courbe en 1, on cherche $d(x)=(x-1)^2(x+c)$. En développant, $(x-1)^2(x+2)=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3-3x+2$, donc $c=2$.

$(x-1)^2\geq0$, donc $d(x)$ a le signe de $x+2$ (et s'annule aussi en 1). La courbe est au-dessus de sa tangente sur $\mathopen{]}-2\,;+\infty\mathclose{[}$, sauf au point de contact d'abscisse 1, et en dessous sur $\mathopen{]}-\infty\,;-2\mathclose{[}$. Elle recoupe la tangente au point $(-2\,;-1)$.

Exemple 10 : démontrer une inégalité avec un minimum

On veut prouver que, pour tout $x\geq0$, $\sqrt x\leq\dfrac{x+1}{2}$ : la courbe de la racine carrée est sous sa tangente en 1, qui a pour équation $y=\frac12x+\frac12$.

Soit $d(x)=\dfrac{x+1}{2}-\sqrt x$ sur $[0\,;+\infty\mathclose{[}$. Pour $x\gt 0$ :

$d^{\prime}$ est négative sur $\mathopen{]}0\,;1\mathclose{[}$ et positive sur $\mathopen{]}1\,;+\infty\mathclose{[}$ : $d$ admet un minimum en 1, égal à $d(1)=1-1=0$. Donc $d(x)\geq0$ pour tout $x\geq0$, ce qu'on voulait. On pouvait aussi remarquer que $d(x)=\frac{(\sqrt x-1)^2}{2}$ : deux méthodes, un même résultat, c'est un bon contrôle.

Exemple 11 : parité puis variations

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$, définie sur $\mathbb R$, ensemble symétrique.

Parité. Pour tout réel $x$, $f(-x)=\dfrac{-x}{(-x)^2+1}=-\dfrac{x}{x^2+1}=-f(x)$ : $f$ est impaire.

Variations sur $[0\,;+\infty\mathclose{[}$.

Sur $[0\,;+\infty\mathclose{[}$, $1-x^2=(1-x)(1+x)$ a le signe de $1-x$ : $f$ croît sur $[0\,;1]$, décroît sur $[1\,;+\infty\mathclose{[}$, avec $f(1)=\frac12$.

Par symétrie. $f$ étant impaire, elle décroît sur $\mathopen{]}-\infty\,;-1]$, croît sur $[-1\,;0]$ et $f(-1)=-\frac12$. Ainsi, pour tout réel $x$, $-\frac12\leq f(x)\leq\frac12$.

Exemple 12 : approcher racine de 2

Avec $f(x)=x^2-2$, $f^{\prime}(x)=2x$ et la formule devient

En partant de $x_0=2$ :

• $x_1=\frac12\left(2+1\right)=1{,}5$ ;
• $x_2=\frac12\left(1{,}5+\frac{2}{1{,}5}\right)=\frac{17}{12}\approx1{,}416\,667$ ;
• $x_3=\frac{577}{408}\approx1{,}414\,216$ ;
• $x_4\approx1{,}414\,213\,562\,4$, qui donne déjà dix décimales exactes de $\sqrt2$.

def newton(f, df, x0, n):
    termes = [x0]
    x = x0
    for k in range(n):
        x = x - f(x) / df(x)
        termes.append(x)
    return termes

f = lambda x: x**2 - 2
df = lambda x: 2*x
print(newton(f, df, 2, 4))

La fonction renvoie la liste $x_0, x_1, \dots, x_n$. Le programme affiche [2, 1.5, 1.4166666666666667, 1.4142156862745099, 1.4142135623746899].