Variations et optimisation Première : signe de la dérivée

Les variations et l'optimisation en Première utilisent le signe de la dérivée pour décrire une fonction. Une dérivée positive indique une croissance locale qui, sur tout un intervalle, conduit à une fonction croissante.

Cette méthode transforme un problème de maximum ou de minimum en étude de signe. Elle permet aussi d'établir des inégalités et de comparer deux courbes en étudiant la différence de leurs fonctions.

Relier signe de f’ et sens de variation

Le signe de f′f' pilote les variations

Sur un intervalle, si f′f' est positive, ff est croissante ; si f′f' est négative, ff est décroissante. Si f′f' est nulle sur tout l'intervalle, ff est constante. Un changement de signe de f′f' peut produire un extremum.

Construire un tableau cohérent entre f’ et f

La ligne de f′f' contient les signes et les zéros ; la ligne de ff traduit ces signes par des flèches. Un zéro isolé de f′f' sans changement de signe ne crée pas automatiquement un extremum.

Optimisation par annulation de la dérivée
Au maximum intérieur, la tangente est horizontale et la dérivée change de signe.

Identifier un extremum avec la dérivée

Un changement de signe localise un extremum

Lorsque f′f' passe de positif à négatif en aa, ff admet un maximum local en aa. Lorsqu'elle passe de négatif à positif, ff admet un minimum local. La valeur extrême est f(a)f(a), tandis que aa est l'abscisse où elle est atteinte.

f′(x)>0 avant a,f′(a)=0,f′(x)<0 apreˋs a.f'(x)\gt 0\ \text{avant }a,\quad f'(a)=0,\quad f'(x)\lt 0\ \text{après }a.

Résoudre un problème d’optimisation par dérivation

  1. Définir la variable et son domaine imposé par le contexte.
  2. Exprimer la quantité à optimiser par une fonction.
  3. Calculer la dérivée puis résoudre l'étude de son signe.
  4. Construire le tableau de variations sur le domaine réel du problème.
  5. Lire l'extremum et répondre avec unité et configuration correspondante.

Maximiser un bénéfice modélisé par un trinôme

Un bénéfice en milliers d'euros est B(x)=−2x2+24x−40B(x)=-2x^2+24x-40 pour x∈[0;15]x\in[0;15].

  1. B′(x)=−4x+24B'(x)=-4x+24.
  2. B′(x)=0B'(x)=0 pour x=6x=6 ; elle est positive avant 6 et négative après.
  3. BB croît sur [0;6][0;6] puis décroît sur [6;15][6;15].
  4. Le maximum est B(6)=32B(6)=32, soit 32 000 euros.
  5. Le domaine confirme que x=6x=6 est admissible.

Établir une inégalité à partir d’un minimum

Le minimum fournit une inégalité

Si l'étude des variations montre que ff atteint son minimum mm en aa sur un intervalle II, alors pour tout xx de II, f(x)≥mf(x)\geq m. L'inégalité résulte de la définition du minimum, pas d'une simple observation graphique.

Comparer deux courbes par une fonction différence

Pour comparer ff et gg, on étudie h=f−gh=f-g. Si hh est positive, la courbe de ff est au-dessus de celle de gg. La dérivée de hh peut fournir ses variations puis son signe, ce qui évite des résolutions point par point.

La présentation rigoureuse est reprise dans les tableaux de variations. Le lien utilisé suppose les résultats de la dérivabilité.

Les notions travaillées correspondent au cadre défini par le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de variations et optimisation Première. Les prolongements signalés servent directement à comparer deux courbes par une fonction différence.

Vérifier domaine, points critiques et bornes

Erreur fréquente : f′(a)=0f'(a)=0 est une condition fréquente pour un extremum intérieur, mais elle ne suffit pas. Il faut étudier le signe autour de aa ou les variations complètes.
Contrôle utile : vérifier le domaine, distinguer l'abscisse optimale de la valeur optimale et tester les bornes si le domaine est fermé.
Partager