Équations de droites Seconde : cours complet

Les équations de droites en Seconde font le lien entre une figure, une fonction affine et une relation entre x et y. Une même droite peut être décrite par une pente, un vecteur directeur ou une équation cartésienne selon les données disponibles.

L'objectif n'est pas d'accumuler des formes. Il faut savoir passer de l'une à l'autre, reconnaître le cas d'une droite verticale et contrôler qu'un point satisfait bien l'équation obtenue.

Table des Matières

Décrire une droite par une équation

Équations cartésienne et réduite

Une équation de droite est une relation vérifiée exactement par les coordonnées de tous ses points. Une droite non verticale possède une équation réduite $y=mx+p$ . Toute droite possède une équation cartésienne $ax+by+c=0$ , avec $a$ et $b$ non simultanément nuls.

Lire le signe et la taille du coefficient directeur

Une pente positive correspond à une droite montante lorsque x augmente ; une pente négative à une droite descendante. Une pente de grande valeur absolue produit une droite plus inclinée par rapport à l'axe horizontal, sans devenir une mesure d'angle.

Pentes et intersections de deux droites — Le coefficient directeur contrôle l'inclinaison d'une droite et la résolution du système localise leur intersection.

Relier pente et vecteur directeur

Pente et vecteur directeur

Pour $y=mx+p$ , le vecteur $(1;m)$ dirige la droite et $m$ mesure la variation verticale associée à une unité horizontale. Pour $ax+by+c=0$ , le vecteur $(-b;a)$ est directeur. Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},\qquad y-y_A=m(x-x_A).

Justifier l’équation point-pente

De la pente à l’équation point-pente

Si $M(x;y)$ appartient à la droite passant par $A$ et dirigée par $(1;m)$ , alors $\overrightarrow{AM}=(x-x_A;y-y_A)$ lui est colinéaire. Pour $x\neq x_A$ , le quotient $\frac{y-y_A}{x-x_A}$ vaut $m$ , d'où $y-y_A=m(x-x_A)$ . Le cas vertical est traité séparément.

Déterminer une équation à partir de deux points

Vérifier si les deux abscisses sont égales ; dans ce cas la droite est verticale.
Sinon calculer le coefficient directeur comme variation de y sur variation de x.
Utiliser un point dans l'écriture $y-y_A=m(x-x_A)$ .
Développer seulement si une forme réduite ou cartésienne est demandée.
Substituer les coordonnées des deux points pour contrôler l'équation.

Trouver la droite passant par deux points puis une intersection

On prend $A(2;-1)$ , $B(5;8)$ et la droite d'équation $y=-x+9$ . On cherche l'équation de $(AB)$ , puis leur point d'intersection.

La pente de $(AB)$ vaut $\frac{8-(-1)}{5-2}=\frac93=3$ .
Avec $A$ , $y+1=3(x-2)$ , donc $y=3x-7$ .
À l'intersection, $3x-7=-x+9$ , soit $4x=16$ et $x=4$ .
Alors $y=5$ ; le point d'intersection est $I(4;5)$ .
I vérifie les deux équations, ce qui valide le calcul.

Relier droites, fonctions affines et systèmes

Une équation réduite représente la courbe d'une fonction affine. Résoudre l'égalité de deux expressions affines revient à chercher l'abscisse de l'intersection de leurs droites. Une équation cartésienne traite aussi les droites verticales.

La forme $y=mx+p$ est approfondie dans le cours sur les fonctions affines. L'interprétation des intersections s'appuie sur les représentations graphiques de fonctions.

Cette progression respecte le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de équations de droites Seconde. Les prolongements signalés servent directement à relier droites, fonctions affines et systèmes.

Contrôler parallélisme et point d’appartenance

Erreur fréquente : la formule de pente ne s'utilise pas si $x_B=x_A$ . Le dénominateur nul signale une droite verticale d'équation $x=x_A$ , pas une pente infinie à calculer.

Contrôle utile : tester les deux points de départ dans l'équation finale et vérifier que la pente calculée a le même signe que l'inclinaison observée.