Coordonnées et colinéarité Seconde : cours

Les coordonnées et la colinéarité en Seconde transforment une figure en données calculables. Un vecteur devient un couple, sa norme se calcule par Pythagore et le déterminant indique si deux directions sont parallèles.

La puissance de la méthode repose sur une traduction rigoureuse. Pour tester l'alignement de trois points, on ne calcule pas leurs coordonnées au hasard : on construit deux vecteurs ayant la même origine, puis on vérifie leur colinéarité.

Table des Matières

Calculer les coordonnées d’un vecteur et sa norme

Coordonnées et longueur d’un vecteur

Dans un repère, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ , alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$ . Dans un repère orthonormé, la norme de $\vec u(x;y)$ vaut $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Contrôler un calcul par la géométrie du repère

Le signe des coordonnées renseigne sur le sens horizontal et vertical. La norme doit être positive et au moins aussi grande que la valeur absolue de chaque composante. Un déterminant très éloigné de zéro est incompatible avec des directions visuellement parallèles.

Deux vecteurs dans un repère et leur déterminant — Le déterminant mesure l'aire orientée du parallélogramme et s'annule lorsque les vecteurs sont colinéaires.

Caractériser la colinéarité par un déterminant nul

Déterminant nul et colinéarité

Deux vecteurs $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant $xy'-yx'$ est nul. Le critère couvre les directions verticales sans division et s'applique à l'alignement comme au parallélisme.

\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A),\quad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2},\quad \det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'.

Relier déterminant nul et proportionnalité des coordonnées

Deux coordonnées proportionnelles

Si $\vec v=k\vec u$ , alors $x'=kx$ et $y'=ky$ ; le déterminant vaut $x(ky)-y(kx)=0$ . Réciproquement, lorsque l'un des vecteurs est non nul, l'égalité $xy'=yx'$ exprime la proportionnalité des couples et donc une direction commune.

Tester un alignement ou un parallélisme par les coordonnées

Choisir deux vecteurs adaptés à la propriété, avec une origine commune pour l'alignement.
Calculer chaque coordonnée comme extrémité moins origine.
Former le déterminant en conservant le même ordre des composantes.
Conclure colinéaires si le déterminant est nul, non colinéaires sinon.
Traduire la colinéarité en alignement de points ou parallélisme de droites selon la question.

Vérifier l’alignement de trois points

On considère $A(1;2)$ , $B(4;5)$ et $C(7;8)$ . On veut établir l'alignement sans se fier au dessin.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(3;3)$ .
Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(6;6)$ .
Le déterminant vaut $3\times6-3\times6=0$ .
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Comme ils ont la même origine A, les points A, B et C sont alignés.

Passer de la géométrie synthétique au calcul

Les coordonnées vérifient des milieux, des longueurs et des parallélismes. Le déterminant prépare les équations de droites, tandis que la norme intervient dans les problèmes de distance et dans la définition future du produit scalaire.

La norme et les coordonnées seront réinvesties dans les calculs de produit scalaire. Les calculs d'angles complètent ensuite les formules de trigonométrie.

Les notions travaillées correspondent au cadre défini par le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de coordonnées et colinéarité Seconde. Les prolongements signalés servent directement à passer de la géométrie synthétique au calcul.

Choisir entre norme, déterminant et coordonnées

Erreur fréquente : pour le vecteur AB, soustraire les coordonnées de A à celles de B. Inverser une seule composante détruit la direction et rend tous les calculs suivants incohérents.

Contrôle utile : vérifier mentalement le sens du déplacement sur chaque axe et, pour un déterminant nul, chercher le coefficient de proportionnalité entre les deux couples.