Équations de droites Seconde : 9 exercices corrigés

On passe d'un vecteur directeur à une équation, puis de deux points à leur droite. Les intersections, les cas verticaux et les paramètres de parallélisme obligent à choisir la forme d'équation réellement adaptée aux données.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Équations de droites. La forme y=mx+py=mx+p est approfondie dans le cours sur les fonctions affines.

Bases de Équations de droites : Lire un vecteur directeur

Exercice 1 : Lire un vecteur directeur

Facile

On considère la droite d:3x−2y+7=0d:3x-2y+7=0.

  1. Donner un vecteur normal.
  2. Donner un vecteur directeur.
  3. Tester si A(1;5)A(1;5) appartient à d.
Indication
Pour ax+by+c=0ax+by+c=0, un vecteur directeur possible est (−b;a)(-b;a).
Voir le corrigé
  1. Pour 3x−2y+7=03x-2y+7=0, un vecteur normal est n=(3;−2)n=(3;-2).
  2. Un vecteur directeur perpendiculaire à n est, par exemple, u=(2;3)u=(2;3), car 3×2−2×3=03\times2-2\times3=0.
  3. Pour A(1;5)A(1;5), 3×1−2×5+7=03\times1-2\times5+7=0. Le point A appartient donc à d.

Exercice 2 : Droite passant par deux points

Moyen

Déterminer une équation de la droite passant par A(−1;4)A(-1;4) et B(3;−2)B(3;-2).

  1. Calculer un vecteur directeur.
  2. Construire une équation cartésienne.
  3. Vérifier avec les deux points.
Indication
Le vecteur AB doit être colinéaire à tout vecteur reliant A à un point M de la droite.
Voir le corrigé
  1. AB→=(3−(−1);−2−4)=(4;−6)\overrightarrow{AB}=(3-(-1);-2-4)=(4;-6). On peut utiliser le vecteur directeur (2;−3)(2;-3).
  2. Un vecteur normal est (3;2)(3;2). Une équation cherchée est donc 3x+2y+c=03x+2y+c=0. Avec A, on trouve c=−5c=-5, d'où 3x+2y−5=03x+2y-5=0.
  3. A donne −3+8−5=0-3+8-5=0 et B donne 9−4−5=09-4-5=0. Les deux points vérifient l'équation.

Choisir une méthode : Justifier l'équation point-pente

Exercice 3 : Justifier l’équation point-pente

Difficile

Une droite non verticale passe par A(xA;yA)A(x_A;y_A) et possède pour vecteur directeur (1;m)(1;m). Soit M(x;y)M(x;y) un point du plan.

  1. Traduire l'appartenance de MM à la droite par une colinéarité.
  2. En déduire l'équation point-pente.
  3. Préciser pourquoi une droite verticale doit être traitée à part.
Indication
Écrire les coordonnées de AM→\overrightarrow{AM}, puis annuler un déterminant.
Voir le corrigé
  1. Le point MM appartient à la droite si AM→=(x−xA;y−yA)\overrightarrow{AM}=(x-x_A;y-y_A) est colinéaire à (1;m)(1;m).
  2. Le déterminant nul donne m(x−xA)−(y−yA)=0m(x-x_A)-(y-y_A)=0, soit y−yA=m(x−xA)y-y_A=m(x-x_A).
  3. Une droite verticale n'admet pas de vecteur directeur de première coordonnée 1. Son équation est x=xAx=x_A.

Exercice 4 : Intersection de deux trajectoires

Difficile

Deux trajectoires suivent d1:y=2x−3d_1:y=2x-3 et d2:3x+y=12d_2:3x+y=12.

  1. Déterminer leur point d'intersection.
  2. Vérifier les deux équations.
  3. Expliquer pourquoi l'intersection est unique.
  4. Donner un vecteur directeur de chaque droite.
Indication
Substituer l'expression de y dans la seconde équation.
Voir le corrigé
  1. En remplaçant yy par 2x−32x-3 dans la seconde équation, 3x+2x−3=123x+2x-3=12. Ainsi x=3x=3, puis y=3y=3.
  2. Le point (3;3)(3;3) vérifie 3=2×3−33=2\times3-3 et 3×3+3=123\times3+3=12.
  3. Les coefficients directeurs sont 2 et −3-3, donc les droites ne sont pas parallèles. Leur intersection est unique.
  4. On peut prendre u1=(1;2)u_1=(1;2) pour d1d_1 et u2=(1;−3)u_2=(1;-3) pour d2d_2. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

Exercice 5 : Trouver la droite passant par deux points puis une intersection

Moyen

On prend A(2;−1)A(2;-1), B(5;8)B(5;8) et la droite d'équation y=−x+9y=-x+9. On cherche l'équation de (AB)(AB), puis leur point d'intersection.

  1. Calculer le coefficient directeur de la droite (AB).
  2. Déterminer une équation réduite de (AB).
  3. Calculer les coordonnées du point d'intersection avec d.
  4. Vérifier ce point dans les deux équations.
Indication
Vérifier si les deux abscisses sont égales ; dans ce cas la droite est verticale.
Voir le corrigé
  1. La pente de (AB)(AB) vaut 8−(−1)5−2=93=3\frac{8-(-1)}{5-2}=\frac93=3.
  2. Avec AA, y+1=3(x−2)y+1=3(x-2), donc y=3x−7y=3x-7.
  3. À l'intersection, 3x−7=−x+93x-7=-x+9, soit 4x=164x=16 et x=4x=4. Alors y=5y=5 ; le point d'intersection est I(4;5)I(4;5).
  4. I vérifie les deux équations, ce qui valide le calcul.

Approfondir Équations de droites : Paramètre pour deux droites parallèles

Exercice 6 : Droite verticale et droite parallèle

Moyen

Les points A(4;−2)A(4;-2) et B(4;7)B(4;7) définissent une droite dd. Une droite d′d' est parallèle à dd et passe par C(−3;5)C(-3;5).

  1. Donner une équation de d.
  2. Donner une équation de d'.
  3. Décider si M(−3;−10)M(-3;-10) appartient à d′d'.
Indication
Des points de même abscisse définissent une droite verticale.
Voir le corrigé
  1. Les deux points ont pour abscisse 4, donc d:x=4d:x=4.
  2. Une parallèle verticale passant par C a pour équation d′:x=−3d':x=-3.
  3. M a bien pour abscisse −3-3, donc il appartient à d′d', quelle que soit son ordonnée.

Exercice 7 : Paramètre pour deux droites parallèles

Difficile

On considère dm:(m+1)x−2y+3=0d_m:(m+1)x-2y+3=0 et Δ:3x−2y−5=0\Delta:3x-2y-5=0.

  1. Déterminer m pour que les droites soient parallèles.
  2. Vérifier qu'elles ne sont pas confondues.
  3. Donner un vecteur directeur commun.
Indication
Comparer les coefficients de x et de y, ou les vecteurs normaux.
Voir le corrigé
  1. Les coefficients de yy sont déjà égaux. Il faut m+1=3m+1=3, donc m=2m=2.
  2. Pour m=2m=2, les premiers membres ont les mêmes coefficients mais les constantes 3 et −5-5 diffèrent : les droites sont distinctes.
  3. Un vecteur directeur commun est (2;3)(2;3).
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