Géométrie repérée Première : droites, cercles et projeté orthogonal

La géométrie repérée en Première décrit droites, cercles et paraboles par des équations. Le produit scalaire introduit le vecteur normal, qui encode la perpendicularité et facilite les projections.

Une équation n'est pas seulement une formule : elle caractérise un ensemble de points. Reconnaître la forme d'un cercle ou vérifier l'appartenance d'un point relie calcul algébrique et figure.

Associer vecteur normal et équation de droite

Vecteur normal et droite

Le vecteur n⃗(a;b)\vec n(a;b) est normal à la droite ax+by+c=0ax+by+c=0. Un vecteur directeur est (−b;a)(-b;a). La droite passant par AA et de normal n⃗\vec n est l'ensemble des points MM tels que AM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0.

Passer entre équation et configuration

Les coefficients d'une droite donnent un vecteur normal, les carrés complétés donnent centre et rayon d'un cercle, et la forme canonique d'un trinôme donne le sommet d'une parabole. Chaque transformation algébrique révèle un objet géométrique.

Droite, cercle et projection dans un repère
Les équations cartésiennes traduisent les incidences, tandis que la projection matérialise une distance à la droite.

Reconnaître l’équation d’un cercle

Centre et rayon dans l’équation du cercle

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(α;β)\Omega(\alpha;\beta) et de rayon rr a pour équation (x−α)2+(y−β)2=r2(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2. Une équation développée peut retrouver cette forme par complétion des carrés.

a(x−xA)+b(y−yA)=0,(x−α)2+(y−β)2=r2.a(x-x_A)+b(y-y_A)=0,\qquad (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2.

Justifier l’équation d’une droite par orthogonalité

Orthogonalité et équation cartésienne

Un point MM appartient à la droite passant par AA et normale à n⃗\vec n si et seulement si AM→\overrightarrow{AM} est orthogonal à n⃗\vec n. Dans un repère orthonormé, le produit scalaire a(x−xA)+b(y−yA)a(x-x_A)+b(y-y_A) doit donc être nul, ce qui donne l'équation cartésienne.

Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur une droite

  1. Lire un vecteur normal à la droite donnée.
  2. Écrire la droite perpendiculaire passant par le point avec ce vecteur comme directeur.
  3. Résoudre les deux équations pour obtenir leur intersection H.
  4. Vérifier que H appartient à la droite initiale.
  5. Contrôler que AH est colinéaire au vecteur normal.

Retrouver centre et rayon d’un cercle développé

On considère x2+y2−4x+6y−12=0x^2+y^2-4x+6y-12=0. On veut identifier le cercle.

  1. x2−4x=(x−2)2−4x^2-4x=(x-2)^2-4.
  2. y2+6y=(y+3)2−9y^2+6y=(y+3)^2-9.
  3. L'équation devient (x−2)2+(y+3)2=25(x-2)^2+(y+3)^2=25.
  4. Le centre est Ω(2;−3)\Omega(2;-3) et le rayon 5.
  5. La positivité du second membre confirme un cercle réel non réduit.

Étudier appartenance, tangence et projection

Substituer les coordonnées d'un point vérifie son appartenance. Une distance du centre à une droite comparée au rayon renseigne sur les intersections. Le projeté orthogonal fournit la distance minimale.

Les vecteurs normaux reposent sur le produit scalaire. L'étude des paraboles réactive la forme canonique du second degré.

Cette progression respecte le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de géométrie repérée Première. Les prolongements signalés servent directement à étudier appartenance, tangence et projection.

Tester appartenance, distance et projection

Erreur fréquente : les formules de distance et de cercle supposent un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, les coordonnées ne traduisent pas directement les longueurs.
Contrôle utile : substituer le centre dans la forme développée après complétion et vérifier que le rayon obtenu est positif.
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