Ces exercices corrigés de symétrie axiale en 6ème entraînent à construire l’image d’un point ou d’une figure, reconnaître un axe de symétrie et exploiter la conservation des longueurs, angles, alignements et aires. Le cours sur la symétrie axiale rappelle les méthodes sur quadrillage et au compas. La page appartient au parcours de mathématiques de 6ème.
Construire l’image d’un point par symétrie
L’axe de symétrie est la médiatrice du segment qui joint un point à son image.
Exercice 1 : Point situé sur l’axe
Facile
Le point A appartient à l’axe d.
- Quel vocabulaire ou quelle information permet de commencer « point situé sur l’axe » ?
- Où se trouve son symétrique A’ ?
- Quelle est la longueur \(AA’\) ?
- Pourquoi aucun tracé supplémentaire n’est-il nécessaire ?
Indication
Un point de l’axe reste invariant.
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- Question 1. Un point de l’axe reste invariant.
- Question 2. \(A’=A\).
- Question 3. \(AA’=0\).
- Question 4. La réflexion laisse fixes tous les points de l’axe.
Exercice 2 : Construction sur quadrillage
Facile
L’axe d est vertical. Le point B est situé trois carreaux à gauche de d et deux carreaux au-dessus d’un repère horizontal.
- Où placer B’ horizontalement ?
- a. Conserve-t-on la hauteur ? b. Quelle distance en carreaux sépare B et B’ ?
Indication
Comptez perpendiculairement à l’axe.
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- Question 1. Trois carreaux à droite de d.
- Question 2. a. Oui, la hauteur est conservée. b. Six carreaux.
Exercice 3 : Vérifier une image proposée
Moyen
On propose C’ comme image de C par rapport à d. Le segment \([CC’]\) est perpendiculaire à d, mais d ne passe pas par son milieu.
- C’ est-il le bon symétrique ?
- Quelle condition est satisfaite ?
- Quelle condition doit être corrigée ?
Indication
L’axe doit être la médiatrice de \([CC’]\).
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- Question 1. Non.
- Question 2. La perpendicularité.
- Question 3. Les distances de C et C’ à d doivent être égales.
Construire et reconnaître des figures symétriques
On construit l’image des points remarquables, puis on les relie dans le même ordre.
Exercice 4 : Symétrique d’un triangle
Facile
On veut construire l’image A’B’C’ du triangle ABC par rapport à une droite d.
- Quel vocabulaire ou quelle information permet de commencer « symétrique d’un triangle » ?
- Quels points construire d’abord ?
- Dans quel ordre relier les images ?
- Que faire si A appartient à d ?
Indication
La symétrie agit sur chaque sommet séparément.
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- Question 1. La symétrie agit sur chaque sommet séparément.
- Question 2. Construire A’, B’ et C’.
- Question 3. Relier A’ à B’, B’ à C’ puis C’ à A’.
- Question 4. A’ est confondu avec A.
Exercice 5 : Axes de figures usuelles
Moyen
On considère un carré, un rectangle non carré, un triangle équilatéral et un triangle quelconque.
- Donner le nombre d’axes du carré.
- a. Donner ceux du rectangle non carré et du triangle équilatéral. b. Combien en a généralement un triangle quelconque ?
Indication
Un axe doit superposer exactement la figure à elle-même.
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- Question 1. Le carré a \(4\) axes.
- Question 2. a. Le rectangle en a \(2\) et le triangle équilatéral \(3\). b. Un triangle quelconque n’en a aucun.
Utiliser les propriétés de conservation
La symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d’angles, l’alignement, le périmètre et l’aire.
Exercice 6 : Calculer sans reconstruire
Moyen
A’B’C’ est le symétrique de ABC. On sait \(AB=5,2\) cm, \(BC=4\) cm et \(\widehat{ABC}=73^\circ\).
- Donner \(A’B’\).
- Donner \(B’C’\).
- Donner \(\widehat{A’B’C’}\).
Indication
Chaque mesure est conservée par la symétrie.
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- Question 1. \(A’B’=5,2\) cm.
- Question 2. \(B’C’=4\) cm.
- Question 3. \(\widehat{A’B’C’}=73^\circ\).
Exercice 7 : Périmètre et aire d’une image
Moyen
Une figure a un périmètre de \(28\) cm et une aire de \(36\) cm². On construit son symétrique.
- Quel point de méthode faut-il vérifier avant de traiter « périmètre et aire d’une image » ?
- Donner le périmètre de l’image.
- Donner son aire.
- La figure et son image ont-elles nécessairement la même orientation ?
Indication
La taille est conservée, mais la figure est retournée.
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- Question 1. La taille est conservée, mais la figure est retournée.
- Question 2. \(28\) cm.
- Question 3. \(36\) cm².
- Question 4. Non, l’orientation est inversée comme dans un miroir.
Exercice 8 : Retrouver l’axe de symétrie
Difficile
On connaît deux paires de points correspondants A, A’ et B, B’.
- Quelle droite construire à partir de A et A’ ?
- a. Quelle droite construire à partir de B et B’ ? b. Que doit-on constater si les correspondances sont exactes ?
Indication
L’axe est la médiatrice de chaque segment joignant un point à son image.
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- Question 1. La médiatrice de \([AA’]\).
- Question 2. a. La médiatrice de \([BB’]\). b. Les deux médiatrices doivent être la même droite.
Compléter, coder et contrôler une figure symétrique
Cette série finale met l’accent sur les informations suffisantes, le quadrillage et les erreurs d’orientation.
Exercice 9 : Compléter une figure point par point
Moyen
Un triangle \(ABC\) est placé d’un côté d’une droite \((d)\). Le point \(A\) est sur \((d)\), tandis que \(B\) et \(C\) n’y sont pas.
- Quelle est l’image de \(A\) ?
- Décrire la construction des images \(B’\) et \(C’\).
- Comment terminer l’image du triangle ?
Indication
Un point situé sur l’axe est sa propre image.
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- Question 1. L’image de \(A\) est \(A\).
- Question 2. Construire \(B’\) et \(C’\) de l’autre côté de \((d)\), à même distance perpendiculaire de l’axe.
- Question 3. Relier \(A\), \(B’\) et \(C’\).
Exercice 10 : Se déplacer sur un quadrillage
Moyen
L’axe de symétrie est une ligne verticale du quadrillage. Un point \(P\) est situé \(4\) carreaux à gauche de l’axe et \(2\) carreaux au-dessus d’un repère horizontal.
- Quelle propriété faut-il identifier pour résoudre « se déplacer sur un quadrillage » ?
- Où placer son image \(P’\) horizontalement ?
- Sa hauteur change-t-elle ?
- Combien de carreaux séparent \(P\) et \(P’\) ?
Indication
L’axe est la médiatrice du segment joignant un point à son image.
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- Question 1. L’axe est la médiatrice du segment joignant un point à son image.
- Question 2. \(P’\) se place \(4\) carreaux à droite de l’axe.
- Question 3. Non, il reste à la même hauteur.
- Question 4. La distance est \(4+4=8\) carreaux.
Exercice 11 : Repérer une fausse propriété
Difficile
À propos d’une symétrie axiale, on propose : « les longueurs sont conservées », « les angles sont conservés », « le sens gauche-droite est conservé ».
- Identifier l’affirmation fausse.
- a. Justifier avec l’effet d’un miroir. b. Citer deux grandeurs réellement conservées.
Indication
Une symétrie retourne la figure tout en gardant sa forme et ses dimensions.
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- Question 1. L’affirmation sur le sens gauche-droite est fausse.
- Question 2. a. L’image apparaît inversée de part et d’autre de l’axe. b. Les longueurs et les mesures des angles sont conservées.