Suite de Cauchy : définition, propriétés et convergence

Imaginez que vous approchez pas à pas d'un point inconnu sur une carte : même si vous ignorez où se trouve exactement ce point, vous pouvez constater que chaque nouveau pas vous rapproche du précédent. C'est précisément l'idée qui se cache derrière la notion de suite de Cauchy ; l'un des outils les plus puissants de l'analyse mathématique. Une suite de Cauchy (du nom du mathématicien français Augustin-Louis Cauchy, 1789–1857) est une suite dont les termes se resserrent les uns contre les autres indéfiniment, même quand on ne connaît pas leur limite.

Cette notion est au cœur d'une question fondamentale : peut-on décider qu'une suite converge sans avoir à calculer sa limite ? En lycée et en classes préparatoires, on répond toujours à cette question par la définition de la limite. Mais à l'université, le critère de Cauchy offre une réponse radicalement différente ; et beaucoup plus maniable dans de nombreuses situations.

Dans cette leçon, vous découvrirez la définition formelle d'une suite de Cauchy, ses propriétés essentielles, son lien profond avec la notion d'espace métrique complet, et enfin comment l'utiliser concrètement dans des exercices et des preuves. Chaque concept sera introduit progressivement, avec toutes les notations définies dès leur première apparition.

Table des Matières

Définition d’une suite de Cauchy

Avant d'énoncer la définition, rappelons le cadre. Une suite réelle est une application $n \mapsto u_n$ de $\mathbb{N}$ (l'ensemble des entiers naturels) vers $\mathbb{R}$ (les réels). On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$ . Le terme $u_n$ désigne la valeur de la suite au rang $n$ .

Définition (suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$ )

Une suite réelle $(u_n)$ est dite suite de Cauchy si, pour tout réel $\varepsilon > 0$ , il existe un entier naturel $N$ tel que :

\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall p \geq N,\; \forall q \geq N, \quad |u_p - u_q| < \varepsilon.

Décryptage de la notation : le symbole $\forall$ se lit « pour tout », et $\exists$ se lit « il existe ». La condition $|u_p - u_q| < \varepsilon$ signifie que la distance entre les termes $u_p$ et $u_q$ est inférieure à $\varepsilon$ . En d'autres termes : à partir du rang $N$ , tous les termes de la suite sont confinés dans un intervalle de demi-longueur $\varepsilon$ .

En français courant : une suite est de Cauchy si ses termes finissent par être aussi proches les uns des autres qu'on le souhaite, uniformément à partir d'un certain rang.

⚠️ Erreur fréquente : Beaucoup d'étudiants confondent « les termes consécutifs se rapprochent » avec « la suite est de Cauchy ». La condition $|u_{n+1} - u_n| \to 0$ est nécessaire mais non suffisante. Par exemple, la suite harmonique $u_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$ vérifie $|u_{n+1} - u_n| = \frac{1}{n+1} \to 0$ , mais elle diverge vers $+\infty$ et n'est donc pas de Cauchy. Ce qui importe, c'est que tous les termes d'indices $\geq N$ soient proches, pas seulement les termes adjacents.

La définition s'étend naturellement aux suites de complexes $(z_n)$ en remplaçant la valeur absolue $|z_p - z_q|$ par le module, et plus généralement à toute suite dans un espace muni d'une distance $d$ , en écrivant $d(u_p, u_q) < \varepsilon$ .

Dans quel cadre la notion de suite de Cauchy s’applique-t-elle ?

La définition vient d'être posée dans $\mathbb{R}$ , mais il est utile de comprendre précisément à quels espaces elle s'applique et quelles hypothèses sont implicites.

Espaces de référence

$\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ : les cas les plus courants au lycée et en CPGE. La distance est la valeur absolue (ou le module pour les complexes).
$\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{C}^n$ : suites de vecteurs, avec une norme euclidienne ou autre.
Espaces vectoriels normés généraux : les cours de Licence et CPGE les introduisent progressivement ; la distance est induite par la norme : $d(x, y) = \|x - y\|$ .
Espaces métriques quelconques $(X, d)$ : cadre le plus général de la définition.

Cas limite : $\mathbb{Q}$

L'ensemble $\mathbb{Q}$ des rationnels est muni de la même valeur absolue que $\mathbb{R}$ . On peut y définir des suites de Cauchy ; mais certaines de ces suites ne convergent pas dans $\mathbb{Q}$ . Exemple classique : si l'on approche $\sqrt{2}$ par des fractions décimales successives, on obtient une suite de Cauchy dans $\mathbb{Q}$ dont la limite, $\sqrt{2}$ , est irrationnelle. Cela montre que $\mathbb{Q}$ n'est pas complet, contrairement à $\mathbb{R}$ .

Le critère de Cauchy : théorème fondamental de complétude de ℝ

Maintenant que les conditions sont claires, voici le résultat central qui donne toute sa valeur au concept.

Théorème (Complétude de $\mathbb{R}$ : Critère de Cauchy)

Une suite réelle $(u_n)$ converge dans $\mathbb{R}$ si et seulement si c'est une suite de Cauchy.

(u_n) \text{ converge dans } \mathbb{R} \iff \forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall p, q \geq N,\; |u_p - u_q| < \varepsilon.

Ce théorème comporte deux implications. Le sens direct (« toute suite convergente est de Cauchy ») est valide dans tout espace métrique. C'est le sens réciproque (« toute suite de Cauchy converge ») qui est la propriété remarquable de $\mathbb{R}$ , appelée complétude.

La force pratique de ce théorème est considérable : pour montrer qu'une suite converge, il n'est plus nécessaire de connaître sa limite à l'avance. Il suffit de vérifier le critère de Cauchy. C'est particulièrement utile lorsque la limite est un nombre irrationnel ou qu'elle n'admet pas d'expression analytique simple ; comme dans la théorie des séries entières ou l'analyse fonctionnelle.

Propriétés fondamentales des suites de Cauchy

Le théorème de complétude n'est pas isolé : plusieurs propriétés accompagnent les suites de Cauchy, que ce soit dans $\mathbb{R}$ ou dans un espace métrique général.

Propriété 1 : Toute suite convergente est de Cauchy

Si $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ , alors $(u_n)$ est une suite de Cauchy. Justification rapide : pour $p, q \geq N$ , l'inégalité triangulaire donne :

|u_p - u_q| \leq |u_p - \ell| + |\ell - u_q| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

La réciproque n'est vraie que dans les espaces complets (voir théorème ci-dessus).

Propriété 2 : Toute suite de Cauchy est bornée

Si $(u_n)$ est une suite de Cauchy, alors l'ensemble $\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ est borné dans $\mathbb{R}$ . Idée de la preuve : on applique la définition avec $\varepsilon = 1$ pour trouver un rang $N$ tel que tous les termes d'indice $\geq N$ soient dans l'intervalle $[u_N - 1, u_N + 1]$ . Les termes d'indice $< N$ sont en nombre fini, donc leur ensemble est borné. L'union des deux est bornée.

Propriété 3 : Toute sous-suite d’une suite de Cauchy est de Cauchy

Si $(u_n)$ est de Cauchy et $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est strictement croissante, alors la sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ est également de Cauchy. (Car pour $\varphi(p), \varphi(q) \geq N$ dès que $p, q \geq N$ , puisque $\varphi$ est croissante et $\varphi(n) \geq n$ .)

⚠️ Erreur fréquente : On croit parfois que « suite bornée » implique « suite de Cauchy ». C'est faux. La suite $u_n = (-1)^n$ est bornée (ses termes valent alternativement $1$ et $-1$ ), mais $|u_{n+1} - u_n| = 2$ pour tout $n$ , donc ce n'est pas une suite de Cauchy. La définition de Cauchy exige que les termes se rapprochent, pas seulement qu'ils soient confinés dans un intervalle.

Propriété 4 : Lien avec les espaces de Banach

Dans un espace vectoriel normé $(E, \|\cdot\|)$ , on dit que $E$ est un espace de Banach s'il est complet, c'est-à-dire si toute suite de Cauchy dans $E$ converge dans $E$ . Par exemple, $\mathbb{R}^n$ muni de la norme euclidienne est un espace de Banach, tout comme l'espace $\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$ des fonctions continues sur un segment, muni de la norme sup. En revanche, l'espace des polynômes muni de la norme sup n'est pas complet.

Comment comprendre intuitivement une suite de Cauchy ?

Les propriétés formelles sont maintenant posées ; prenons un pas de recul pour construire une vraie intuition géométrique et physique.

L’analogie du voyageur qui s’arrête

Imaginez un marcheur sur la droite réelle. À chaque étape $n$ , il se déplace en $u_n$ . S'il s'approche d'un café invisible (dont il ne connaît pas l'adresse exacte), ses déplacements successifs deviennent de plus en plus petits : au bout d'un moment, peu importe les étapes $p$ et $q$ qu'on lui demande de comparer, elles sont presque au même endroit. C'est la condition de Cauchy. Il ne sait pas encore où il va, mais il se serre sur un point.

L’analogie de la construction de ℝ

C'est précisément de cette façon que les nombres réels ont été construits rigoureusement par Georg Cantor et Richard Dedekind au XIXe siècle. Un nombre réel irrationnel comme $\sqrt{2}$ peut être défini comme la classe d'équivalence d'une suite de Cauchy de rationnels qui « converge vers $\sqrt{2}$ » ; même si ce nombre n'existe pas encore dans $\mathbb{Q}$ . En quelque sorte, les nombres réels sont les limites manquantes de $\mathbb{Q}$ , obtenues en complétant l'espace.

Pourquoi l’uniformité est-elle cruciale ?

La condition « $\forall p, q \geq N$ » est beaucoup plus forte que de simplement exiger que les termes consécutifs se rapprochent. Elle impose que tous les termes à partir du rang $N$ soient proches ; non seulement les voisins immédiats. C'est ce caractère uniforme qui garantit l'existence d'une limite. Comme l'énonce Wikipédia, les suites de Cauchy sont au centre de la définition de la complétude.

Représentation graphique d’une suite de Cauchy

Une image vaut souvent mille mots ; voici comment visualiser concrètement la condition de Cauchy sur un graphique.

Graphique représentant une suite de Cauchy : les termes u_n convergent en se resserrant, illustrant le critère de Cauchy où tous les termes d'indice supérieur à N sont confinés dans une bande horizontale d'épaisseur epsilon

Sur ce graphique, on observe que dès le rang $N$ , tous les termes de la suite (représentés par des points) tombent dans la bande grisée de largeur $2\varepsilon$ centrée sur la limite $L$ . Cela illustre parfaitement la double condition : d'une part, il faut trouver un rang $N$ (qui peut dépendre de $\varepsilon$ ) ; d'autre part, la condition s'applique à tous les indices $p$ et $q$ simultanément au-delà de $N$ .

Comparez mentalement avec une suite bornée non convergente, comme $(-1)^n$ : les termes sautent indéfiniment entre $1$ et $-1$ , et aucune bande d'épaisseur $\varepsilon < 2$ ne peut les capturer tous à partir d'un certain rang.

Preuve détaillée : toute suite convergente est une suite de Cauchy

Commençons par le sens le plus simple du théorème de complétude, qui est universel (valable dans tout espace métrique) et dont la technique de preuve est fondamentale.

Énoncé : Soit $(u_n)$ une suite réelle. Si $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ , alors $(u_n)$ est une suite de Cauchy.

Étape 1 : Fixer $\varepsilon > 0$ et exploiter la convergence.
Soit $\varepsilon > 0$ un réel quelconque. Comme $(u_n) \to \ell$ , la définition de la convergence garantit qu'il existe un entier $N \in \mathbb{N}$ tel que :
$\forall n \geq N, \quad |u_n - \ell| < \frac{\varepsilon}{2}.$
On a choisi $\frac{\varepsilon}{2}$ (et non $\varepsilon$ ) de façon à disposer d'une marge lors de l'étape suivante.
Étape 2 : Majorer $|u_p - u_q|$ par l'inégalité triangulaire.
Soient $p, q \geq N$ deux indices quelconques. On insère la limite $\ell$ comme point intermédiaire :
$|u_p - u_q| = |(u_p - \ell) + (\ell - u_q)| \leq |u_p - \ell| + |\ell - u_q|.$
C'est l'inégalité triangulaire : pour tous réels $a, b$ , on a $|a + b| \leq |a| + |b|$ . Elle est valide dans tout espace muni d'une valeur absolue ou d'une norme.
Étape 3 : Conclure grâce au choix de $N$ .
Puisque $p \geq N$ et $q \geq N$ , l'encadrement obtenu à l'étape 1 s'applique à $u_p$ et à $u_q$ :
$|u_p - u_q| \leq |u_p - \ell| + |\ell - u_q| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$
On a donc montré : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tous $p, q \geq N$ , on a $|u_p - u_q| < \varepsilon$ . C'est exactement la définition d'une suite de Cauchy.

Astuce : La technique « introduire un point intermédiaire et couper $\varepsilon$ en deux » est omniprésente en analyse. Apprenez-la par cœur : elle s'applique dans les preuves de continuité, d'uniforme continuité, de convergence uniforme, et bien d'autres contextes.

Preuve de la réciproque dans $\mathbb{R}$ : esquisse

Le sens réciproque (toute suite de Cauchy de réels converge) est plus délicat. La preuve standard repose sur deux piliers :

Toute suite de Cauchy est bornée (Propriété 2 ci-dessus), donc par le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite convergente vers un certain $\ell \in \mathbb{R}$ .
On montre ensuite que la suite entière (et pas seulement la sous-suite) converge vers $\ell$ , en utilisant à nouveau la condition de Cauchy. Cette étape utilise la propriété : une suite de Cauchy qui possède une valeur d'adhérence converge vers cette valeur.

Pour approfondir cette technique ainsi que le théorème de Bolzano-Weierstrass, notre article sur les valeurs d'adhérence et suites extraites vous guidera pas à pas.

Exemple concret : montrer qu’une suite est de Cauchy

La théorie prend tout son sens lorsqu'on l'applique. Voici un exemple typique de MPSI/MP.

Exemple : La suite $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$

Considérons la suite des sommes partielles $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ . On veut montrer que c'est une suite de Cauchy sans calculer sa limite (qui vaut $\frac{\pi^2}{6}$ , mais ce n'est pas évident !).

Pour $p > q \geq 1$ , on a :

|u_p - u_q| = \sum_{k=q+1}^{p} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=q+1}^{p} \frac{1}{k(k-1)} = \sum_{k=q+1}^{p} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} < \frac{1}{q}.

(On a utilisé la comparaison $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)}$ pour $k \geq 2$ , puis la somme télescopique : une suite de la forme $a_k - a_{k+1}$ dont la somme vaut $a_{q} - a_p$ .)

Il suffit alors de choisir $N \geq \lceil 1/\varepsilon \rceil$ (le plus petit entier supérieur ou égal à $1/\varepsilon$ ) pour garantir que pour tous $p > q \geq N$ , on a $|u_p - u_q| < \frac{1}{q} \leq \frac{1}{N} \leq \varepsilon$ . La suite $(u_n)$ est bien de Cauchy, donc convergente dans $\mathbb{R}$ .

Ce type de raisonnement est à la base de la théorie des séries numériques convergentes : montrer qu'une série converge revient précisément à montrer que ses sommes partielles forment une suite de Cauchy.

Contre-exemple : la suite harmonique n’est pas de Cauchy

Soit $v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ . On vérifie que ce n'est pas une suite de Cauchy. En prenant $p = 2q$ :

|v_{2q} - v_q| = \sum_{k=q+1}^{2q} \frac{1}{k} \geq \sum_{k=q+1}^{2q} \frac{1}{2q} = q \cdot \frac{1}{2q} = \frac{1}{2}.

Ainsi, pour $\varepsilon = \frac{1}{4}$ par exemple, quel que soit $N$ , il existe $p = 2q > q \geq N$ tel que $|v_p - v_q| \geq \frac{1}{2} > \varepsilon$ . La suite harmonique n'est pas de Cauchy, donc pas convergente dans $\mathbb{R}$ ; ce qui est cohérent avec sa divergence vers $+\infty$ .

Récapitulatif : suite de Cauchy vs suite convergente

Pour fixer les idées, voici un tableau comparatif des notions clés abordées dans cette leçon.

Propriété	Suite convergente	Suite de Cauchy
Définition	$\exists \ell \in \mathbb{R},\; \|u_n - \ell\| \to 0$	$\forall \varepsilon > 0,\; \exists N,\; \forall p,q \geq N,\; \|u_p - u_q\| < \varepsilon$
Nécessite de connaître la limite ?	Oui	Non
Implique l'autre ?	Oui : toute suite convergente est de Cauchy	Seulement dans les espaces complets ( $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , espaces de Banach)
Bornée ?	Oui	Oui
Validité dans $\mathbb{Q}$	La limite doit être rationnelle	La suite peut être de Cauchy sans converger dans $\mathbb{Q}$
Application principale	Calcul de limites explicites	Preuve d'existence de la limite sans la calculer

Conclusion : ce que la suite de Cauchy révèle sur les mathématiques

La notion de suite de Cauchy est bien plus qu'un outil technique : elle révèle une idée profonde sur la structure des nombres réels. Dans $\mathbb{R}$ , on a la garantie absolue que si une suite « veut converger » (au sens où ses termes se rapprochent), elle converge effectivement. Cette propriété, appelée complétude, n'est pas évidente ; elle distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ et constitue le fondement de toute l'analyse réelle.

Pour récapituler les points essentiels de cette leçon : une suite de Cauchy est caractérisée par le resserrement uniforme de ses termes à partir d'un certain rang ; toute suite convergente est de Cauchy ; dans $\mathbb{R}$ (et plus généralement dans tout espace complet), la réciproque est vraie ; enfin, le critère de Cauchy permet de prouver la convergence sans connaître la limite, ce qui est d'une utilité pratique considérable.

Pour approfondir ces thèmes, vous trouverez des prolongements naturels dans notre leçon sur les séries numériques et leur convergence, où le critère de Cauchy des séries est l'analogue direct de ce que vous venez d'étudier, ainsi que dans notre introduction aux espaces métriques complets pour la version générale de la théorie.