Le théorème de Bolzano-Weierstrass est l’un des résultats les plus puissants et les plus utilisés de l’analyse réelle. Il répond à une question naturelle : une suite qui ne converge pas est-elle pour autant « chaotique » ? La réponse est non. Même une suite sans limite globale recèle toujours une partie convergente cachée, à condition qu’elle soit bornée. Ce résultat, dû aux mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, est un pilier du cours de Maths Sup et de Licence 1. Il fonde la notion de compacité dans \(\mathbb{R}\) et permet de démontrer des dizaines d’autres théorèmes essentiels.
Bolzano et Weierstrass : une collaboration à travers les décennies
Bernard Bolzano (1781–1848), mathématicien et philosophe praguois, utilisait implicitement ce théorème dès 1817 pour démontrer le théorème des valeurs intermédiaires. Karl Weierstrass (1815–1897), surnommé le « père de l’analyse moderne », en donna une démonstration rigoureuse environ cinquante ans plus tard, après avoir reconstruit les nombres réels sur des bases solides. C’est Weierstrass qui formula l’énoncé sous la forme que nous connaissons aujourd’hui, en s’appuyant sur les idées fondatrices de Bolzano.
Ce contexte historique est important : le théorème exprime une propriété profonde de \(\mathbb{R}\), liée à sa complétude. Il est faux dans \(\mathbb{Q}\) (l’ensemble des rationnels), où une suite bornée peut très bien ne posséder aucune sous-suite convergente dans \(\mathbb{Q}\).
Rappels indispensables avant d’énoncer le théorème
Suite bornée
Une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) de réels est dite bornée s’il existe un réel \(M \geq 0\) tel que :
\forall n \in \mathbb{N},\quad |u_n| \leq M
\]
Autrement dit, tous les termes de la suite restent dans le segment \([-M, M]\). Être borné ne signifie pas converger : la suite \(u_n = (-1)^n\) est bornée (elle vit dans \([-1, 1]\)) mais elle n’a pas de limite.
Suite extraite (ou sous-suite)
Soit \((u_n)\) une suite réelle et \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) une application strictement croissante. La suite \((u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}\) est appelée suite extraite de \((u_n)\).
Intuitivement, on construit une sous-suite en sélectionnant certains termes de la suite originale en respectant leur ordre : on peut garder les termes d’indices pairs, ou les termes d’indices premiers, ou tout autre choix croissant d’indices. La suite extraite est plus « clairsemée » que la suite originale, mais elle en est un sous-ensemble ordonné.
Valeur d’adhérence
Un réel \(\ell\) est une valeur d’adhérence de la suite \((u_n)\) si l’on peut en extraire une sous-suite qui converge vers \(\ell\). Autrement dit :
\exists\, \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ strictement croissante},\quad u_{\varphi(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell
\]
Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme précisément qu’une suite bornée a toujours au moins une valeur d’adhérence.
Énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass
Théorème de Bolzano-Weierstrass
De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
Plus précisément : si \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite de réels et s’il existe \(M \geq 0\) tel que \(|u_n| \leq M\) pour tout \(n\), alors il existe une application strictement croissante \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) et un réel \(\ell\) tels que :
u_{\varphi(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell
\]
Une formulation équivalente, en termes de valeurs d’adhérence, est : toute suite réelle bornée possède au moins une valeur d’adhérence.
Ce que le théorème dit et ce qu’il ne dit pas
Le théorème garantit l’existence d’une sous-suite convergente. Il ne dit pas que la suite entière converge, ni que la limite extraite est unique (une suite bornée peut avoir plusieurs valeurs d’adhérence). Par exemple, la suite \(u_n = (-1)^n\) possède deux valeurs d’adhérence : \(1\) et \(-1\).
⚠ Erreur fréquente n°1 : Confondre « une suite bornée converge » et « de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente ». Ce sont deux affirmations très différentes. La première est fausse en général ; la seconde est le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui est vrai.
Intuition géométrique : les immeubles face à la mer
Voici une image pour ne jamais oublier ce théorème. Imaginez une infinité d’immeubles en front de mer, numérotés \(0, 1, 2, \ldots\) de l’arrière vers la mer. La hauteur du \(n\)-ième immeuble représente \(u_n\). Comme la suite est bornée, aucun immeuble ne dépasse une certaine hauteur \(M\).
On distingue deux catégories d’immeubles :
- Catégorie A (« vue sur mer ») : l’immeuble \(n\) est plus grand que tous les suivants, i.e. \(u_n > u_k\) pour tout \(k > n\).
- Catégorie B (« vue bouchée ») : il existe un immeuble plus grand situé plus avant.
Deux cas se présentent, et dans les deux cas on trouve une sous-suite convergente :
- S’il y a une infinité d’immeubles de catégorie A, leurs hauteurs forment une suite strictement décroissante et bornée inférieurement : elle converge (théorème de la limite monotone).
- S’il n’y a qu’un nombre fini d’immeubles de catégorie A, à partir d’un certain rang, chaque immeuble voit sa vue bouchée par un plus grand : on peut construire une sous-suite strictement croissante et bornée supérieurement, qui converge également.
Démonstration complète du théorème de Bolzano-Weierstrass
Nous présentons deux démonstrations classiques : la première via la suite monotone (plus intuitive), la seconde via la dichotomie / intervalles emboîtés (plus constructive).
Démonstration 1 : extraction d’une suite monotone
Lemme préliminaire : toute suite réelle admet une sous-suite monotone.
Preuve du lemme. Soit \((u_n)\) une suite réelle. Appelons « sommet » un indice \(n\) tel que \(u_n \geq u_k\) pour tout \(k \geq n\). Deux cas :
- Cas 1 : il existe une infinité de sommets \(n_0 < n_1 < n_2 < \cdots\). La sous-suite \((u_{n_k})\) est décroissante car chaque sommet domine tous les termes suivants.
- Cas 2 : il n’y a qu’un nombre fini de sommets. Il existe donc un rang \(N\) à partir duquel aucun terme n’est un sommet. En partant de \(N\), on peut construire une extractrice \(\varphi\) telle que \(u_{\varphi(k)} < u_{\varphi(k+1)}\) pour tout \(k\) (chaque terme non-sommet est dominé par un terme ultérieur), d'où une sous-suite strictement croissante.
Dans les deux cas, on a une sous-suite monotone.
Conclusion : si \((u_n)\) est bornée, la sous-suite monotone extraite est également bornée. Par le théorème de la limite monotone (toute suite monotone bornée converge dans \(\mathbb{R}\)), cette sous-suite converge.
Démonstration 2 : dichotomie par intervalles emboîtés
Cette démonstration est plus constructive : elle exhibe explicitement la limite vers laquelle converge la sous-suite extraite.
Étape 1 : Mise en place. Soit \((u_n)\) une suite bornée, incluse dans un segment \([a_0, b_0]\). Ce segment contient une infinité de termes de la suite (puisque la suite est infinie).
Étape 2 : Construction des intervalles emboîtés. On coupe \([a_0, b_0]\) en deux moitiés égales. Au moins l’une des deux contient une infinité de termes. On la note \([a_1, b_1]\), avec :
b_1 – a_1 = \frac{b_0 – a_0}{2}
\]
On recommence : on coupe \([a_1, b_1]\) en deux, on garde la moitié contenant une infinité de termes, notée \([a_2, b_2]\), de longueur \(\frac{b_0-a_0}{4}\), et ainsi de suite. À l’étape \(k\), on dispose d’un segment \([a_k, b_k]\) de longueur :
b_k – a_k = \frac{b_0 – a_0}{2^k} \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0
\]
Étape 3 : Convergence des bornes. La suite \((a_k)\) est croissante et majorée par \(b_0\), donc elle converge vers une limite \(\ell\). La suite \((b_k)\) est décroissante et minorée par \(a_0\), donc elle converge aussi. Comme \(b_k – a_k \to 0\), les deux suites convergent vers la même limite \(\ell\). (Ce sont des suites adjacentes.)
Étape 4 : Extraction de la sous-suite. On construit l’extractrice \(\varphi\) par récurrence :
- On choisit \(\varphi(0)\) quelconque tel que \(u_{\varphi(0)} \in [a_0, b_0]\).
- Supposons \(\varphi(0) < \varphi(1) < \cdots < \varphi(k)\) construits avec \(u_{\varphi(j)} \in [a_j, b_j]\) pour tout \(j \leq k\). Puisque \([a_{k+1}, b_{k+1}]\) contient une infinité de termes, il en existe un d’indice \(\varphi(k+1) > \varphi(k)\) dans \([a_{k+1}, b_{k+1}]\).
Étape 5 : Conclusion. Pour tout \(k\), on a \(u_{\varphi(k)} \in [a_k, b_k]\), donc :
a_k \leq u_{\varphi(k)} \leq b_k, \quad a_k \to \ell, \quad b_k \to \ell
\]
Par le théorème des gendarmes, \(u_{\varphi(k)} \to \ell\). La suite extraite converge.
Propriétés et corollaires importants du théorème de Bolzano-Weierstrass
Corollaire 1 : Généralisation aux suites complexes. De toute suite bornée de nombres complexes, on peut extraire une sous-suite convergente.
Idée de preuve. Si \((u_n) = (a_n + ib_n)\) est bornée, les suites réelles \((a_n)\) et \((b_n)\) sont elles aussi bornées. On applique Bolzano-Weierstrass à \((a_n)\) pour extraire \((a_{\varphi(n)})\) convergente, puis à \((b_{\varphi(n)})\) (encore bornée) pour extraire \((b_{\varphi(\gamma(n))})\) convergente. La composée \(\theta = \varphi \circ \gamma\) est strictement croissante et \(u_{\theta(n)} \to \ell_1 + i\ell_2\).
Corollaire 2 : Généralisation en dimension finie. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie (par exemple \(\mathbb{R}^d\)), de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente.
Corollaire 3 : Unicité de la valeur d’adhérence implique convergence. Si \((u_n)\) est bornée et possède une unique valeur d’adhérence \(\ell\), alors \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
Corollaire 4 : Lien avec la compacité. Le théorème de Bolzano-Weierstrass exprime que tout segment \([a, b]\) de \(\mathbb{R}\) est séquentiellement compact : toute suite d’éléments de \([a, b]\) admet une sous-suite convergente dans \([a, b]\).
⚠ Erreur fréquente n°2 : Croire que le théorème s’applique dans \(\mathbb{Q}\). Considérez la suite des approximations décimales de \(\sqrt{2}\) : \(1, 1.4, 1.41, 1.414, \ldots\) Elle est bornée dans \(\mathbb{Q}\), mais sa seule valeur d’adhérence est \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\). Bolzano-Weierstrass est spécifique à la complétude de \(\mathbb{R}\).
⚠ Erreur fréquente n°3 : Oublier l’hypothèse de borné. Sans cette hypothèse, le résultat est faux : la suite \(u_n = n\) n’admet aucune sous-suite convergente (toute sous-suite tend vers \(+\infty\)).
Applications du théorème de Bolzano-Weierstrass en analyse
Ce théorème est un outil central qui sert à démontrer des résultats beaucoup plus généraux :
- Théorème des bornes atteintes : toute fonction continue sur un segment \([a,b]\) est bornée et atteint ses bornes (utilise la compacité séquentielle de \([a,b]\)).
- Théorème de Heine : toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.
- Complétude de \(\mathbb{R}\) : toute suite de Cauchy bornée converge (on extrait une sous-suite convergente, puis on montre que la suite entière converge vers la même limite).
- Théorème de point fixe : certaines variantes utilisent des arguments d’extraction de sous-suites.
Récapitulatif : le théorème de Bolzano-Weierstrass en un tableau
| Hypothèse | Conclusion | Attention |
|---|---|---|
| \((u_n)\) bornée dans \(\mathbb{R}\) | Il existe une sous-suite convergente | La suite entière peut diverger |
| \((u_n)\) bornée, unique valeur d’adhérence \(\ell\) | \(u_n \to \ell\) | Nécessite une preuve supplémentaire (par l’absurde) |
| \((u_n)\) bornée dans \(\mathbb{Q}\) | Non valide en général | Bolzano-Weierstrass est spécifique à \(\mathbb{R}\) (complétude) |
| \((u_n)\) bornée dans \(\mathbb{R}^d\) (dim. finie) | Il existe une sous-suite convergente | Faux en dimension infinie (espace de Hilbert) |
Conclusion
Le théorème de Bolzano-Weierstrass est bien plus qu’un simple résultat technique : il révèle une propriété fondamentale de la droite réelle, sa compacité locale. Toute suite qui reste confinée dans un intervalle borné ne peut pas être totalement erratique — elle contient toujours un fil conducteur convergent, une sous-suite qui finit par se stabiliser. Ce théorème est le point de départ vers la notion de compacité, les démonstrations d’existence en analyse, et les grands théorèmes sur les fonctions continues. Le maîtriser, c’est se donner un outil d’une puissance remarquable pour tout le reste du cours d’analyse.