Séries entières : cours complet, rayon de convergence et DSE

Les séries entières constituent l'un des objets centraux de l'analyse en classes préparatoires et en licence de mathématiques. Elles permettent de représenter des fonctions comme des « polynômes infinis », d'étudier leur convergence grâce au rayon de convergence, et d'obtenir des développements explicites pour les fonctions usuelles telles que $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ ou $\ln(1+x)$ . Ce cours, conforme au programme français de CPGE et de licence, vous guide pas à pas : de la définition au lemme d'Abel, des critères pratiques de calcul du rayon aux puissants théorèmes de régularité.

Table des Matières

Définition d’une série entière

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de nombres réels ou complexes. On appelle série entière de variable $z \in \mathbb{C}$ (ou $x \in \mathbb{R}$ ) la série de fonctions

Définition.

\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \;=\; a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \cdots

Les nombres $a_n$ sont appelés les coefficients de la série entière. La variable $z$ est réelle ou complexe selon le contexte.

Du point de vue structurel, une série entière n'est rien d'autre qu'une série de fonctions dont le terme général est $u_n(z) = a_n z^n$ . Elle généralise donc la notion de polynôme en autorisant une infinité de termes. La question fondamentale est : pour quelles valeurs de $z$ cette somme infinie converge-t-elle ?

Vocabulaire et premières remarques

On ne confondra pas la série entière, qui est une série de fonctions, avec une série numérique particulière $\sum a_n z_0^n$ obtenue en fixant $z = z_0$ . Cette dernière est un cas particulier de la première.

Par convention, on pose $z^0 = 1$ même pour $z = 0$ , de sorte que la série vaut $a_0$ en $z = 0$ . Elle converge donc toujours en $0$ .

Séries entières lacunaires

Certaines séries entières ont une infinité de coefficients nuls. Par exemple $\sum_{n \geq 0} a_n z^{2n}$ (seules les puissances paires apparaissent) ou $\sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}$ . Pour ces séries, on ne peut pas appliquer directement la règle de d'Alembert terme à terme sur les $a_n$ ; il faut travailler directement sur les termes de la série.

Lemme d’Abel et rayon de convergence d’une série entière

Le résultat qui structure toute l'étude des séries entières est le lemme d'Abel. Il révèle que la convergence d'une série entière en un point entraîne automatiquement sa convergence (absolue et même normale sur des disques fermés) en tout point plus proche de l'origine.

Lemme d'Abel.

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière et soit $z_0 \in \mathbb{C}$ avec $z_0 \neq 0$ . Si la suite $(a_n z_0^n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée, alors pour tout $z \in \mathbb{C}$ vérifiant $|z| < |z_0|$ , la série $\sum a_n z^n$ est absolument convergente.

Preuve du lemme d’Abel

Supposons qu'il existe $M \geq 0$ tel que $|a_n z_0^n| \leq M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Soit $z$ avec $|z| < |z_0|$ et posons $q = \dfrac{|z|}{|z_0|} \in [0, 1[$ . Alors :

|a_n z^n| = |a_n z_0^n| \cdot \left|\frac{z}{z_0}\right|^n \leq M \, q^n.

La série géométrique $\sum M q^n$ converge car $0 \leq q < 1$ . Par comparaison, $\sum |a_n z^n|$ converge, ce qui établit la convergence absolue de $\sum a_n z^n$ . $\square$

Le rayon de convergence

Le lemme d'Abel montre que l'ensemble des modules $r \geq 0$ pour lesquels la suite $(a_n r^n)$ est bornée est un intervalle de la forme $[0, R[$ ou $[0, R]$ . Cela justifie la définition suivante.

Définition : Rayon de convergence.

On appelle rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$ la borne supérieure :

R = \sup\bigl\{\, r \geq 0 \; \; (a_n r^n)_{n} \text{ est bornée}\,\bigr\} \;\in\; \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}.

Le rayon $R$ peut valoir $0$ , un réel strictement positif fini, ou $+\infty$ .

Théorème : Domaine de convergence.

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ . Pour tout $z \in \mathbb{C}$ :

Si $|z| < R$ , la série converge absolument.
Si $|z| > R$ , la série diverge grossièrement (le terme général ne tend pas vers $0$ ).
Si $|z| = R$ (cercle de convergence), on ne peut rien conclure en général : la série peut converger ou diverger selon le point et selon la série.

Le disque ouvert de convergence

On appelle disque ouvert de convergence l'ensemble $D(0, R) = \{z \in \mathbb{C} \; \; |z| < R\}$ . Lorsqu'on travaille avec des variables réelles, le disque ouvert de convergence devient l'intervalle ouvert de convergence $]-R, R[$ .

Attention. Le cercle $\{z \; \; |z| = R\}$ s'appelle le cercle d'incertitude : il faut étudier chaque point séparément. Par exemple, $\sum \frac{z^n}{n^2}$ converge absolument sur tout le cercle $|z|=1$ , tandis que $\sum z^n$ diverge en tout point de ce même cercle.

Comment calculer le rayon de convergence : règle de d’Alembert et formule de Cauchy-Hadamard

En pratique, deux outils permettent de déterminer le rayon de convergence d'une série entière.

Règle de d’Alembert pour les séries entières

Règle de d'Alembert.

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière dont les coefficients $a_n$ sont tous non nuls à partir d'un certain rang. Si la limite suivante existe (finie ou infinie) :

\ell = \lim_{n \to +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,

alors le rayon de convergence vaut $R = \dfrac{1}{\ell}$ , avec la convention $\dfrac{1}{0} = +\infty$ et $\dfrac{1}{+\infty} = 0$ .

Intuition. Fixer $z$ et poser $u_n = |a_n z^n|$ . On a $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \cdot |z| \to \ell |z|$ . La série converge si $\ell|z| < 1$ , c'est-à-dire $|z| < 1/\ell = R$ .

Formule de Cauchy-Hadamard

Formule de Cauchy-Hadamard.

Pour toute série entière $\sum a_n z^n$ , le rayon de convergence est :

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to +\infty} |a_n|^{1/n}.

Cette formule est toujours valable, même lorsque les coefficients s'annulent.

La formule de Cauchy-Hadamard est plus générale que la règle de d'Alembert : elle s'applique même aux séries lacunaires et ne requiert pas l'existence d'une limite (elle utilise la limite supérieure). En pratique, lorsque les coefficients sont non nuls et que le rapport $|a_{n+1}/a_n|$ converge, les deux formules donnent le même résultat et la règle de d'Alembert est souvent plus rapide à appliquer.

Exemples fondamentaux

Série géométrique. $\sum_{n \geq 0} z^n$ . Ici $a_n = 1$ , donc $|a_{n+1}/a_n| = 1 \to 1$ et $R = 1$ . Pour $|z| < 1$ , la somme vaut $\dfrac{1}{1-z}$ .

Série exponentielle. $\sum_{n \geq 0} \dfrac{z^n}{n!}$ . On calcule $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \dfrac{1}{n+1} \to 0$ , donc $R = +\infty$ . La série converge pour tout $z \in \mathbb{C}$ et sa somme définit la fonction exponentielle complexe $e^z$ .

Série à rayon nul. $\sum_{n \geq 0} n! \, z^n$ . On a $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = n+1 \to +\infty$ , donc $R = 0$ : la série ne converge que pour $z = 0$ .

Convergence normale sur les disques fermés

Théorème : Convergence normale.

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ et soit $r \in ]0, R[$ . Alors la série converge normalement sur le disque fermé $\overline{D}(0, r) = \{z \; \; |z| \leq r\}$ .

Preuve. Pour tout $z$ tel que $|z| \leq r$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

\sup_{|z| \leq r} |a_n z^n| = |a_n| r^n.

Puisque $r < R$ , la série $\sum |a_n| r^n$ converge (conséquence du lemme d'Abel : en choisissant $r'$ tel que $r < r' < R$ , la suite $(a_n r'^n)$ est bornée et on conclut par comparaison avec une série géométrique). La convergence normale s'ensuit. $\square$

Attention. Il n'y a en général pas de convergence normale sur le disque ouvert entier $D(0, R)$ , seulement sur les disques fermés de rayon strictement inférieur à $R$ . Ne confondez pas les deux.

Régularité de la somme d’une série entière

L'une des propriétés les plus remarquables des séries entières est que leur somme hérite d'une régularité exceptionnelle à l'intérieur du disque de convergence.

Continuité

Théorème. La somme $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ d'une série entière de rayon de convergence $R > 0$ est continue sur son disque ouvert de convergence $D(0, R)$ .

Ce résultat découle directement de la convergence normale sur tout disque fermé $\overline{D}(0,r)$ avec $r < R$ , et du théorème classique de continuité pour les séries uniformément convergentes de fonctions continues.

Dérivation terme à terme

Théorème : Dérivation.

Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière réelle de rayon de convergence $R > 0$ . Alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-R, R[$ et pour tout $k \geq 0$ et tout $x \in ]-R, R[$ :

f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} n(n-1)\cdots(n-k+1)\, a_n\, x^{n-k}.

En particulier, $f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$ , et la série dérivée a le même rayon de convergence $R$ .

Ce théorème est capital : il autorise de dériver une série entière terme à terme aussi souvent qu'on le souhaite, à l'intérieur du disque ouvert de convergence, sans changer le rayon.

Intégration terme à terme

Théorème : Intégration.

Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière de rayon $R > 0$ et soit $F$ une primitive de $f$ sur $]-R, R[$ . Alors pour tout $x \in ]-R, R[$ :

F(x) = F(0) + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1}\, x^{n+1}.

La série obtenue a également le même rayon de convergence $R$ .

Expression des coefficients

Propriété : Unicité du développement en série entière.

Si $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ sur un voisinage de $0$ , alors les coefficients sont uniquement déterminés par :

a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}.

Autrement dit, si une fonction admet un développement en série entière au voisinage de $0$ , c'est nécessairement sa série de Taylor.

Développements en série entière des fonctions usuelles

On dit qu'une fonction $f$ est développable en série entière (DSE) en $0$ s'il existe $r > 0$ et une suite $(a_n)$ tels que $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ pour tout $x \in ]-r, r[$ . Une condition nécessaire (mais non suffisante) est que $f$ soit de classe $\mathcal{C}^\infty$ au voisinage de $0$ .

Les développements suivants sont à connaître impérativement :

Fonction exponentielle ( $R = +\infty$ ) :

e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, \quad x \in \mathbb{R}.

Cosinus et sinus ( $R = +\infty$ ) :

\cos x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \qquad \sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Logarithme ( $R = 1$ ) :

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad x \in ]-1, 1].

Série géométrique ( $R = 1$ ) :

\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n, \quad x \in ]-1, 1[.

Arctangente ( $R = 1$ ) :

\arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad x \in ]-1, 1].

Attention. Être $\mathcal{C}^\infty$ ne suffit pas pour être DSE. La fonction $f(x) = e^{-1/x^2}$ (prolongée par $f(0)=0$ ) est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ avec $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n$ . Sa série de Taylor en $0$ est la série nulle, qui ne représente pas $f$ sur un voisinage de $0$ . Cette fonction n'est donc pas développable en série entière.

Opérations sur les séries entières : somme, produit de Cauchy

Combinaison linéaire

Propriété. Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ de rayons $R_a$ et $R_b$ . La série $\sum (a_n + b_n) z^n$ vérifie :

R \geq \min(R_a, R_b),

avec égalité lorsque $R_a \neq R_b$ (et éventuelle inégalité stricte si $R_a = R_b$ ).

Produit de Cauchy

Définition. On appelle produit de Cauchy des séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ la série entière $\sum c_n z^n$ où :

c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}.

Propriété. Le rayon de convergence $R$ du produit de Cauchy vérifie $R \geq \min(R_a, R_b)$ . De plus, pour $|z| < \min(R_a, R_b)$ :

\left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n.

Théorème d’Abel radial et comportement au bord

La question de ce qui se passe exactement au bord du disque de convergence est délicate. Le théorème d'Abel radial répond partiellement à cette question, dans le cas réel, lorsque la série converge en $x = R$ .

Théorème d'Abel radial.

Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ , avec $0 < R < +\infty$ . Si la série numérique $\sum a_n R^n$ converge, alors :

\lim_{\substack{x \to R \\ x < R}} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n R^n.

Autrement dit, la somme est continue à gauche en $R$ (et de même à droite en $-R$ si la série converge en $-R$ ).

Application. En $x=1$ on a $\ln(1+1) = \ln 2$ . Or $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n$ avec $R=1$ , et la série numérique $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge (série alternée). Le théorème d'Abel radial donne donc :

\ln 2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots

Conclusion : ce qu’il faut retenir sur les séries entières

Les séries entières forment un outil analytique d'une richesse exceptionnelle. Leur étude repose sur trois piliers fondamentaux.

Le premier est le lemme d'Abel, qui garantit la convergence absolue à l'intérieur du disque ouvert de convergence et la convergence normale sur tout disque fermé de rayon strictement inférieur à $R$ . Le deuxième est le calcul effectif du rayon de convergence, via la règle de d'Alembert ou la formule de Cauchy-Hadamard, qui donne accès au domaine de convergence complet. Le troisième est la régularité extraordinaire de la somme : toute série entière de rayon $R > 0$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-R, R[$ , dérivable et intégrable terme à terme, avec les mêmes coefficients reliés aux dérivées successives en $0$ par la formule $a_n = f^{(n)}(0)/n!$ .

En maîtrisant ces résultats et les développements en série entière des fonctions usuelles, vous disposez d'une méthode systématique pour calculer des limites, résoudre des équations différentielles, étudier le comportement local de fonctions, et même calculer des sommes de séries numériques grâce au théorème d'Abel radial. C'est précisément pourquoi les séries entières occupent une place aussi centrale en analyse, de la prépa aux mathématiques avancées.

Pour aller plus loin, vous pouvez consulter l'article Série entière sur Wikipédia, qui développe notamment les aspects complexes et les applications aux fonctions analytiques.

Questions fréquentes sur les séries entières

Qu’est-ce qu’une série entière en mathématiques ?

Une série entière est une série de fonctions de la forme $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ , où $(a_n)$ est une suite de nombres réels ou complexes et $z$ est la variable. Elle généralise la notion de polynôme en autorisant une infinité de termes. L'ensemble des valeurs de $z$ pour lesquelles cette somme infinie converge est un disque (ou un intervalle dans le cas réel) déterminé par le rayon de convergence $R$ .

Comment calculer le rayon de convergence d’une série entière ?

Il existe deux méthodes principales. La règle de d'Alembert : si les coefficients $a_n$ sont non nuls à partir d'un certain rang et si $\lim |a_{n+1}/a_n| = \ell$ , alors $R = 1/\ell$ . La formule de Cauchy-Hadamard : $1/R = \limsup |a_n|^{1/n}$ , qui s'applique dans tous les cas, y compris aux séries lacunaires. Pour les séries lacunaires (coefficients souvent nuls), on applique Cauchy-Hadamard ou on raisonne directement sur les termes non nuls.

Qu’est-ce qu’un développement en série entière (DSE) ?

On dit qu'une fonction $f$ est développable en série entière (DSE) en $0$ s'il existe $r > 0$ et des coefficients $a_n$ tels que $f(x) = \sum a_n x^n$ pour tout $x \in ]-r, r[$ . Lorsque ce développement existe, il est unique et les coefficients sont nécessairement $a_n = f^{(n)}(0)/n!$ : il s'agit de la série de Taylor de $f$ . Être de classe $\mathcal{C}^\infty$ est nécessaire mais non suffisant pour être DSE.