Espace métrique : distance, compact et complet (cours)

Les espaces métriques constituent l'un des piliers de l'analyse moderne. Introduire la notion d'espace métrique, c'est répondre à une question fondamentale : peut-on parler de distance, de limite et de continuité dans des ensembles bien plus généraux que la droite réelle ou le plan ? La réponse est oui, à condition de formaliser ce que l'on entend par « distance ». Ce cours, destiné aux étudiants de licence de mathématiques (L2/L3) et aux classes préparatoires, présente de façon progressive la définition d'un espace métrique, ses propriétés topologiques essentielles, les notions de complétude et de compacité.

Table des Matières

Définition d’un espace métrique et axiomes de la distance

Avant d'aborder la définition formelle, prenons un instant pour réfléchir à ce qu'est intuitivement une distance. Dans la vie courante, la distance entre deux villes satisfait trois propriétés naturelles : elle est nulle si et seulement si les deux villes sont la même ; elle est symétrique (aller de A à B coûte autant que de B à A) ; enfin, passer par un point intermédiaire C ne peut que rallonger le trajet ; c'est l'inégalité triangulaire. Ces trois idées suffisent à bâtir toute la théorie.

Définition : Espace métrique

Soit $E$ un ensemble non vide. Une distance (ou métrique) sur $E$ est une application

d : E \times E \longrightarrow \mathbb{R}_+

vérifiant, pour tous $x, y, z \in E$ :

Séparation : $d(x,y) = 0 \iff x = y$
Symétrie : $d(x,y) = d(y,x)$
Inégalité triangulaire : $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$

Le couple $(E, d)$ est alors appelé un espace métrique.

Remarquons que la positivité $d(x,y) \geq 0$ est en réalité une conséquence des trois axiomes ci-dessus. En effet, en appliquant l'inégalité triangulaire à $x, y, x$ :

0 = d(x,x) \leq d(x,y) + d(y,x) = 2\,d(x,y),

ce qui donne bien $d(x,y) \geq 0$ .

Exemples fondamentaux d’espaces métriques

L'exemple le plus immédiat est $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle $d(x,y) = |x - y|$ . Mais le cadre des espaces métriques est bien plus riche.

Exemples classiques d'espaces métriques
Ensemble $E$	Distance $d(x,y)$	Nom usuel
$\mathbb{R}$	$\|x - y\|$	Distance usuelle
$\mathbb{R}^n$	$\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$	Distance euclidienne
$\mathbb{R}^n$	$\displaystyle\max_{1 \le i \le n} \|x_i - y_i\|$	Distance infinie ( $\ell^\infty$ )
$\mathbb{R}^n$	$\displaystyle\sum_{i=1}^n \|x_i - y_i\|$	Distance de Manhattan ( $\ell^1$ )
Tout ensemble $E$	$d(x,y) = 0$ si $x=y$ , sinon $1$	Distance discrète
$\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$	$\displaystyle\sup_{t \in [a,b]} \|f(t) - g(t)\|$	Distance de la convergence uniforme

La distance discrète peut sembler artificielle, mais elle est très utile en théorie : elle montre qu'on peut toujours munir n'importe quel ensemble d'une structure métrique. La distance de la convergence uniforme, quant à elle, illustre le fait que les fonctions elles-mêmes peuvent être des « points » d'un espace métrique.

Boules ouvertes, boules fermées et topologie métrique

Une fois la distance définie, on peut décrire le « voisinage » d'un point à l'aide des boules. Ces objets sont le cœur de la topologie métrique.

Définition : Boules et sphère

Soit $(E, d)$ un espace métrique, $x \in E$ et $r > 0$ . On définit :

la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ :
$B(x,r) = \{ y \in E \mid d(x,y) < r \}$
la boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$ :
$\bar{B}(x,r) = \{ y \in E \mid d(x,y) \leq r \}$
la sphère de centre $x$ et de rayon $r$ :
$S(x,r) = \{ y \in E \mid d(x,y) = r \}$

Attention : L'intuition géométrique peut tromper. Dans $\mathbb{R}^2$ muni de la distance infinie $d_\infty$ , la boule ouverte $B(0,1)$ est un carré ouvert $]-1,1[\,\times\,]-1,1[$ , et non un disque. La forme des boules dépend entièrement de la distance choisie. Ne jamais transposer mécaniquement l'image du disque euclidien à d'autres métriques.

Ouverts et fermés d’un espace métrique

Définition : Ouvert, fermé

Une partie $U \subset E$ est dite ouverte si, pour tout $x \in U$ , il existe $r > 0$ tel que $B(x,r) \subset U$ .

Une partie $F \subset E$ est dite fermée si son complémentaire $E \setminus F$ est ouvert.

Propriété : Structure des ouverts

Dans tout espace métrique $(E, d)$ :

$\emptyset$ et $E$ sont des ouverts.
Toute réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.

Ces trois propriétés font de l'ensemble des ouverts une topologie sur $E$ .

La propriété 3 est limitée aux intersections finies : l'intersection d'une infinité d'ouverts peut ne plus être ouverte. Par exemple, dans $\mathbb{R}$ , l'intersection $\bigcap_{n=1}^{+\infty} \left]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right[ = \{0\}$ est un singleton, qui est fermé et non ouvert dans la topologie usuelle.

Intérieur, adhérence et frontière

Pour une partie $A \subset E$ , on définit :

l'intérieur $\mathring{A}$ : le plus grand ouvert contenu dans $A$ , c'est-à-dire l'ensemble des points $x \in A$ autour desquels il existe une boule entièrement contenue dans $A$ .
l'adhérence $\overline{A}$ : le plus petit fermé contenant $A$ , c'est-à-dire l'ensemble des points $x \in E$ dont toute boule rencontre $A$ .
la frontière $\partial A = \overline{A} \setminus \mathring{A}$ .

Un point $x$ appartient à $\overline{A}$ si et seulement s'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $x$ . C'est la caractérisation séquentielle de l'adhérence, particulièrement utile dans les démonstrations.

Espace métrique - Comparaison des boules ouvertes dans R2 pour les distances euclidienne, infinie et de Manhattan

Suites dans un espace métrique : Convergence et continuité

La notion de limite se généralise naturellement aux espaces métriques : une suite converge si les termes se rapprochent d'un point fixe au sens de la distance $d$ .

Définition : Convergence d’une suite

Soit $(x_n)$ une suite de $(E, d)$ et $\ell \in E$ . On dit que $(x_n)$ converge vers $\ell$ si

\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall n \geq N,\quad d(x_n, \ell) \leq \varepsilon.

La limite $\ell$ est alors unique (conséquence directe de la séparation).

Continuité entre deux espaces métriques

Définition : Continuité en un point

Soient $(E, d)$ et $(F, \delta)$ deux espaces métriques. Une application $f : E \to F$ est continue en $a \in E$ si

\forall \varepsilon > 0,\; \exists \eta > 0,\; \forall x \in E,\quad d(x,a) \leq \eta \implies \delta(f(x), f(a)) \leq \varepsilon.

Propriété : Caractérisation séquentielle de la continuité

$f$ est continue en $a$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ de $E$ convergeant vers $a$ , la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$ dans $F$ .

Cette caractérisation est souvent plus maniable que la définition $\varepsilon$ - $\eta$ dans les démonstrations, notamment pour montrer la continuité des applications composées.

Propriété : Caractérisation topologique

$f : (E,d) \to (F,\delta)$ est continue sur $E$ entier si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$ .

Espaces métriques complets et suites de Cauchy

La notion de suite de Cauchy capture l'idée intuitive que les termes d'une suite se resserrent de plus en plus, sans avoir besoin de connaître a priori la limite.

Définition : Suite de Cauchy

Une suite $(x_n)$ dans $(E,d)$ est dite de Cauchy si

\forall \varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N},\; \forall p,q \geq N,\quad d(x_p, x_q) \leq \varepsilon.

Propriété fondamentale

Toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque est fausse en général.

Un contre-exemple classique : dans l'espace $(\mathbb{Q}, |\cdot|)$ , la suite de rationnels $(u_n)$ définie par les décimales successives de $\sqrt{2}$ est de Cauchy, mais sa limite $\sqrt{2}$ n'est pas rationnelle. Elle n'appartient donc pas à $\mathbb{Q}$ . C'est précisément ce défaut qui motive la définition suivante.

Définition : Espace métrique complet

Un espace métrique $(E, d)$ est dit complet si toute suite de Cauchy de $E$ est convergente dans $E$ .

$\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^n$ munis de leur distance euclidienne sont complets ; c'est le théorème de complétude de $\mathbb{R}$ , fondement de l'analyse réelle. L'espace $\mathbb{Q}$ ne l'est pas. L'espace $\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$ muni de la distance de la convergence uniforme est complet : c'est un espace de Banach.

Théorème du point fixe de Banach-Picard

Soit $(E, d)$ un espace métrique complet et $f : E \to E$ une application contractante, c'est-à-dire vérifiant

\exists k \in [0,1[,\; \forall x,y \in E,\quad d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y).

Alors $f$ admet un unique point fixe $x^* \in E$ (i.e. $f(x^*) = x^*$ ), et pour tout $x_0 \in E$ , la suite itérée $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers $x^*$ .

Preuve du théorème du point fixe

Étape 1 : La suite $(x_n)$ est de Cauchy. Pour $n \geq 1$ ,

d(x_{n+1}, x_n) = d(f(x_n), f(x_{n-1})) \leq k\,d(x_n, x_{n-1}) \leq \cdots \leq k^n\,d(x_1, x_0).

Pour $p > q$ , l'inégalité triangulaire donne :

d(x_p, x_q) \leq \sum_{i=q}^{p-1} d(x_{i+1}, x_i) \leq d(x_1,x_0) \sum_{i=q}^{p-1} k^i \leq \frac{k^q}{1-k}\,d(x_1,x_0) \xrightarrow[q \to +\infty]{} 0.

Donc $(x_n)$ est bien de Cauchy.

Étape 2 : Convergence. $E$ étant complet, $(x_n)$ converge vers un certain $x^* \in E$ .

Étape 3 : $x^*$ est un point fixe. Par continuité de $f$ (une application contractante est lipschitzienne, donc continue) :

f(x^*) = f\!\left(\lim_{n \to \infty} x_n\right) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = x^*.

Étape 4 : Unicité. Si $y^*$ est un autre point fixe, alors $d(x^*, y^*) = d(f(x^*), f(y^*)) \leq k\,d(x^*, y^*)$ , ce qui implique $(1-k)\,d(x^*,y^*) \leq 0$ , soit $d(x^*,y^*)=0$ , d'où $x^* = y^*$ .

Lien avec les espaces vectoriels normés

Un cas particulier (et omniprésent en analyse) des espaces métriques est celui où l'ensemble $E$ est un espace vectoriel et où la distance est issue d'une norme.

Définition : Norme et espace vectoriel normé

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). Une norme sur $E$ est une application $\|\cdot\| : E \to \mathbb{R}_+$ vérifiant :

$\|x\| = 0 \iff x = 0$
$\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ , $x \in E$
$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ (inégalité triangulaire)

On pose alors $d(x,y) = \|x - y\|$ , qui est une distance sur $E$ . Le couple $(E, \|\cdot\|)$ est un espace vectoriel normé (e.v.n.), qui est automatiquement un espace métrique.

Un espace vectoriel normé complet est appelé un espace de Banach. Ces espaces jouent un rôle central en analyse fonctionnelle. Les exemples fondamentaux sont $\mathbb{R}^n$ avec n'importe quelle norme (toutes équivalentes en dimension finie), et $\mathcal{C}([a,b])$ avec la norme sup.

Propriété : Équivalence des normes en dimension finie

Sur un espace vectoriel de dimension finie $n$ , toutes les normes sont équivalentes : pour toutes normes $\|\cdot\|_\alpha$ et $\|\cdot\|_\beta$ , il existe des constantes $c, C > 0$ telles que

\forall x \in E,\quad c\,\|x\|_\alpha \leq \|x\|_\beta \leq C\,\|x\|_\alpha.

En particulier, convergence, ouverture, fermeture et compacité ne dépendent pas de la norme choisie en dimension finie.

Compacité dans un espace métrique

La compacité est une propriété géométrique et analytique d'une importance cruciale : elle généralise, dans le cadre des espaces métriques, la notion d'ensemble « borné et fermé » de $\mathbb{R}^n$ .

Définition : Compacité

Un espace métrique $(E,d)$ est dit compact si de toute suite d'éléments de $E$ , on peut extraire une sous-suite convergente dans $E$ .

(Cette définition est dite « compacité séquentielle ». Elle coïncide avec la compacité par recouvrement dans le cadre des espaces métriques.)

Théorème de Borel-Lebesgue (Heine-Borel)

Dans $\mathbb{R}^n$ muni de la distance euclidienne, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.

Ce théorème ne se généralise pas tel quel aux espaces de dimension infinie. Dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, la boule fermée unité n'est jamais compacte (théorème de Riesz).

Propriétés des espaces compacts

Tout compact est fermé et borné.
Toute image continue d'un compact est compacte.
Toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes (théorème de Weierstrass).
Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (théorème de Heine).

Conclusion : Ce qu’il faut retenir sur les espaces métriques

Les espaces métriques offrent un cadre général et puissant pour étendre les notions fondamentales de l'analyse (distance, limite, continuité, complétude) bien au-delà de la droite réelle. En partant de trois axiomes simples sur une application $d : E \times E \to \mathbb{R}_+$ , on construit toute une géométrie : boules, ouverts, fermés, adhérence, et une topologie cohérente.

La notion de suite de Cauchy permet de caractériser les espaces complets, dans lesquels le théorème du point fixe de Banach-Picard s'applique avec de nombreuses conséquences pratiques (équations différentielles, équations intégrales). La compacité, quant à elle, généralise l'idée d'ensemble borné fermé et garantit des résultats forts sur les fonctions continues. Les espaces vectoriels normés, et en particulier les espaces de Banach, en constituent le cas le plus riche et le plus utile en analyse fonctionnelle.

Questions fréquentes sur les espaces métriques

Qu’est-ce qu’un espace métrique ?

Un espace métrique est un couple $(E, d)$ formé d'un ensemble $E$ non vide et d'une application $d : E \times E \to \mathbb{R}_+$ appelée distance, qui vérifie trois axiomes : la séparation ( $d(x,y)=0 \iff x=y$ ), la symétrie, et l'inégalité triangulaire. Ce cadre permet de généraliser les notions de proximité, de limite et de continuité à des ensembles bien plus généraux que $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^n$ .

Tout espace vectoriel normé est-il un espace métrique ?

Oui. Si $(E, \|\cdot\|)$ est un espace vectoriel normé, l'application $d(x,y) = \|x-y\|$ définit une distance sur $E$ , faisant de $(E, d)$ un espace métrique. La réciproque est fausse : un espace métrique n'est pas nécessairement un espace vectoriel (par exemple, tout ensemble muni de la distance discrète).

Comment montrer qu’une application est une distance ?

Il faut vérifier les trois axiomes : (1) séparation : $d(x,y) = 0$ si et seulement si $x = y$ ; (2) symétrie : $d(x,y) = d(y,x)$ pour tous $x, y$ ; (3) inégalité triangulaire : $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ pour tous $x, y, z$ . La positivité de $d$ est alors une conséquence automatique de ces trois conditions.