Espace Vectoriel : définition, axiomes et exemples (Cours)

Dès les premières semaines de classe préparatoire ou de licence de mathématiques, le concept d'espace vectoriel s'impose comme la pierre angulaire de toute l'algèbre linéaire. Pourtant, sa définition abstraite déroute souvent les étudiants : pourquoi parler de « vecteurs » quand on manipule aussi bien des polynômes, des matrices ou des fonctions continues ? Ce cours répond précisément à cette question, en construisant pas à pas la notion d'espace vectoriel, en illustrant chaque idée par des exemples concrets pour ancrer votre compréhension.

Table des Matières

Définition formelle d’un espace vectoriel

Informellement, un espace vectoriel est un ensemble dont les éléments (appelés vecteurs) peuvent être additionnés entre eux et multipliés par des nombres (appelés scalaires), de façon que ces deux opérations se comportent « raisonnablement ». La définition formelle précise exactement ce que « raisonnablement » veut dire, au travers de huit axiomes.

Définition : K-espace vectoriel

Soit $\mathbb{K}$ un corps (en pratique $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). Un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel est un ensemble non vide $E$ muni de deux lois :

une loi de composition interne $+ : E \times E \to E$ , appelée addition vectorielle ;
une loi de composition externe $\cdot : \mathbb{K} \times E \to E$ , appelée multiplication par un scalaire,

vérifiant les huit axiomes suivants, pour tous $u, v, w \in E$ et tous $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ :

$(u + v) + w = u + (v + w)$ : associativité de $+$
$u + v = v + u$ : commutativité de $+$
Il existe $\mathbf{0}_E \in E$ tel que $u + \mathbf{0}_E = u$ : vecteur nul
Il existe $-u \in E$ tel que $u + (-u) = \mathbf{0}_E$ : opposé
$1 \cdot u = u$ : élément neutre scalaire
$(\lambda\mu) \cdot u = \lambda \cdot (\mu \cdot u)$ : associativité mixte
$\lambda \cdot (u + v) = \lambda \cdot u + \lambda \cdot v$ : distributivité (côté vecteur)
$(\lambda + \mu) \cdot u = \lambda \cdot u + \mu \cdot u$ : distributivité (côté scalaire)

Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs et les éléments de $\mathbb{K}$ sont appelés scalaires.

Les quatre premiers axiomes signifient exactement que $(E, +)$ est un groupe abélien. Les quatre suivants règlent les interactions entre scalaires et vecteurs.

Intuition géométrique : pourquoi cette structure ?

L'idée clé est l'unification. Des objets mathématiques très différents partagent les mêmes propriétés de base :

Les flèches du plan $\mathbb{R}^2$ : on peut les additionner (règle du parallélogramme) et les allonger ou rétrécir (multiplication par un réel).
Les polynômes $\mathbb{R}[X]$ : on peut en additionner deux et multiplier un polynôme par un réel.
Les fonctions continues $\mathcal{C}([a,b], \mathbb{R})$ : la somme de deux fonctions continues est continue ; le produit d'une fonction continue par un réel l'est aussi.
Les matrices $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ : addition terme à terme et multiplication par un scalaire.

En abstrayant ces situations, on obtient un cadre unique (l'espace vectoriel) dans lequel un seul théorème vaut pour tous ces exemples à la fois. C'est toute la puissance de l'algèbre linéaire.

Espace Vectoriel - l'addition de deux vecteurs dans le plan R²

Exemples fondamentaux d’espaces vectoriels

L'espace $\mathbb{R}^n$

C'est l'exemple de référence. Pour $n \geq 1$ , on pose $E = \mathbb{R}^n$ et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ . Un vecteur est un $n$ -uplet $(x_1, \ldots, x_n)$ . Les lois sont :

(x_1,\ldots,x_n) + (y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n), \quad \lambda \cdot (x_1,\ldots,x_n) = (\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n).

Le vecteur nul est $\mathbf{0} = (0,\ldots,0)$ . La vérification des huit axiomes est immédiate d'après les propriétés de $\mathbb{R}$ .

L'espace des polynômes $\mathbb{K}[X]$

L'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ , muni de l'addition usuelle et de la multiplication par un scalaire, est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel. Le vecteur nul est le polynôme nul $0$ . Notez que cet espace est de dimension infinie, car la famille $(1, X, X^2, X^3, \ldots)$ est infinie et forme une base.

L'espace des matrices $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$

Les matrices $n \times p$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ , munies de l'addition terme à terme et de la multiplication par un scalaire, forment un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $np$ .

L'espace des fonctions $\mathcal{F}(A, \mathbb{K})$

Pour tout ensemble $A$ , l'ensemble de toutes les fonctions de $A$ dans $\mathbb{K}$ , muni de l'addition $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$ et de la multiplication $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$ , est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel. En particulier, $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel.

Récapitulatif des espaces vectoriels classiques
Espace $E$	Corps $\mathbb{K}$	Vecteur nul	Dimension
$\mathbb{R}^n$	$\mathbb{R}$	$(0,\ldots,0)$	$n$
$\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$	$\mathbb{R}$	Matrice nulle	$np$
$\mathbb{R}_n[X]$ (degrés $\leq n$ )	$\mathbb{R}$	Polynôme nul	$n+1$
$\mathbb{R}[X]$	$\mathbb{R}$	Polynôme nul	$+\infty$
$\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$	$\mathbb{R}$	Fonction nulle	$+\infty$

Propriétés immédiates déduites des axiomes

Proposition : Conséquences des axiomes

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel. Pour tout $u \in E$ et tout $\lambda \in \mathbb{K}$ :

$0_\mathbb{K} \cdot u = \mathbf{0}_E$ (le scalaire zéro annule tout vecteur)
$\lambda \cdot \mathbf{0}_E = \mathbf{0}_E$ (tout scalaire annule le vecteur nul)
$(-1) \cdot u = -u$ (l'opposé est obtenu par multiplication par $-1$ )
$\lambda \cdot u = \mathbf{0}_E \implies \lambda = 0_\mathbb{K} \text{ ou } u = \mathbf{0}_E$

Démonstration de $0_\mathbb{K} \cdot u = \mathbf{0}_E$

On part de la relation $0_\mathbb{K} + 0_\mathbb{K} = 0_\mathbb{K}$ dans $\mathbb{K}$ . En multipliant par $u$ (axiome 8) :

(0_\mathbb{K} + 0_\mathbb{K}) \cdot u = 0_\mathbb{K} \cdot u \implies 0_\mathbb{K} \cdot u + 0_\mathbb{K} \cdot u = 0_\mathbb{K} \cdot u.

En ajoutant $-(0_\mathbb{K} \cdot u)$ des deux côtés, on obtient $0_\mathbb{K} \cdot u = \mathbf{0}_E$ . $\square$

Sous-espace vectoriel : définition et caractérisation

Dans la pratique, on ne repart pas de zéro pour vérifier les huit axiomes : on part d'un espace vectoriel déjà connu et on identifie des parties qui en héritent la structure. C'est le concept de sous-espace vectoriel.

Définition : Sous-espace vectoriel (s.e.v.)

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et $F \subseteq E$ . On dit que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

$\mathbf{0}_E \in F$ (F contient le vecteur nul)
Pour tous $u, v \in F$ , on a $u + v \in F$ (stabilité par addition)
Pour tout $u \in F$ et tout $\lambda \in \mathbb{K}$ , on a $\lambda u \in F$ (stabilité par multiplication scalaire)

Ces trois conditions se condensent souvent en une seule : $F$ est un s.e.v. de $E$ si et seulement si $F \neq \emptyset$ et pour tous $u, v \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ :

\lambda u + \mu v \in F.

Exemples de sous-espaces vectoriels

Exemple 1. Dans $\mathbb{R}^2$ , la droite vectorielle $F = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x\}$ est un s.e.v. : $(0,0) \in F$ ; si $(x_1, 2x_1)$ et $(x_2, 2x_2)$ sont dans $F$ , leur somme $(x_1+x_2, 2(x_1+x_2)) \in F$ ; et $\lambda(x, 2x) = (\lambda x, 2\lambda x) \in F$ .

Exemple 2. Dans $\mathbb{R}^2$ , l'ensemble $G = \{(x, y) \mid x + y = 1\}$ n'est pas un s.e.v. car $\mathbf{0} = (0,0) \notin G$ .

Exemple 3. Dans $\mathbb{R}[X]$ , l'ensemble $\mathbb{R}_n[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ est un s.e.v. En revanche, l'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ ne l'est pas (la somme de deux polynômes de degré $n$ peut avoir un degré strictement inférieur à $n$ ).

Combinaison linéaire et sous-espace engendré

Définition : Combinaison linéaire

Soient $v_1, \ldots, v_n$ des vecteurs d'un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ . Tout vecteur de la forme

u = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n, \quad \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{K},

est appelé combinaison linéaire des vecteurs $v_1, \ldots, v_n$ . Les scalaires $\lambda_i$ sont les coefficients de la combinaison.

Définition : Sous-espace engendré

L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires d'une famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est noté $\operatorname{Vect}(v_1, \ldots, v_n)$ et s'appelle le sous-espace vectoriel engendré par cette famille. C'est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant tous les $v_i$ .

\operatorname{Vect}(v_1,\ldots,v_n) = \left\{ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i \;\middle|\; \lambda_i \in \mathbb{K} \right\}.

Famille libre, famille génératrice et base d’un espace vectoriel

Ces trois notions sont indissociables et au cœur de toute la théorie.

Définition : Famille libre (ou linéairement indépendante)

Une famille $(v_1,\ldots,v_n)$ est dite libre si

\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = \mathbf{0}_E \implies \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0.

Autrement dit, la seule façon d'obtenir le vecteur nul comme combinaison linéaire est la combinaison triviale (tous les coefficients nuls).

Définition : Famille génératrice

Une famille $(v_1,\ldots,v_n)$ est génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des $v_i$ , c'est-à-dire si $\operatorname{Vect}(v_1,\ldots,v_n) = E$ .

Définition-Théorème : Base d’un espace vectoriel

Une famille $\mathcal{B} = (e_1,\ldots,e_n)$ est une base de $E$ si elle est à la fois libre et génératrice. Dans ce cas, tout vecteur $u \in E$ se décompose de façon unique :

u = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n, \quad x_i \in \mathbb{K}.

Les scalaires $(x_1,\ldots,x_n)$ sont appelés les coordonnées (ou composantes) de $u$ dans la base $\mathcal{B}$ .

Base canonique de $\mathbb{R}^n$

La famille $\mathcal{B}_c = (e_1,\ldots,e_n)$ où $e_i = (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ (le 1 en position $i$ ) est la base canonique de $\mathbb{R}^n$ . Tout vecteur $(x_1,\ldots,x_n)$ s'écrit $x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n$ .

Dimension d’un espace vectoriel

Théorème : Invariance de la dimension

Si un espace vectoriel $E$ admet une base finie de $n$ éléments, alors toutes ses bases ont exactement $n$ éléments. Ce nombre $n$ est appelé la dimension de $E$ et noté $\dim(E)$ ou $\dim_\mathbb{K}(E)$ .

Ce théorème, non trivial, est l'une des raisons pour lesquelles la notion de dimension est bien définie. En particulier :

$\dim(\mathbb{R}^n) = n$
$\dim(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})) = np$
$\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n+1$
$\dim(\mathbb{R}[X]) = +\infty$
Par convention, $\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0$

Propriété Dimension et sous-espaces

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie $E$ . Alors :

$\dim(F) \leq \dim(E)$
$\dim(F) = \dim(E) \implies F = E$
La formule de Grassmann : $\dim(F+G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$

Conclusion

L'espace vectoriel est bien plus qu'une simple généralisation des vecteurs du plan ou de l'espace : c'est un cadre abstrait et puissant qui unifie des situations mathématiques très variées (géométrie, analyse, algèbre). Maîtriser la définition formelle avec ses huit axiomes, savoir reconnaître un sous-espace vectoriel, comprendre les notions de combinaison linéaire, de famille libre, de famille génératrice et de base, et savoir calculer la dimension d'un espace vectoriel ; voilà les compétences fondamentales de l'algèbre linéaire.

Les exercices corrigés montrent que la méthode est toujours la même : vérifier point par point les conditions de la définition, sans jamais sauter d'étape. Avec de la pratique, ces vérifications deviennent rapides et naturelles.